2021年河南省高考数学仿真模拟试卷（理科）（三）（附答案详解）

2021年河南省高考数学仿真模拟试卷（理科）（三）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.(2021•河南省•模拟题)若z=2-i,则Z2-4Z=()

A.—5B.—3C.3D.5

2.(2021•河南省•模拟题)已知集合4={x\x2+x—6<0],B={x|l—x<2rri],且An

B={x|-1<x<2],则m=()

A.2B.OC.-1D.1

3.（2021•河南省•模拟题）在等差数列｛an｝中，若=30,a4=11,则｛即｝的公差

为（）

A.-2B.2C.-3D.3

4.（2021•河南省・模拟题）电力工业是一个国家的经济命脉,它在国民经济和人民生活中

占有极其重要的地位.目前开发的电力主要是火电，水电、风电、核电、太阳能发

电，其中，水电、风电、太阳能发电属于可再生能源发电.如图所示的是2020年各

电力子行业发电量及增幅的统计图，下列说法错误的是（）

2020年各电力子行业发电量及增幅

=发电反（万亿度）—增忸

n-------T1--1

8rT42TJ60%

7r+“十一十1।

二------卜…+--140%

6-fsTKT

5一T.一l工30%秘遢510%%5滉20%

4；2.S7阂1.20%］空竺〜

3卜苛丁付

2”.十,T3厂一厂…厂1_20%

:用工配:国二亶I亶工虹，

0-

仝行业火电水电风电核电太阳能发电

A.其中火电发电量大约占全行业发电量的71%

B.在火电，水电、风电、核电、太阳能发电量中，比上一年增幅最大的是风电

C.火电，水电、风电、核电、太阳能发电的发电量的极差是7.28

D.以上可再生能源发电量的增幅均跑赢全行业整体增幅

5.（2021•河南省•模拟题）已知应sina+cosa=遍，则cos2a=（）

A.B.IC.D.1

3322

6.（2021•河南省・模拟题）已知函数/"（x）=cos（s山x）,贝ij（）

A./（X）不是周期函数B./（x）的值域为

C./（x）没有零点D./（%）在（0,兀）上为减函数

7.（2021•河南省•模拟题）已知实数x,y满足Jy<-2x-1,则目标函数z=2x-y的最

[y<+4,

大值为（）

A.—1B.—3C.—7D.—10

8.（2021.河南省.模拟题）设双曲线。：胃_，=i（a>0,b>0）,若右焦点“5,0）到它

的一条渐近线的距离为3,则该双曲线的离心率e的值为（）

9.（2021•河南省•模拟题）某个由四棱柱和三棱柱组成的组合

体的三视图如图所示，则该组合体的表面积为（）

A.20+2V2

B.22+2V2

C.18+2V2

10.（2021.河南省•模拟题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学

王子”的称号.设%6R,用[幻表示不超过x的最大整数，则丫=[幻称为高斯函数,

例如：[-5.1]=-6,[7r]=3,已知函数f（x）=导，则函数y=[/（x）]的值域为（）

A.{-1}B.{-1,0}C.{1}D.{0,1）

11.（2021•河南省•模拟题）已知抛物线C：y2=8x的焦点为尸，过点P（l,0）的直线/交抛

物线C于A,8两点，交抛物线C的准线于点。，若|QF『=2|4"旧用，则直线/

斜率的绝对值为（）

A.2B.V3C.V2D.y

12.（2021•河南省•模拟题）已知函数=x-ln（x+3）,g（x）=ex-a+9ea-x,其中e

为自然对数的底数，若存在实数见使得/（g）+9（尤0）=4成立,则实数a的值为（）

A.—ln3B.In3C.-2+ln3D.-2—ln3

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.（2021•河南省•模拟题）已知数列{&J的前"项和为Sn,若又=2"1-2,nWN*,则

14.（2021•河南省・模拟题）第19届亚运会将于2022年9月10日至25日在杭州市举行,

某大学将5名志愿者安排到4个比赛场地去服务，每名志愿者只去1个场地，每个

场地至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有种.

第2页，共17页

15.(2021.河南省•模拟题)在三棱锥P—ABC中，已知P4=PB=PC=4C,ABIBC,

则直线PB与平面ABC所成角的余弦值为.

