文化发展与希腊数学的兴起

文化发展与希腊数学的兴起

0文化发展对希腊数学的促进作用希腊是欧洲文明的起源地。经济和文化的繁荣促进了希腊数学的繁荣发展，许多希腊数学家为数学的发展做出了重大贡献。许多希腊数学家在学习哲学的过程中发现了数学的问题。哲学家擅长讨论和探索，也促进了希腊数学在演绎和发展的发展。从希腊数学的兴起和发展来看，文化发展对数学研究的有益有益。1泰勒斯与毕达哥拉斯的演绎推理古希腊的文化在世界文化史上占据了十分重要的地位,注重人与自然的关系,注重演绎推理为特征的希腊文化,给人类留下了许多珍贵的遗产.希腊数学深受希腊文化体系的影响,重视抽象、演绎、体系,数学被尊称为“学”,是成体系的学问.哲学、逻辑、力学、天文学、建筑、音乐、艺术等都与数学关系密切,在某种意义上对数学发展起到了积极的促进作用希腊数学的开创者是两位著名的哲学家,即泰勒斯(Thales,公元前624—548年)和毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前572—479年).遗憾的是,他们没有留下任何著作,但是,在注重演绎推理的希腊文化体系框架下,他们的数学发现及数学思想通过后人在认知与实践中的应用,却为希腊数学的发展奠定了基础,并起到了积极的推动作用.1.1泰勒斯对希腊数学的贡献泰勒斯是希腊史上最早的数学家和哲学家,他提出了5个数学定理数学命题的发现,并非泰勒斯对希腊数学的重要贡献.泰勒斯对希腊数学的重要意义在于他开创了对命题的证明,开创了应用逻辑方式推证命题的实践.这一重要贡献为后来的哲学家和数学家提供了理论概括的科学依据,为演绎几何的发展奠定了基础.1.2毕达哥拉斯学派的数学成就毕达哥拉斯学派是在将数学放在极高的位置、以数学为“学”的希腊文化中孕育出来的.毕达哥拉斯创建了一个兼有宗教、哲学和政治性质的神秘团体,即学术史上的毕达哥拉斯学派.毕达哥拉斯学派认为数是万物之本源,即所谓的“万物皆数”,他们关于数是万物本源的理论促使他们以推理而不是以实践去探究数学定理,使数学更接近一门纯理智的学科,从而推动论证数学的诞生.毕达哥拉斯学派的数学成就主要体现在以下几个方面.1.2.1几何图形的带借助几何图形(或点阵)来表示的数叫形数,形数是联系算术和几何的纽带,体现了数形合一的数学思想.毕达哥拉斯学派的早期学者继承了上古时代以卵石计数的传统,常用平面上的点代表数(指自然数).他们将这些点排成几何图形(或点阵),进而结合几何图形的性质推出数的性质.1.2.2计数和个数.“万物皆数”学说促进了毕达哥拉斯学派对整数进行分类研究.他们把整数划分为奇数和偶数,又从因数分解着眼,根据一个数与其真因子和的关系,把整数划分为完全数、过剩数和亏数.例如:6=1+2+3,故6是完全数;12<1+2+3+4+6,故12是一个过剩数;8>1+2+4,故8是一个亏数.1.2.33种平均值2个数1.2.4勾股个数的发现勾股定理在西方叫做毕达哥拉斯定理,人们把满足勾股定理的3个正整数,叫做勾股数组,西方则称之为毕达哥拉斯数组.毕氏学派发现了勾股数组公式:1.2.5几何图形的相似理论和平滑理论早期毕氏学派误以为任何两个同类的几何量都是可公度的,因此,他们根据整数间的比例关系建立起关于图形相似的理论,从而把几何问题归结为对整数及其比例的研究.晚期毕氏学派进一步建立了平行线理论,证明了三角形全等定理和三角形内角和定理,为平面几何的直线形内容奠定了基础.1.2.6发现不可公度比的存过去的比例理论是建立在任何两个同类的量都可公度的基础上的.不可公度线段的发现使人们对由此而建立起来的定理产生了怀疑.