2021年广西崇左市中考数学一模试卷(含答案解析)

2021年广西崇左市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.在3.14,-V3>V6415，—,3.14114111411114.（后面依次多个1）中，不是有理数的

732

实数个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图是从一个几何体的上面看到的图形,其中数字代表几何体的高度，那么从22

4.腾讯指数大数据显示，在庆祝祖国70华诞期间，与“我和我的祖国”音乐相关的信息全网传播

总量达1271.7万条.将1271.7万用科学记数法表示为（）

A.1.2717x103B.1.2717x104C.1.27x107D.1.2717x107

5.甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（m）与时间t（m出）间的函数关系如图所示，则下列

说法中正确的个数有（）

①甲、乙两人进行1000米赛跑；②甲先慢后快，乙先快后慢；③比赛到2分钟时，甲、乙两人跑

过的路程相等；④甲、乙同时到达终点.

6.下列运算正确的是（）

A.(m—n)2=m2—n2B.(m2)3=m6

C.m4-m2=m8D.3m-2m=2

7.己知点P关于x轴的对称点Pi的坐标是（-5,6）,则尸点关于原点的对称点P2的坐标是（）

A.(-5,-6)B.(-5,6)C.(5,-6)D.(5,6)

8.如图，已知在0。中，4B=4遍,AC是。0的直径，力C1BD于F,乙4=30°.

图中阴影部分的面积是（）。

A.47r

B.n

8

-7T

C.3

16

D.-71

3

9.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当0<x<2时，y的取值范围

是（）

A.-2<y<0

B.—4<y<0

c.y<—2

D.y<—4

10.某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元.小明买20张门票共花了1225元，设

其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意，下列给出方程组正确的是（）

；%+y=20x4-y=1225

A.B.

135%+70y=1225・35%+7Oy=20

%+y=1225；%+y=20

C.D.

.70%4-35y=20[70x+35y=1225

11.下列说法正确的是（）

对角线互相垂直的四边形是菱形

B.矩形的对角线互相垂直

C.一组对边平行的四边形是平行四边形

D.四边相等的四边形是菱形

12.下列各数中，相等的是（）

A.-1与(―4—3)B.|-3|与一(一3)

D.—4z与36

二、填空题（本大题共6小题，共18・0分）

V2X+1.

13.使代数式:,有意义X的取值范围是.

\x\-x

14.多项式一4因式分解的结果是

15.如图，某河堤的横断面是梯形ABC。，BC//AD,已知背水坡CD的坡度

i=1：2.4,CO长为13米，则河堤的高BE为米.

16.某地教育局拟招聘一批数学教师，现有一名应聘者笔试成绩88分、面试

成绩90分，综合成绩按照笔试占45%、面试占55%进行计算，该应聘者的综合成绩为分.

17.如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是2米，底面半径为1米，则做这把

遮阳伞需用布料的面积是巾2(结果保留兀)

18.抛物线y=a(x+l)(x-3)与x轴交于A、B两点，抛物线与x轴围成的封闭区域(不包含边界),

仅有4个整数点时(整数点就是横纵坐标均为整数的点)，则a的取值范围

三、解答题(本大题共8小题，共66.0分)

19.四个数八b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成力，这个记号就叫做2阶行

列式，定义力=ad-be.例如：［=1x4-2x3=-2.若；2"=以求x的

值.

20.解答下列各题:

X

(1)解方程：^-+1

1+X

(2)已如x—3y=0,求分式-,的值•

21.如图，四边形A8CD中，AC平分心DAB,^ADC=/.ACB=90°,E为AB的中点,

⑴求证：AC2=AB-AD.

(2)求证：CE//AD-,

(3)若40=4,AB=6,求AF的值.

22.中国的数字支付正在引领未来世界的支付方式变革，中国消费者的移动支付比美国的移动支付

要多出11倍，所以当我们展望数字钱包的未来时，中国是一个自然的起点.某校数学兴趣小组

设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并

绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)这次活动共调查了人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为

(2)将条形统计图补充完整.观察此图，将各种支付方式调查人数组成一组数据，求这组数据的“中

位数”是“”；

(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方

式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求两人选同种支付方式的概率.