16.(2021♦河南省•模拟题)已知圆O是△ABC的外接圆，半径为1,且成丽+

V3OC=0.则灵-AB=.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.(2021・河南省•模拟题)已知AABC三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,sinC=

2sinBcos(B+C),4

6

(1)证明：c2=3b2.

(2)若△4BC的面积是在，求a的值.

4

18.(2021•河南省•模拟题)从2021年开始，某省将试行“3+1+2”的普通高考新模式,

其中“3”为全国统考科目语文，数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，

考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物，

思想政治、地理4个科目中选择两科.现有某校学生甲和乙准备进行选科目，假设他

们首选科目都是物理，再选科目时，他们选择每个科目的可能性相等，且他们的选

择互不影响，已知甲和乙各选考了3个科目.

(1)求甲和乙再选科目中恰有1个科目相同的概率；

(2)用随机变量X表示甲和乙所选的3个选考科目中相同科目的个数，求X的分布

列和数学期望.

19.(2021•河南省•模拟题)如图，在四棱锥P-4BCD中，底面

ABCD是边长为4的菱形,=60°,PA=PD=V13,

E为AB的中点，。为4。的中点，PE1AC.

(1)证明：AC1PO；

(2)求二面角4-PD-B的余弦值.

20.(2021•河南省•模拟题)已知椭圆+1®>b>0)的离心率为右右焦点为F,

。为坐标原点，点Q在椭圆C上，FQ1OF,且尸Q|=:

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点P(m,0)为椭圆C长轴上的一个动点，过点尸且斜率为|的直线/交椭圆C于A,

B两点，证明：|P4『+为定值.

21.(2021•河南省•模拟题)已知函数f(x)=xlnx.

(1)讨论函数g(x)=/(%)-ax-]-1的零点个数.

2sinx-cosx-2

证明:/(%)>

(2)2+cosx

第4页，共17页

22.(2021.河南省.模拟题)在直角坐标系M))，中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为

极轴建立极坐标系，曲线Ci的极坐标方程为pstn。=6.M为曲线Ci上的动点，点N

在线段OM上，且满足|。时=蒜，点N的轨迹为C2.

(1)求的直角坐标方程；

(2)设点A的极坐标为(1*),点8在曲线C2上，求AOAB面积的最大值.

23.(2021•河南省・模拟题)已知函数/(x)=\3x-a|+2a.

(1)当a=-1时，求不等式f(x)<5的解集；

(2)设函数g(x)=-1|,当时，/(x)+3g(x)29,求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【知识点】复数的四则运算

【解析】解：z=2-i,

则z?—4z——(2-i)?-4(2—i)=4—1—4i—8+4i=-5,

故选：A.

利用复数的运算法则即可得出.

本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

2.【答案】D

【知识点】交集及其运算

【解析】解：,；4={x[-3<x<2},B—(x\x>1-2m},AC\B=(x\-1<x<2},

■1•1—2m=-1,解得m=1.

故选：D.

可求出集合A,B,然后根据4nB={x|-1WxW2}即可求出机的值.

本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算

能力，属于基础题.

3.【答案】B

【知识点】等差数列的通项公式

【解析】解：设等差数列斯的公差为d,由a?+a9=2a6=30,得a6=15,所以2d=

a6—a4=15-11=4,解得d=2.

故选：B.

设等差数列an的公差为d,利用等差数列的性质可得a?+=2a6=30,从而根据2d=

&6—&4即可得出{an}的公差.

本题主要考查等差数列的通项、考查运算求解能力；涉及的核心素养是数学运算，属于

简单题.

4.【答案】C

【知识点】频率分布直方图

第6页，共17页

【解析】解：对于A,火电发电量大约占全行业发电量为篝-0.71,故选项A正确；

对于B,由折线图可知，风电增幅为10.50%,是增幅最大的，故选项8正确；

对于C,火电，水电、风电、核电、太阳能发电的发电量的极差是5.28-0.14=5.14,

故选项C错误；

对于力，由折线图可得，可再生能源发电量的增幅均跑赢全行业整体增幅，故选项。

正确.

故选：C.

利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可.

本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键,

属于基础题.

5.【答案】A

【知识点】二倍角公式及其应用

【解析】解：因为/sina+cosa=V5，可得cosa=b—Vasina,

由于sin2a+cos2a=sin2a+(V3—\[2sina)2=1,整理可得(Vasina—V2)2=0,

所以sina=立，

3

所以cos2a=1—2sin2a=1—|

故选:A.