关于不可公度线段的著名例子是毕氏学派证明正方形的对角线和边长没有公度(假如有公度,奇数就会等于偶数).不可公度线段的发现,是毕氏学派的一大功绩.为此,几乎所有希腊数学家都不能理解和接受无理数,出现了数学史上第一次数学危机.2辩论与演绎证明的对比希腊数学一开始就和哲学结合在一起,并将哲学界流行的辩论之风引入到数学研究中,要求对任何数学命题都给出证明.善于辩论的哲学传统,为数学研究开创了百家争鸣的学术氛围,使数学命题的证明更趋严密,演绎证明逐渐完善.争鸣,让希腊数学进入辉煌时期.希腊数学注重数学证明、数学推理及数学方法,追求完美的理想.强调将知识加以演绎推理,并将数学发现在演绎体系中表述出来.2.1数学模型的悖论及其当代价值芝诺(Zeno,公元前490—425年)是埃利亚学派创始人,曾因提出一系列悖论而语惊四座,并因无人能驳倒他那些看似荒谬的论点而名操一时.其中,关于运动的3个悖论深刻揭示了有限与无限、连续与离散之间的矛盾,在数学史上有着不朽的价值.2.1.12级运动物体在到达目的地之前必须先抵达全程的一半,为此又必须走过一半的一半,等等,直至无穷.因而,运动是不可能的.2.1.2作为参照系的代理法个别和一个发点要想追上在前面跑的乌龟,必须先到达乌龟的出发点,而那时乌龟又已经跑过前面的一段路程了,如此等等,因而永远追不上.这个悖论同二分说实质上是一样的,只是把问题说得更生动.2.1.3芝诺悖论对希腊数学思想的影响箭在运动过程中的任一瞬间时必在一个确定的位置上,即是静止的.而时间是由无限多个瞬时组成的,因而,箭就动不起来.希腊数学的进程表明,芝诺悖论对希腊数学思想产生了极大影响.首先,它加深了希腊数学家对于“无限的恐怖”,无限成为一种禁忌,被拒绝在希腊数学之外,由此而产生的结果是,在柏拉图以前已得到发展的无限算法被停止了,代之而起的是严密性较强而探索性较差的穷竭法.更大的影响则在于促进了希腊人对数学严密思维的追求.2.2希腊化圆为方问题的数学理念公元前5世纪的希腊数学家,已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规作图了.在他们看来,直线和圆是可以信赖的最基本图形,而直尺和圆规是这两种图形的具体体现.因而,只有用尺规作出的图形才是可信的.于是,他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题.所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的,问题难在作图工具的限制上.一旦突破作图工具的限制,便能得到许多有价值的数学发现.三大作图难题是指:立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.围绕3个作图问题,希腊数学家表现了杰出的数学思想方法.对于立方倍积问题,希波克拉底(Hippocrates,公元前5世纪唯一有数学残稿留存的著名几何学家)设想出了将问题简化为:作两给定线段希波克拉底的方法开拓了解立方倍积问题的思路,后来的研究者都集中于解决用尺规作出两给定线段的两个比例中项.虽然没有能在尺规作图的限制下解决,但在探究解法的过程中,数学家们获得了许多重要的结果.在求解三等分任意角问题时,希腊数学家从运动的观点发明了割圆曲线以及用螺线求解的方法,相继发展了高等几何,反映出希腊数学所达到的高度.研究化圆为方问题时,数学家安蒂丰(Antiphon,公元前430年)直觉地认识到当圆的内接多边形的边数不断倍增时,这个内接正多边形边数将越来越接近圆,“最后”的正多边形必将与圆重合,即多边形与圆的“差”必将穷竭.