23.如图(1),在A4BC中，如果正方形尸QMN的边在上，顶点P,N分别在AB,AC上，

那么我们称这样的正方形为“三角形内接正方形”小波同学按数学家波利亚在《怎样解题》中

的方法进行操作：如图(2),任意画△28C,在AB上任取一点画正方形P'Q'M'N',使Q',M'

在BC边上，N'在AABC内，连结BN'并延长交AC于点N,画NM1BC于点M,NPLNM交AB

于点P,PQLBC于点Q,得到四边形尸QMV,小波把线段BN称为“波利亚线”，请帮助小波

解决下列问题：

(1)四边形PQMN是否是△ABC的内接正方形，请证明你的结论；

(2)若△ABC为等边三角形，边长BC=6,求△ABC内接正方形的边长；

(3)如图(3),若在“波利亚线”BN上截取NE=NM,连结EQ,EM.当器=点寸，猜想“EM的度数，

并说明你的理由.

图1图2图3

24.某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱.为

了促销，该水果店决定降价销售.市场调查反映：若售价每降价1元，每星期可多卖10箱.设

该苹果每箱售价x元(40Wx460),每星期的销售量为y箱.

(1)求y与x之间的函数关系式：

(2)当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？

(3)当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？

25.在菱形ABCZ)中，AB=2,NDAB=60。，点E是4D边的中点，点

M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线于点N,

连接M。、AN.

(1)问MB与CN的和是否为定值，若为定值请求出此值；

(2)当AM的值为时，四边形A8CN为等腰梯形；

(3)当(2)的条件下，△4DN以。为旋转中心，顺时针方向旋转a度(0。<a<180。).得到△A'DN',问

在旋转过程中，四边形A4BN'能否成为特殊的四边形？若能请指出四边形44BN'的形状并写出

旋转的角度.

26.结果如此巧合！

下面是小颖对一道题目的解答.

题目：如图，RtZkABC的内切圆与斜边AB相切于点。，AD=3,BD=4,求△ABC的面积.

解：设AABC的内切圆分别与AC、3c相切于点E、F,CE的长为x.

根据切线长定理，得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.

根据勾股定理，得(％+3)2+(%+4)2=(3+4)2.

整理，得/+7%=12.

所以SMBC=)JBC

1

=-(x+3)(x+4)

1,

-(x2+7x+12)

=-x(12+12)

=12.

小颖发现12恰好就是3x4,即AABC的面积等于AO与8。的积.这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索.

已知：△力BC的内切圆与48相切于点£),AD=m,BD=n.

可以一般化吗？

(1)若Z_C=90。，求证：△4BC的面积等于

倒过来思考呢？

(2)若4c-BC=2mn,求证NC=90°.

改变一下条件……

(3)若4c=60。，用〃?、"表示AABC的面积.

B

Cx4

【答案与解析】

1.答案：D

解析：解：在3.14,胃一百，V64,g，—，3.14114111411114…（后面依次多个1）中，

732

不是有理数的实数个数是：7,3-13.14114111411114……（后面依次多个1）共4个.

32

故选：D.

直接利用无理数的定义分析得出答案.

此题主要考查了实数，正确掌握无理数的定义是解题关键.

2.答案：A

解析：

本题考查由三视图判断几何体，做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体

的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后

形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意.

根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形即可得出答案.

解：根据从上面看到的图形，可得从这个几何体左面看到的图形共2列，左边一列有2个正方体和

右边一列有1个正方体.

故选：A.

3.答案：D

共4种情况，有3种情况至少有一次硬币正面朝上，

所以概率为：，

4

故选：D.

举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可.

本题主要考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.得到所求的情况

数是解决本题的关键.

4.答案：D

解析：解：1271.775=1271.7000=1.2717X107.

故选：D.

科学记数法的表示形式为axIO11的形式，其中14同＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数

变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，〃是

正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax104的形式，其中1＜|a|＜10,n

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.

5.答案：B

解析：

本题考查的是函数的图象，从函数图象获取正确的信息是解题的关键.

根据给出的函数图象对每个选项进行分析即可.