由已知可得cosa=遮一Vasina,利用同角三角函数基本关系式可得(遮sina-鱼¥=

0,解得sina,利用二倍角公式即可求解cos2a的值.

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，

考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

6.【答案】C

【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质

【解析】解：对于函数/(x)=cos(sinx),由于/(x+兀)=cos[sin(x+兀)]=

cos(-sinx)=cos(sinx)=f(x),故兀是/(x)的一个周期，故A错误；

1.•sinxe[-1,1]，故/(x)的值域为[cosl,l],故B错误：

☆f(x)=cos(sinx)=0j"sinx=k7r+B，keZ,故x不存在，故f(%)没有零点，故

C正确;

/(x)在(0弓)上递减，再G，兀)上单调递增，故。错误，

故选：C.

由函数的解析式，利用三家函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结.

本题主要考查三角函数的图象和性质，考查逻辑思维能力以及运算求解能力，属于中档

题.

7.【答案】B

【知识点】简单的线性规划

【解析】解：由约束条件作出可行域如图,

y

y—2x-l

联立棋2k；°，解得省-VO，

化z=2x-y为y=2%-z,由图可知，当直线y=2x-z过A时,

直线在y轴上的截距最小，z有最大值为-3.

故选：B.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最

优解的坐标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

8.【答案】D

【知识点】双曲线的性质及几何意义

【解析】解：双曲线4-4=l(a>0,b>0),若右焦点F(5,0)到它的一条渐近线

bx土ay=0的距离为3,

所以3=T4M=*=d所以a=7c2一炉=4,

y/a2+b2c

所以双曲线的离心率e=£=今

a4

故选：D.

第8页，共17页

利用已知条件求解c,b,推出“，即可求解双曲线的离心率.

本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题.

9【答案】A

【知识点】空间几何体的三视图

【解析】解：由三视图还原原儿何体如图,

该组合体下半部分是长方体，长方体的底面是边长为2的正方形，高为1,

上半部分是直三棱柱，高为L

则该组合体的表面积S=2(1x2+1x2+2x2)+2x1x2+1x272=20+2五.

故选：A.

由三视图还原原几何体，可知该组合体下半部分是长方体，长方体的底面是边长为2的

正方形，高为1,上半部分是直三棱柱，高为1,再由三角形及矩形的面积公式求解.

本题考查三视图及组合体的表面积，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题.

10.【答案】B

【知识点】函数定义域与值域

【解析】解：因为f(一为=7^77=—/(X),

所以/(%)是R上的奇函数，

当x>0时，/。)=岛十=\此时/(x)6(0,排

根据奇函数对称性可知e

所以函数y=[/(x)]的值域为{-1,0}.

故选：B.

先判断出函数/(x)为奇函数，根据奇函数的对称性及分离系数法求出/Q)的值域，进而

可求.

本题主要考查了数学文化即函数性质，考查了逻辑推理的能力和运算求解能力.

11.【答案】C

【知识点】抛物线的性质及几何意义

【解析】解：由题意可得尸(2,0),直线/的斜率存在，且不为0,

设/的方程为y=k(x-1),

联立方程｛；2=器：—D，可得I/一(2/+8)x+炉=0,

设B(x2,y2),

二由韦达定理可得*1+%2=2+*,％1%2=1>

由抛物线定义得|”|•田用=(%1+2)(X2+2)=%1%2+2(/+犯)+4=9+程

•••点。过直线/,且过抛物线C的准线，

•••Q(-2,-3k),

由两点之间距离公式可得，|(?/『=42+(-3/c)2=16+9k2,

•••\QF\2=2\AF\\BF\,

•-16+9/c2=2(9+解得|/c|=

故选：C.

2

将直线与抛物线联立可得一(2/+8)x+fc=0,运用已知条件|QF『=

2\AF\\BF\,结合抛物线的定义，以及韦达定理，即可求解.

本题考查了抛物线的定义、两点间的距离公式，以及二次函数的韦达定理，需要学生有

一定的基础，熟练掌握公式，属于中档题.

12.【答案】D

【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值

【解析】解：函数/■(无)=x-ln(x+3),xe(-3,+oo),［。)=1-*=詈，可得函

数/(%)在(—3,-2)上单调递减，在(-2,+8)上单调递增，.•.fQ)2/(-2)=-2.

g(x)=ex-a+9ea-x>2yjex-a-9ea-x=6,当且仅当x=a+时取等号.