因此,后人认为是安蒂丰首先提出了“穷竭法”.但事实上“最后”的正多边形是无法达到的.边数不断倍增的过程一旦中断,多边形仍是多边形,圆仍是圆,“重合”是不可能实现的.因而,后来数学家在对待化圆为方问题时是持慎重态度的.该方法作为一种求圆的面积的近似方法,是很有价值的.注重演绎与体系的希腊文化,使得三大作图难题的研究在数学史上持续了两千多年.18世纪,人们用代数方法对尺规作图的可能性问题进行了深入研究,把几何作图问题划归为一个代数方程加以考虑.一个尺规作图问题能否解决,要看与此问题相应的代数方程能否通过对系数进行加减乘除和开平方运算求出,最后得出的结论是,三大几何作图问题都是无法解决的.2.3拉丁语和亚里士多德的数学思想2.3.1柏拉图在希腊数学经典中的表现柏拉图(Plato,公元前427—347年)是希腊历史上第一位有大量著作传世的哲学家,是西方客观文化的创始人.原本喜爱文学的柏拉图和苏格拉底相识后,对哲学产生了极大的兴趣,他虽然不是专业数学家,但由于他大力倡导数学,热心数学教育事业,对希腊数学的发展起到了积极的促进作用.柏拉图的传世之作是《理想国》,在这部经典中,哲学问题、道德问题、教育问题、民主问题等与人类息息相关的文化问题均有涉猎.柏拉图在《理想国》中反复强调数学具有培养思维能力、增进才智的作用.柏拉图主张,数学定理必须从一些公认的假设出发进行演绎证明,这一思想可以看做是公理方法的开端2.3.2园林的比例论柏拉图学园造就了一批数学家,他们继承毕达哥拉斯的数学传统,把论证数学推向成熟阶段.该学园的数学成就主要是:1)提出了比例论和穷竭法.该学园的比例论排除了毕达哥拉斯学派只适用于可公度量的算术方法,纯粹用公理法建立理论,无论所涉及的量可否公度都能适用,从而克服了因不可公度量的发现所造成的数学基础的危机.2)对无理量和正多面体的研究.该学园研究了一般的二次及更高次不尽根,讨论了一些有关性质.发现了正8面体和正20面体的构图方法,并且证明了在这5种正多面体之外不可能有其他正多面体.3)发现了圆锥曲线.柏拉图学园在考虑倍立方问题时研究了希波克拉底得出的关系式3注重演绎推理的希腊文化使希腊数学进入历史时代公元前4世纪末,亚历山大城建造了一个规模宏大的亚历山大大学和一个大图书馆,一些有名望的学者到这里从事研究.由于数学是当时一切学科的核心,所以亚历山大城成为数学的中心.在这个数学中心里,所得到的法则大多是经验性的,是简单事例的推广,人们追求知识是由于需要的驱使.为了知识而去追求知识的希腊文化,使得一些古希腊数学家从古文化中继承原始资料,在对原始资料的研究中寻找严格演绎证明的方法,寻找在定义、公理和公设的基础上通过一系列定理来发现一门学科,以及不断争取全面推广和抽象的方法.公元前3世纪前后,希腊数学发展到峰巅,出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼斯三大几何学家,他们的成就不仅是空前的,也是身后1000多年时间内无人可及的.因此,他们生活的年代被称之为希腊数学的黄金时代.3.1《几何原本》的历史贡献欧几里得(Euclid,公元前330—275年)生于雅典,早年在柏拉图学园受过教育,以《几何原本》著称于世.《几何原本》的部分内容来自前人,一些不严格的证明也纳入其中.《几何原本》的重要性与其说是罗列了大量旧定理或证明了若干新定理,不如说是示范了公理化体系的巨大威力,将数学证明的严密性推上了前所未有的高度.《几何原本》共13卷,总计460多个命题.这本书不单讲几何,还涉及初等数论和几何式代数.