解：从图象可以看出，

甲、乙两人进行1000米赛跑，①说法正确；

甲先慢后快，乙先快后慢，②说法正确：

比赛到2分钟时，甲跑了500米，乙跑了600米，甲、乙两人跑过的路程不相等，③说法不正确；

甲先到达终点，④说法不正确，

故选：B.

6.答案：B

解析：解：A、(m—n)2=m2—2mn+n2,故本选项不合题意；

B、(m2)3=m6,故本选项符合题意；

C、m4-m2=m6,故本选项不合题意；

C、3m—2m=m,故本选项不合题意.

故选：B.

分别根据完全平方公式，幕的乘方运算法则，同底数幕的乘法法则以及合并同类项法则逐一判断即

可.

本题主要考查了同底数塞的乘法，合并同类项，完全平方公式以及累的乘方，熟记相关运算法则是

解答本题的关键.

7.答案：D

解析：

此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键.

直接利用关于坐标轴对称点的性质分析得出答案.

解：：点P关于X轴的对称点P1的坐标是（一5,6）,

P（-5,-6）,

则尸点关于原点的对称点P2的坐标是：（5,6）.

故选：D.

8.答案：D

解析：由乙4=30。，可求得ZBOC=60。，再根据垂径定理得ZB。。=120。，由勾股定理得出BF=

2遮以及。B=4,从而计算出S阳影=S碳影=工等上=?兀.

5oU0

9.答案：B

解析：解：观察函数图象，可知：y随x值的增大而增大.

:当x=0时，y=-4；当x=2时，y=0,

［当0<x<2时，—4<y<0.

故选：B.

观察函数图象可知y随x值的增大而增大，再结合当x=0及x=2时y的值，即可得出当0<x<2时

y的取值范围.

本题考查了一次函数的图象、一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，

找出y随x值的增大而增大是解题的关键.

10.答案：D

解析：解：设其中有x张成人票，y张儿童票，

由题意得，。：

（70%+35y=1225

故选。.

设其中有X张成人票，y张儿童票，根据买20张门票共花了1225元，列方程组即可.

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合

适的等量关系，列方程组.

11.答案：D

解析：解：4对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；

8、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；

C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；

。、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确.

故选：D.

直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案.

此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定.注意掌握各特殊平行四边形对角线的

性质是解此题的关键.

12.答案：B

解析：解:A、—4—3=—74—1,不符合题意；

B、|—3|=—(—3)=3,符合题意;

C、4=詈片不符合题意；

41616

。、—42=—16*36,不符合题意，

故选：B.

各项计算得到结果，即可作出判断.

此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

13.答案：-3wx<0

解析：解：由题意可得：2x+120,且|x|-xKO,

解得：%>-|,且|x|Kx,则x<0,

故一三x<0,

故答案为：—^Wx<0.

直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案.

此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键.

14.答案：(a+2)(a—2)

解析：解：a2-4=(a+2)(a-2).

故答案为：(a+2)(a—2).

直接利用平方差公式分解因式得出即可.

此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键.

15.答案：5

解析：解：作CF1AD于尸点，BA~~

则CF=BE,jZ-L1J-------r

EF1

•••CD的坡度i=1：2.4=CF：FD,

二设CF=5x,贝=12x,

由题意得CF?+尸。2=CD2

即:(5x)2+(12x)2=132

AX=1,

:.BE=CF=5

故答案为5.

在RtAABE中，根据tan4BAE的值，可得到BE、4E的比例关系，进而由勾股定理求得BE、AE的

长，由此得解.

本题主要考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用.

16.答案：89.1

解析：解：88x45%+90X55%

=39.6+49.5

=89.1(分).

答：该应聘者的综合成绩为89.1分.

故答案为:89.1.

根据加权平均数的计算方法求值即可.

本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的算法是解决本题的关键.

17.答案：2兀

解析：解：圆锥的侧面积5=兀"=2兀62,即做这把遮阳伞需用布料的面积是27rm2.

根据圆锥的侧面积S=兀M(7•是半径，/是母线的长)，直接代入计算即可.

熟记圆锥的侧面积计算公式是解决此题的关键.

18.答案：一|Wa<一［或；<a<|

解析：解：：y=a(x+l)(x—3)=a(x——4a,

顶点P的坐标为(1,-4a).

当x=0时，y=a(x+l)(x-3)=-3a,

••・抛物线与y轴的交点坐标为(0,-3a).