•••/(x)+g(x)>-2+6=4,

若存在实数X。使得/Qo)+g(x<))=4成立，则等号同时成立，因此—2=a+，n3,解得

a=-2-Ini.

故选：D.

函数/1(%)=x-ln(x+3),%£(-3,+8),//(%)=1—9二不，研究其单调性可得极

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值与最值.利用基本不等式可得g(x)的最小值，根据若存在实数而使得/(xo)+g(xo)=

4成立，结合等号成立的条件即可得出结论.

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、基本不等式的应用，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题.

13.【答案】8

【知识点】数列的递推关系

n+1

【解析】解：数列｛斯｝的前〃项和为％，Sn=2-2,neN*,

=43

则&3=S3-S22-2=8.

故答案为：8.

利用数列的和与通项的关系，求解即可.

本题考查数列的项的求法，数列的和与通项公式的关系，是基础题.

14.【答案】240

【知识点】排列、组合的综合应用

【解析】解：根据题意，分2步进行分析：

①将5人分为4组，有废=10种分组方法，

②将分好的四组全排列，安排到4个比赛场地去服务，有北=24种情况，

则有10X24=240种安排方法；

故答案为：240.

根据题意，分2步进行分析：①将5人分为4组，②将分好的四组全排列，安排到4

个比赛场地去服务，由分步计数原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

15.【答案

【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角

【解析】解：如图，取AC的中点。，连接P。，BO,

vA81BC,:.OB=OA=OC,

又P/=PC=PB,/.POA.AC,

・•・△PAO^^PCO三2PBO,

・・・PO_LOB,从而PO1平面ABC,

•••PB与平面ABC所成角为NPB。，

an-1A-C-i

cosZ-PBO=丝=J=L

BPBP2

故答案为：

取AC的中点O,连接P。，BO,推导出P014C,APAOmAPCOmAPBO,PO1OB,

从而P。！平面ABC,进而P8与平面ABC所成角为NPBO,由此能求出直线PB与平面

ABC所成角的余弦值.

本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知

识，考查推理论证能力、运算求解能力等基础知识，是中档题.

16.【答案】任渔

3

【知识点】向量的数量积

【解析】解：・必力8。的外接圆半径为1,.・.|65|=|而|=|元|=1，

又a+VI赤+旧品=6，.•.就+鱼而=一8就

两边平方得：OAOB=0^

所以沆.而=-y(O4+V2OF)•(OB-OA^)

=-^-(V2OB2-OA2+OAOB->/20A-OB^)

=一日(或一1)=学.

故答案为：出出.

3

推出II=I而I=I历I=1,求出瓦5•萌=0,利用历•存=一号(或+企赤)♦

(南-瓦?)，化简求解即可.

本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是

中档题.

17.【答案】解:(1)证明:因为sinC=2sinBcos(B+C),4=”,

O

所以由正弦定理可得c=2bcos(B+C)=2bcos(n—/)=-2bcosA=-2b.(-净=

y[3b,

所以两边平方，可得C2=3Z>2,得证.

(2)因为由(1)可得c=V3b»

所以△ABC的面积是遗=-bcsinA=-xbxV3hx工，解得b=1,

4222

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所以c=V3,

所以a=y/b2+c2-2bccosA=Jl+3—2xlxV3x(—=小­

【知识点】余弦定理、正弦定理

【解析】(1)由正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式化简己知等式即可得证c2=3b2.

(2)由(1)可得c=gb,利用三角形的面积公式进而可求江c的值，根据余弦定理即可

求解。的值.

本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，三角形的面积公式，余弦定

理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由题意可得，甲和乙再选科目中恰有1个科目相同的概率为P=

*捋_2

ClCl~3；

(2)由题意，X的可能取值为1,2,3,

所以P(X=1)=磊=&P(X=1)=曙=|,P(X=1)=品=[,

故X的分布列为:

X123

p121

636

10-1

所以E(X)=1X：+2X5+3X”2.

636

【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列

【解析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可；

(2)先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望

的计算公式求解即可

本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期

望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

19.【答案】(1)证明：连接。区

♦.•底面A8C。为菱形，.•.ACLBD,

又0E为△4BD的中位线，•••0E//BD,从而AC10E.