其历史贡献主要表现在以下3个方面.1)《几何原本》从少数几个公理出发,由简到繁地推演出460多个命题,建立起人类历史上第一个完整的公理演绎体系,成为数学史上的一座丰碑,是希腊数学的最大成就.2)《几何原本》是西方教育的依据,从古代到19世纪,它不仅是几何学的标准教科书,而且被认为是研究数学的人必读的经典,因而有“数学家的圣经”这一美称.3)欧几里得为几何证明提供了规范,其中许多证明是他本人独创的,表现出了很高的技巧.书中的证明方法主要是综合法、分析法和归谬法(反证法)3.2《圆锥曲线》的历史贡献阿波罗尼斯(Apollonius,公元前262—190年)生于小亚细亚西北部的城市,他写过多部数学著作,以《圆锥曲线》最为成功.《圆锥曲线》分8卷,共487个命题.阿波罗尼斯的《圆锥曲线》不同于现代的解析几何,原因在于阿波罗尼斯是用几何方法研究几何性质的,他的“方程”是用几何语言描述的.在当时的数学知识体系中,无法引用适用于平面上所有的点的坐标,也无法建立一般的函数关系式,因而,也就不可能进入现代解析几何领域.阿波罗尼斯的《圆锥曲线》的历史贡献在于:依靠改变截面的角度从一对顶圆锥得到3种圆锥曲线,得到和3种圆锥曲线方程等价的几何关系式.系统讨论了圆锥曲线的各种性质,例如:圆锥曲线的弦、直径、共轭直径、切线、法线、双曲线的渐近线、有心曲线的中心等性质.全书有严密的公理体系,是《几何原本》之后又一登峰造极的几何学巨著.3.3阿基米德的数学贡献阿基米德(Archimedes,公元前287—212年)出生时,古希腊的辉煌文化已经逐渐衰退,经济、文化中心逐渐转移到埃及的亚历山大城,意大利半岛上新兴的罗马共和国正不断地扩张势力.新旧势力交替的时代,也是最容易孕育新思想、产生新文化的时代.阿基米德是一位有着辉煌成就的数学家,后人把他与牛顿、高斯并列为3位最伟大的数学家.阿基米德还是一位伟大的物理学家、发明家,他注重用数学方法处理工程和力学中的实际问题,被称为“力学之父”.阿基米德的著作有些像现代的论文,都以小册子的形式出现,流传到现在的数学著作有《抛物弓形求积》《论方法》《论劈椎体与球形体》《圆的度量》《论球和圆柱》《论螺线》《论砂数》.还有两本物理著作《论浮体》《论平板的平衡》.阿基米德代表了古代数学用有限方法处理无限问题的最高水准,得出了许多今日要用极限和微积分推算的结果.他首先从事定量研究,突破了古典时期几何定性研究的传统,例如:欧几里得只满足于证明“两圆面积之比等于它们的直径平方之比”,而阿基米德则要努力追求π的高精度的近似值,以便求出圆的面积.我们今天用的抛物弓形面积公式,球、球缺、椭球体等体积公式都是由阿基米德发现的.4重视抽象、演绎及体系的希腊文化推动了三角学的创立和数学模式的起源早在公元前300年,古埃及人就有了一定的三角学知识,主要用于测量.从公元前2世纪开始,由于天文研究的需要,希腊数学开始了由定性研究向定量研究的转变,理论几何被逐渐淡化,并创立了三角学.淡化理论几何的又一反映是算术和代数作为一门独立学科的发展,重视抽象、演绎及体系的希腊文化,促使希腊数学家开始思考用符号表示数学概念、数学量与量之间的关系、数学公理、数学公式,并以丢番图的简字代数的形式表现出希腊数学思想新的突破.在将数学尊称为“学”、是成体系的学问的希腊文化环境里.在三角学的初创中,由于数学符号的使用,为三角学的发展提供了便利.三角学的进一步发展,又为数学符号体系的进一步完善打下了基础.因而,三角学的初创和代数符号化的起源,是希腊数学家们努力的必然结果.4.1《唐》的弦表及其应用托勒密(公元前87—165年)是希腊天文学和三角术的集大成者,他传世的几部