当a<0时，如图1所示，

此时有｛笺4V3

解得：*WQ<一｝

当Q>0时，如图2所示,

此时有序二5

解得：1<a<|.

故答案是：—：Wa<-［或］<aW|.

分a<0及a>0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得

出结论.

考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点坐标，解题时，利用了数形结合的数学思想，难

度较大.

19.答案：解：根据题中的新定义得：(X+1)2-(X+2)(X-2)=9,

整理得：x2+2x+1-X2+4=9,

解得：x=2,

则x的值为2.

解析：已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值.

此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.

20.答案：解：(1)去分母得一2(x+l)+(x-l)(x+l)=穴X-1),

解得x=—3,

经检验，原方程的解为》=-3；

(2)x—3y=0,

••x—3y,

.•・原式=52^!^

9y2+y2

1

10

解析：(1)先把方程两边乘以(x-l)(x+l)得到整式方程，然后解整式方程后进行检验确定原方程的

解；

(2)把x=3y代入分式，然后计算分子、分母后约分即可.

本题考查了解分式方程：掌握解分式方程的步骤(去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论).也

考查了解二元一次方程组.

21.答案：解：(1)・•・AC平分NBAD,

•••Z.CAD=Z.CAB,

•・•Z.ADC=Z.ACB=90°,

ADC^LACB,

:.—AD=一AC,

ACAB

/.AC2=AD-AB：

(2)在RtZkABC中，〈E为AB的中点，

,・.CE=AE(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半),

:.Z.ACE=Z-CAE,

・・・4。平分484。,

・•・Z-CAD=Z.CAE,

-Z.CAD=Z.ACE,

/.CE//AE；

(3)由(1)知，AC2=AD-AB,

vAD—4,AB=6,

:.AC2=4x6=24,

:.AC=2乃，

在RtZkABC中，・.・E为A5的中点，

•••CE=-AB=3,

2

由(2)知，CE//AD,

CFE~〉AFD,

:,C一F=一CE,

AFAD

.-2\-[f->--A=F一_,3

AF4

弁广8后

:、AF=—•

7

解析：(1)先根据角平分线得出NC4D=4a48,进而判断出△ADCsAACB,即可得出结论；

(2)先利用直角三角形的性质得出CE=4E,进而得出NACE=NC4E,再判断出/CAD=NCAE,进

而=/.ACE,即可得出结论；

(3)由(1)的结论求出AC,再求出CE=3,最后由(2)的结论得出△CFEs^AFD,即可得出结论.

此题主要考查了角平分线，相似三角形的判定和性质，等角对等边，直角三角形的性质，熟练运用

直角三角形的性质是解本题的关键.

22.答案：10072°20

解析：解：(1)本次活动调查的总人数为(20+25+10)+(1-15%-30%)=100人，

则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360。、u=72。，

故答案为：100、72°；

(2)微信人数为100x30%=30人，银行卡人数为100x15%=15人，

补全图形如下：

H口10.

现其支付方式

金他

由条形图知，这组数据的“中位数”是“20”；

故答案为：20；

(3)将微信记为A、支付宝记为8、银行卡记为C,

画树状图得：

开始

C

小明AB

/l\/T\/1\

小亮ABCABCABC

•••由树状图知，共有9种等可能的结果，其中两人选用同一种支付方式的有3种，

•1•P(两人选用同种支付方式)=

(1)用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360。乘以“支付宝”

人数所占比例即可得；

(2)用总人数乘以对应百分比可得微信的人数；

(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式

的情况，再利用概率公式即可求得答案.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出"，再从中选出符

合事件A或B的结果数目〃?，然后根据概率公式计算事件A或事件8的概率.也考查了统计图.

23.答案：解：(1)四边形PQWN是AABC的内接正方形，理由是：

如图2中，

图2

由画图可知NQMN=乙PQM=乙MNP=乙BM'N'=90°,

•••四边形PNA/Q是矩形，MN//M'N',

.gBN'M'sABNM,

M'N'_BN'

"MN='BN

同理可得：警=翳，

M'N'_P'N'

"MN=~PN~

M'N'=P'N',

：.MN=PN,

四边形PQMN是正方形,即四边形PQMN是△力BC的内接正方形；

(2)如图1,过A作4DJ.BC于O,交PN于E,设正方形尸NMQ的边长为x,

•••△ABC为等边三角形，边长BC=6,

二高线40=3V3.

