2021年贵州省铜仁市碧江区中考数学三模试卷（附答案详解）

2021年贵州省铜仁市碧江区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.-2的相反数是（）

A.2B.-2C.-

2.如图，直线a〃b,若41=40°,Z2=55°,则43等于(

A.85°

B.95°

C.105°

D.115°

3.已知一元二次方程%2-2x-l=0的两根分别为m、n,则m+n的值为（）

A.-2B.-1C.1

4.如图，在菱形力BCD中，对角线AC与BD相交于点。，若力B=

2,LABC=60°,则8。的长为（）

A.2

B.3

C.V3

D.2V3

5.某出租车收费标准是：起步价6元（即行驶距离不超过3千米需付6元车费），超过3千

米后，每增加1千米加收1.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到

乙地支付车费17.2元，设此人从甲地到乙地经过的路程为x千米，则x的最大值是

()

A.13B.11C.9

6.已知一次函数为=QX+C和反比例函数为=《的图象如

图所示，则二次函数乃=。/+以+。的大致图象是（

7.不等式组；的整数解有三个，贝帽的取值范围是（）

小正方形的面积为1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直

角边长为从那么（a+b）2的值为（）

A.13B.19C.25D.169

9.将一个棱长为1的正方体水平放于桌面（始终保持正方体的一个面落在桌面上），则

该正方体正视图面积的最大值为（）

A.2B.V2+1C.V2

10.如图，在等腰直角△力中，4c=90。，点。是4B的

中点，且48=①，将一块直角三角板的直角顶点放

在点。处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与

AC.BC相交，交点分别为。、E,则CD+CE=（）

A.V2

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B.V3

C.2

D.V6

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.tan60°=.

12.分解因式：x2—4=.

13.在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现

在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是.

14.单项式-13xy2z3的次数为.

15.不等式x+6>3x的非负整数解是.

16.如图，在A4CB中，Z.BAC=50°,AC=2,AB=3,

现将绕点4逆时针旋转50。得到△4C/1，则阴影c

部分的面积为.

17.如图，点4是反比例函数>0）图象上一点，过点A

作x轴的平行线，交反比例函数丫2=;（%>0）的图象于点B,

连接。力、OB,若△048的面积为2,则k的值为.

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形04BC的边。力、0C分别在x轴和y轴上，0C=3,

0A=2乃，。是BC的中点，将^OCD沿直线。。折叠后得到^OGD,延长0G交AB于

点E,连接DE,则点G的坐标为

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）

19.(1)计算：(}-2+(兀-3.14)°-|百一2|-2(:。530。.

（2）先化简仁三然后x在-1,0,1,2四个数中选一个你认为合适

的数代入求值.

20.如图，点。是4B上一点，E是ZC的中点，连接DE并延长到F,

得DE=EF,连接CF.

求证：FC//AB.

21.如图，小明去观赏一棵千年古银杏树，当走到点A处时，测得

银杏树CD的仰角为30。，当向树前进40米到B处时，又测得树

顶端C的仰角为75。.请求出这棵千年古银杏树的高.（结果精确

到0.1米）.（参考数据：sin75。=等涯，遮=1.732,e=1.414）

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22.黔东南州某中学为了解本校学生平均每天的课外学习实践情况，随机抽取部分学生

进行问卷调查，并将调查结果分为4B,C,。四个等级，设学习时间为t(小时),

A：t<1,B-.1<t<1.5,C：1.5<t<2,D：t>2,根据调查结果绘制了如图

所示的两幅不完整的统计图.请你根据图中信息解答下列问题:

(1)本次抽样调查共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整;

(2)本次抽样调查中，学习时间的中位数落在哪个等级内？

(3)表示8等级的扇形圆心角a的度数是多少？

(4)在此次问卷调查中，甲班有2人平均每天课外学习时间超过2小时，乙班有3人平

均每天课外学习时间超过2小时，若从这5人中任选2人去参加座谈，试用列表或化

树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率.

23.如图，AB是。。的直径，点P在B4的延长线上，弦CD1AB,垂足为E,5.PC2=

PE-P0.

(1)求证：PC是。。的切线.

(2)若OE：EA=1：2,PA=6,求。0的半径.

c

24.凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方

法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，

例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1x(18-10)=0.8(元)，因此所买的18

只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元.

(1)求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？

(2)求写出该文具店一次销售x(x>10)只时，所获利润y(元)与x(只)之间的函数关

系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比

卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10<xW50时，为了获得最

大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？

25.如图，直线y=—x+3与x轴、y轴分别相交于点3、C,

经过B、C两点的抛物线y=a/+bx+c与x轴的另一

第6页，共25页

个交点为4,顶点为P,且对称轴为直线x=2.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)连接PB、PC,求APBC的面积；

(3)连接AC,在x轴上是否存在一点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC

相似？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】

A

【解析】

解：-2的相反数为2.