•：PE1AC,PEC\0E=E,ACI5?®POE,得4clp0：

(2)解：连接OB,:。。是等腰三角形月4。的中线，

•••PO1AD,由(1)知4C_LP。,

又4CnA£)=4,P。_L平面ABC。，且PO=片13-4=3,

由已知可得。BJ.AD,以。为坐标原点，分别以OA、OB、OP为x、y、z轴

建立空间直角坐标系.

则。(-2,0,0),(0,2V3,0)，P(0,0,3),

~DB=(2,2V3,0).PF=(0,2V3,-3).

设平面PBD的法向量为记=(x,y,z),

m-DB=2x+2\/3y=0

由取y=8，得记=(—3,遮,2);

jfn-PB=2V3y-3z=0

取平面PAD的一个法向量为元=(0,1,0).

设二面角A-PD-B的平面角为。，则cos。=黑=f.

|7n||n|lx<9+3+44

二面角a-PD-B的余弦值为立.

4

【知识点】线面垂直的判定、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角

【解析】(1)连接OE由底面ABC。为菱形，得进一步可得4CJ.0E,结合

PE1AC,证得4C1平面POE,即可得到ACJ.PO；

(2)连接。8,证明P。J•平面ABC。，OBLAD,以。为坐标原点，分别以04、OB、

OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量与平面的一个

法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角4-PD-B的余弦值.

本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空

间向量求解空间角，是中档题.

(1-

20.【答案】解：(1)由题意，可得｛广［25,解得。=5,/,=3,

-5

所以椭圆c的标准方程为1+〈=1；

259

(2)证明：设直线/的方程为x=|y+m(-5SmS5),4%,%),B(x2,yi),

—仔+廿=1,

9

联立方程组(2S5,可得50y2+30my+97n2-225=0,

Ix=|y+m

ixI,3m9m2—225

所以％+、2=~—»yxV2=-花-，

所以|P4|2=(%1_my+y2=^y2+y2=白石

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同理可得|PB[2=(x2-7n)2+避=^y2t

故IP川2+陷|2=^[(yi+y2)2_2乃归=表答—网产)=34,

所以|P用2+任用2为定值

【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的概念及标准方程

【解析】(1)由题中的条件，得到关于。和b的方程组，求解a,b,即可得到椭圆的标

准方程；

(2)设直线/的方程为x=|y+m(-5WmW5),与椭圆方程联立，得到韦达定理，由

两点间距离公式表示出|P4『，伊打匕结合韦达定理以及点在直线上进行化简，即可证

明.

本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系，在解决直线与圆锥曲线位置关

系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法

进行研究，属于中档题.

21.【答案】(1)解：因为g(x)=%伍%—a%+1(%>0),

所以g'(%)=Inx+1-a,

令g'(%)>°，得令g'(x)V0,得。<久<4一1,

所以g(x)在(0,/一1)上单调递减，在(ear,+8)上单调递增，

9(.x)min=g(e°T)=1-ea-1,

当a=1时，g(eaT)=1-ea-1=0,g(x)有且只有一个零点x=1；

a1fl1

当a<l时，5(e-)=l-e->0,g(x)没有零点；

当a>1时,，g(e°T)=1—ea-1<0,g(e")=nea-aea+1=1>0,

所以g(x)在(e°T,+8)上有唯一的零点，

又g©。)=-cte~a-ae~a+1=~~~~>登詈>0,所以g(x)在上有唯一零点.

综上所述，当a=l时，g(%)有且只有一个零点；

当QVI时，g(%)没有零点；

当Q>1时，g(x)有两个零点.

(2)证明：由(1)知，当a=l时，g(x)>g(x)min=0,BPx/nx>%-1,

3sinx-cosx-2

要证3伍x>只需证xZnxN尤一1>承嬴-1,

2+cosx

即证》>引,即证"+XCOSK~3sinx>0(%>0).

设九(%)=2%+xcosx—3sinx(x>0),

当x>兀时，/i(x)=2x+xcosx-3sinx=x(l+cosx)+x—3sinx>x—3>0,

当0<x<7rH寸，h'(x)—2—2cosx—xsinx,令t(x)=/i'(x),=sinx—xcosx,

再令W(x)=则中'(x)=xsinx>0,

所以t'(%)在(0,7i)上为增函数，t'(x)>t'(0)=0,

所以t(x)在(0,兀)上为增函数，t(x)=h'(约>1