；,四边形PNMQ是正方形，

PN//MQ,

PNAE

,•,__——__，

BCAD

即*=需，解得：x=12V3-18.

答:△ABC内接正方形的边长是12g-18;

(3)如图3中，结论：/.QEM=90°.

图3

理由：设MN=3k,BM=4fc,贝ijBN=5/c,BQ=k,BE=2k,

.BQ_k_1BE_2k_1

BE2k2BM4k2

・B・Q.—=BE——,

BEBM

•・•(QBE=乙EBM,

・•・△BQE~RBEM,

・••乙BEQ=乙BME,

•・・NE=NM,

4NEM=4NME,

•••乙BME+乙EMN=90°,

乙BEQ+乙NEM=90°,

“EM=90°.

解析：(1)首先证明四边形尸QMN是矩形，再证明MN=PN即可；

(2)根据平行线分线段成比例定理列比例式可得结论；

(3)证明△BQEfBEM,推出NBEQ=乙BME,由NBME+乙EMN=90°,可得NBEQ+乙NEM=90°,

即可解决问题.

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题.

24.答案：解：(1)由题意可得：y=180+10(60-x)=-10%4-780(40<%<60)；

(2)根据题意得,(x-40)(-10x+780)=3570,

解得：x=57,x=61(不合题意，舍去)；

答：当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元；

(3)设每星期利润为W元，

W=(x-40)(-10x+780)=-10(%-59)2+3610,

••--10<0,抛物线开口向下，

*x=59时，W展大值=3610,且x=59<60,符合题意.

答：每箱售价定为59元时，每星期的销售利润最大，最大利润3610元.

解析：本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，

(1)根据售量y(箱)与售价x(元/箱)之间的函数关系即可得到结论；

(2)根据题意列方程即可得到结论；

(3)设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题.

25.答案：2

解析：解：(1)MB与CN的和是定值.

理由：•••四边形4BCO是菱形，

：.AB//CD,AB=BC=CD=DA=2.

Z.NDAZ.DAB,乙DNE=Z.AME.

•••点E是4。边的中点,

AE=DE.

在4MEA中,

'4NDA4DAB

乙DNE=/LAME,

.DE=AE

•••△NED"MEARAS')

•••ND=AM.

MB+CN=MB+ND+CD,

•••MB+CN=MB+CD+AM=CD+AB.

•••MB+CN=2+2=4；

(2)AM=2时，四边形ABCN为等腰梯形.

理由：•••四边形ABCN为等腰梯形，

:.AN=BC,AB//CN.乙ANC=ZC,

Z.ADN=乙DAB=60°.AN=AD.

.•.△ADN为等边三角形,

ND=AD=2,

.-.AM=2.

故答案为：2；

(3)能成为特殊的四边形是矩形.

理由：当△4DN旋转120。得到△A'DM,

•••^A'DA=120°,△A'DN&AADN,

4A'DN'=4ADN=^A'N'D=乙DA'N'=60°,

•••/.ADN'=180°,A'N'=AB,A'D=AD.

A'N'//AB,^.DA'A=30°,

•••四边形4ABM为平行四边形，AAA'N'=90°,

.••四边形A48N'为矩形.

(1)由菱形的性质证明△NEDW4MEA就可以得出ND=AM,再运用等量代换就可以得出结论；

(2)由等腰梯形的性质及菱形的性质就可以得出44ON是正三角形，就可以求出4M=ND=4。求出

结论；

(3)由等边三角形的性质就可以得出当a=120。时，可以得出四边形A'ZBN'为矩形，由菱形的性质就

可以得出结论.

本题考查了菱形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，

等腰梯形的性质的运用，矩形的判定的运用，旋转的性质的运用，解答时运用旋转的性质求解是关

健.

26.答案：解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为x,

根据切线长定理，得：AE=AD=m,BF=BD=n、CF=CE=x,

(1)如图1.

在RtAABC中，根据勾股定理，得：(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,

整理，得：x2+(m+