故选：A.

根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案.

此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题的关键.

2.【答案】

B

【解析】

解：,直线a〃b,

•••Z.4=z3>

Vz.1+z2=N4,

•••z.3=zl+z.2=95°.

故选8.

根据平行线的性质得出乙4=Z3,然后根据三角形外角的性质即可求得43的度数.

本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

3.【答案】

D

【解析】

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解：•.•方程/-2%-1=0的两根分别为小、n,

.br

Am4-n=——=2.

a

故选。.

根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系即可得出m+n的值，由此即可得出结论.

本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出m+n=2.本题属于基础题，难度不大,

解决该题型题目时，利用根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键.

4.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，含30。角的直角三角形，和菱形

的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分.

首先根据菱形的性质知4c垂直平分BD,再证出△4BC是正三角形，由勾股定理求出BO,

即可求出BD的长.

【解答】

解：•••四边形4BCD菱形，大~~77°

•■AC1BD,BD=2BO,//

•••4ABC=60°,B匕-----

.•.△ABC是正三角形，

・•・(BAO=60°,

AZ-ABO=30°,

OA=1,

BO=y/AB2-AO2=V3,

•••BD=2后

故选D.

5.【答案】

B

【解析】

解：因支付车费为17.2元，所以x肯定大于3km,故有

1.4(x-3)+6<17.2,

解得：x<11.

可求出X的最大值为11千米.

答：此人从甲地到乙地经过的路程为11千米.

故选：B.

已知从甲地到乙地共需支付车费17.2元，从甲地到乙地经过的路程为x千米，从而根据

题意列出不等式，从而得出答案.

本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题

列出不等式关系式即可求解，

6.【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象与系数的关系，解

题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负.本题属于基础题，

难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键.

根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x=

2a

找出二次函数对称轴在y轴左侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论.

【解答】

解：•・,一次函数%=QX+C图象过第一、二、四象限，

a<0,c>0,

・•・二次函数为=a/+bx+c开口向下，与y轴交点在不轴上方；

・♦•反比例函数丫2=:的图象在第二、四象限，

・•・h<0,

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・••二次函数4-bx+c对称轴在y轴左侧.

满足上述条件的函数图象只有8选项.

故选：B.

7.【答案】

A

【解析】

解：不等式组的解集为a<x<3,

由不等式组的整数解有三个，即x=0,1,2,得到-lWa<0,

故选：A.

根据不等式组的整数解有三个，确定出a的范围即可.

此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键.

8.【答案】

C

【解析】

解：设直角三角形斜边长为c,

根据题意得：c2=a2+b2=13,4x|ab=13—1=12,即2ab=12,

则(a+b)2=a2+2ab+b2=13+12=25,

故选：C.

根据题意，结合图形求出ab与a?+炉的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即

可求出值.

此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

9.【答案】

C

【解析】

解：正方体正视图为正方形或矩形.

•••正方体的棱长为1,

.・.边长为1.

・•.每个面的对角线的长为=V2.

二正方体的正视图（矩形）的长的最大值为近.

,••始终保持正方体的一个面落在桌面上，

二正视图（矩形）的宽为1.

最大值面积=1xV2=V2.

故选：C.

先求得正方体的一个面的上的对角线的长度，然后可求得正方体视图面积的最大值.

本题主要考查的是正方体的正视图，判断出正方体的正视图的形状是解题的关键.

10.【答案】

B

解：连接OC,

•••等腰直角AABC中，AB=V6，

•••Z.B=45°,

cosZ.B=—,

AB

BC=V6xcos45。=V6xy=V3.

•・,点。是43的中点，

・・・

OC=2-AB=OB,OCLAB,

:.乙COB=90°,

v(DOC+Z.COE=90°,乙COE+乙EOB=90°,

・•・Z.DOC=乙EOB,

同理得乙4C。=乙B,

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・••△OZ)C=AOEB,

・•・DC=BE,

•••CD+CE=BE+CE=BC=遍，

故选：B.

连接OC构建全等三角形，证明AODCmAOEB,得。C=BE；把CD+CE转化到同一条

线段上，即求8c的长：通过等腰直角△ABC中斜边4B的长就可以求出BC=曲,则CD+

CE=BC=V3-

本题考查了全等三角形和等腰直角三角形的性质和判定，对于求线段的和或差时，想办

法把线段利用相等关系放到同一条线段中去，再计算和或差；本题是利用三角形全等将

CD转化为BE,使问题得以解决.

11.【答案】

V3

【解析】

解：tcm60。的值为V5.

故答案为：V3.

根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可.

本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键.

12.【答案】

(x+2)(x-2)

【解析】

解：x2—4=(%+2)(%—2).

故答案为：(x+2)(x-2).

直接利用平方差公式进行因式分解即可.

本题考查了平方差公式因式分解.能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项

平方项，符号相反.

13.【答案】

1

2

【解析】

【解析】

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的都是合格品的

情况，再利用概率公式求解即可求得答案.此题考查了列表法或树状图法求概率.此题

属于不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

【解答】

解：画树状图得：

开始

X当

不合格

、

/、

不/N

不

合合

不

合

合

合合合合

合

格格

合

格

格

格

格格格格

格

・••共有12种等可能的结果，抽到的都是合格品的有6种情况，

二抽到的都是合格品的概率是：a=也

故答案为：

14.【答案】

6

【解析】

解：单项式一13町/223的次数为1+2+3=6,

故答案为：6.

一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数.直接利用单项式的次数的定义分

析得出答案.

此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数的确定方法是解题关键.

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15.【答案】

0,1,2

【解析】

解：解不等式x+6>3x得，x<3,

二不等式x+6>3x的非负整数解是0,1,2,

故答案为：0,1,2.

首先求出不等式的解集，然后求得不等式的非负整数解.

本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键.解

不等式应根据不等式的基本性质.

16.【答案】

5

-it

4

【解析】

解：’；SfBC=SAAJCT,

50.5

S阴影=S扇形=360nAB=4n'

故答案为：

4

根据旋转的性质可知S—BC=SAABIQ，由此可得S阳能=S扇形ABBJ根据扇形面积公式即

可得出结论.

本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，解题的关键是找出S碉=S扇形4B4•本题

属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于

扇形的面积是关键.

17.【答案】

5

【解析】

【分析】

此题考查了反比例函数k的几何意义,熟练掌握反比例函数%的几何意义是解本题的关键

.延长BA,与y轴交于点C,由与久轴平行，得到BC垂直于y轴，利用反比例函数k的几

何意义表示出三角形ZOC与三角形BOC面积，由三角形80C面积减去三角形AOC面积表

示出三角形40B面积，将已知三角形AOB面积代入求出k的值即可.

【解答】

解：延长BA,与y轴交于点C,

v轴，

•••BC1y轴，

•••4是反比例函数旷1=：0>0）图象上一点，B为反比例函数丫2=3（x>0）的图象上的

点，

"SAAOC=2'SABOC=2,

"MOB=2,畔-；2,

解得：k=5,

故答案为5.

18.【答案】

6V63

（T亏）

【解析】

解：过点G作GF1。4于点F,如图所示.

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・,•点。为BC的中点,

:.DC=DB=DG,

•.•四边形0ABe是矩形，

•••AB=0C,0A=BC,乙C=乙0GD=4ABC=90°.

^.Rt△DGE^WRtADBE^p,巴=*,

^DE=DE

:.Rt△DGE=Rt△DBE（HL）,

・•・BE=GE.

设力E=Q,则BE=3—Q,0E=yjOA2+AE2=V244-a2»0G=0C=3,

：•0E=0G++GE,即。24+a2=3+3—Q,

解得：a=1,

・•・AE=1,OE=5.

・・•GF1OA,EA1OA,

・•・GF//EA,

.OF_GF_OG

**0A~EA~OE9

八口OGOA3x2>/666_OGEA_3X1_3

•-0F="^_=_^_=v,="^=~=?

・••点G的坐标为（第,|）.

故答案为：（竿,|）.

过点G作GF1。4于点F,根据全等直角三角形的判定定理（HL）证出Rt△DGE王Rt△

DBE,从而得出BE=GE,根据勾股定理可列出关于力E长度的方程，解方程可得出4E的

长度，再根据平行线的性质即可得出比例关系雾=黑=络代入数据即可求出点G的

坐标.

本题考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定及性质以及平行线的性质，解题

的关键是求出线段4E的长度.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用

勾股定理得出边与边之间的关系是关键.

19.【答案】

解：（1）原式=4+1-（2-遮）-2x4

=5-2+V3-V3

3；

(2)原式=任铲.六X

X

=X+1,

Vx=-1,0、1的时候，原分式无意义,

•••x只能取2,

则当x=2时，原式=2+1=3.

【解析】

(1)先计算负整数指数塞、零指数累、去绝对值符号、代入三角函数值，再计算乘法，

最后计算加减即可；

(2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式的x的值代入计算即

可.

本题主要考查实数的运算、分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和

运算法则.

20.【答案】

证明：•••£是4c的中点，

■1•AE=CE,

又EF=DE,乙4ED="EC,

在CFE中，

AE=EC

DE=EF,

Z.AED=Z.CEF

:ADE毛4CFE(SAS).

•••/.EAD=乙ECF.

•••FC//AB.

【解析】

利用已知条件容易证明△ADE三ACFE,得出角相等，然后利用平行线的判定可以证明

FC//AB.

此题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定定理.通过全等得角相等，然

第18页，共25页

后得到两线平行时一种常用的方法，应注意掌握运用.

21.【答案】

解：设CD=x米.

在RtzsMCC中，•••Z.A=30°,

tan3O°=—,

AD

AD=V3x，

•••BC=AD-AB=岳一40，

rr\

在中，tan75°=—,

RMBCOBD

.V6+V2_x

“4-V3X-40,

解得％X70.6,

答：这棵千年古银杏树的高为70.6米.

【解析】

通过解直角△4CC得到：AD=WCD;通过解直角ABCO得到8。=鸟7

tan75

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解

决问题，属于中考常考题型.

22.【答案】

解：（1）共调查的中学生数是：60+30%=200（人），

C类的人数是：200-60-30-70=40（人），

如图1：

(2)本次抽样调查中，学习时间的中位数落在C等级内;

(3)根据题意得:a=券X360°=54°；

(4)设甲班学生为&,乙班学生为B2,B3,

一共有20种等可能结果，其中2人来自不同班级共有12种,

•••P(2人来自不同班级)=算=|.

【解析】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得

到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统

计图直接反映部分占总体的百分比大小.(1)根据4类的人数和所占的百分比即可求出总

数；求出C的人数从而补全统计图；

(2)根据中位数定义可得答案；

(3)用B的人数除以总人数再乘以360。，即可得到圆心角a的度数；

(4)先设甲班学生为a，A2,乙班学生为BI，B2,B3根据题意画出树形图，再根据概率

公式列式计算即可.

23.【答案】

(1)证明：连结OC,如图,

vCDLAB,

第20页，共25页

乙PEC=90°,

vPC2=PE-PO,

PC：PO=PE：PC,

而“PE=乙OPC,

•t.△PCE~APOC,

•••LPEC=4PCO=90°,

OC1PC,

■­PC是。。的切线;

(2)解：设OE=x,则E4=2x,OA=OC=3x,

••/.COE=/.POC,WEC=Z.OCP,

•••△OCEsAOPC,

OC：OP=OE：OC,即3x：OP=%：3x,

解得OP=9久，

3x+6=9x,解得x=1,

OC=3.

即。。的半径为3.

【解析】

(1)连结OC,如图，由PC2=PE•P。和公共角可判断^PCEFPOC,贝吐PEC=乙PCO=

90°,然后根据切线的判定定理可判断PC是O。的切线；

(2)设OE=x,则EA=2x,OA=OC=3x,证明△OCE-'ZiOPC,利用相似比可表示出

OP,则可列方程3x+6=9x,然后解出x即可得到。。的半径.

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已

有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.也考查了切线的判定方

法.

24.【答案】

解：(1)设一次购买x只，

51020-0.1(x-10)=16,

解得：x=50.

答：一次至少买50只，才能以最低价购买;

(2)当10<x<50时,

y=[20-0.1(x-10)-12]x=-O.lx2+9x,

当%>50时,y=(16—12)x=4x；

综上所述:y=｛；°；lx2蟒"°<X-50)；

(4x(x>50)

(3)y=-O.lx2+9x=-0.1(x-45)2+202.5,

①当10<xW45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大.

②当45<xW50时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小.

且当x=46时，%=202.4,

当x=50时，y2=200.

%>72-

即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象.

当％=45时，最低售价为20-0.1(45-10)=16.5(元),此时利润最大.

【解析】

(D设一次购买x只，由于凡是一次买io只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只

就降低0.10元,而最低价为每只而元,因此得到20-0.1。-10)=16,解方程即可求

解；

(2)由于根据(1)得到x450,又一次销售x(x>10)只，因此得到自变量x的取值范围，

然后根据己知条件可以得到y与x的函数关系式；

(3)首先把函数变为y=-O.lx2+9x=-0.1(x-45)2+202.5,然后可以得到函数的增

减性，再结合已知条件即可解决问题.

本题考查了二次函数的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先

要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该

在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在x=

—,白时取得.

2a

25.【答案】

第22页，共25页

解：(1)•.•直线y=-x+3与x轴相交于点B,

二当y=0时，x=3,

•••点B的坐标为(3,0),

•••y=-%+3过点C,易知C(0,3),

・，•c=3.

又•.•抛物线过%轴上的4B两点，且对称轴为％=2,

根据抛物线的对称性，

二点4的坐标为(1,0).