2022-2023学年福建省福州市高一下学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省福州市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知为虚数单位，复数满足，则的虚部（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得，则答案可求.【详解】由，得，，则的虚部为.故选：A.2．高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的第75百分位数是（

）A．85 B．86 C．85.5 D．86.5【答案】B【分析】把数据从小到大的顺序排列，然后用百分位数的定义求解.【详解】从小到大的顺序排列数据为：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90，因为，所以这组数据的75百分位数是第八个数据86.故选：B【点睛】本题主要考查总体百分位数的估计，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3．端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙,丙回老家过节的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少1人回老家过节的概率.【详解】端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙,丙回老家过节的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，这段时间内至少1人回老家过节的概率为：.故选：B.4．如图正方体的棱长为a，以下结论中，错误的是（

）A．异面直线与所成的角为 B．直线与垂直C．直线与平行 D．直线与平行【答案】C【分析】对A，根据直线再在三角形中判断即可；对B，根据直线，结合正方体的性质判定即可；对C，根据线面垂直的性质判断直线与垂直即可；对D，根据平行四边形判断即可；【详解】对A，正方体中，且，故平行四边形，故，易得正，故异面直线与所成的角为直线与所成的角为，故A正确；对B，因为正方形，故直线与垂直，又，故与垂直，故B正确；对C，因为，平面，故，又平面，故平面，因为平面，故直线与垂直，故C错误；对D，由A可知平行四边形，故，D正确；故选：C5．已知某个数的平均数为，方差为，现加入一个新数据，此时这个数的平均数为，标准差为，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用平均数和方差公式可得结果.【详解】某个数的平均数为，方差为，现加入一个新数据，此时这个数的平均数为，标准差为，方差为，，，．故选：B.6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（

）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与至少有一个红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与都是红球【答案】C【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，不正确；对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，不正确；对于：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，正确；对于：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，不正确；故选：.7．已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（

）A． B． C．－ D．－【答案】C【分析】根据题意写出的表达式，结合二次函数知识求得，根据投影向量的定义即可求得答案.【详解】由题意得，,，当时，有最小值，即，则在上的投影向量为，故选：C8．设是同一个半径为的球的球面上四点，是以为底边的等腰三角形，且面积为，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先计算外接圆的半径，再利用图形得到点的位置，即可求三棱锥体积的最大值.【详解】设，则，得，中，，得,再根据正弦定理可知，得，如图，点是外接圆的圆心，点是四面体外接球的球心，当点和在一条直线上时，此时三棱锥的体积最大，，，此时故选：D二、多选题9．已知m、n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】BCD【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断．【详解】若，，，由与相交或平行，A错；若，，则，又，所以，B正确；若，，则，因为，所以，C正确；若，，则，，则内存在直线与平行，由得，则得，D正确．故选：BCD．10．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（

）A．这组数据的平均数是8B．这组数据的极差是4C．这组数据的中位数是8.5D．这组数据的方差是2【答案】AB【分析】根据平均数，极差，中位数，方差的定义和计算公式分别求得，即可判断各个选项的正误.【详解】解：对于A，这组数据的平均数是，故A正确；对于B，这组数据的极差是，故B正确；对于C，这组数据从小到大为6，7，8，8，9，10，∴这组数据的中位数是8，故C错误；对于D，这组数据的方差是，故D错误.故选：AB.11．在中，角的对边分别是，则能确定为钝角的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】选项，利用正弦定理化角为边，并结合余弦定理，可得；选项B，由，可得；选项C，利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，化简可得；选项D，根据同角三角函数的商数关系，两角和的余弦公式，化简可得.【详解】选项，由正弦定理及，知，由余弦定理得，，由，所以为钝角，即选项正确；选项B，，则，显然不可能为钝角，即选项B错误；选项C，由正弦定理及，得，由，，所以，又，所以，由，，所以，由，所以为钝角，即选项C正确；选项D，由，知，由，，则，有所以，即，所以，由，所以为钝角，即选项D正确.故选：ACD.12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点、，若线段的最小值为，则（

）A．正方体的外接球的表面积为 B．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2 D．线段的最大值为【答案】ABC【解析】设正方体的棱长为，由此确定内切球和外接球半径，由的最小值为两球半径之差可构造方程求得，进而求得外接球表面积和内切球体积；由的最大值为两球半径之和可得到最大值.【详解】设正方体的棱长为，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即；内切球半径为棱长的一半，即.分别为外接球和内切球上的动点，，解得：，即正方体棱长为，正确，正方体外接球表面积为，正确；内切球体积为，正确；线段的最大值为，错误.故选：.【点睛】本题考查正方体外接球和内切球相关问题的求解，关键是通过球的性质确定两球上的点的距离最小值为，最大值为.三、填空题13．为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从A，B，C三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈已知这三个部门共有64人，其中B部门24人，C部门32人，则从A部门中抽取的访谈人数．【答案】2【分析】利用分层抽样的定义以及分层抽样按比例抽取的特点进行求解即可．【详解】解：由题意可知，A部门一共有64-24-32=8人，故采用分层抽样的方法从A，B，C三个部门中抽取16名员工，则从A部门中抽取的访谈人数为人.故答案为：2．14．在中，，用斜二测画法画出的直观图，则该直观图的面积为.【答案】【分析】根据题意计算出原图的面积，由直观图与原图的面积之比为，计算可得答案.【详解】如图所示，作出底边上的高，则，所以，所以该直观图的面积.故答案为：.15．在正四面体（各棱都相等）中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为.【答案】【分析】根据三角形的中位线平行于底边，作出异面直线所成的角，再解三角形求得即可.【详解】取的中点，连接，分别是的中点，，为异面直线与所成的角，设正四面体的棱长为2，则，在中，.故答案为：16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为．【答案】【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果.【详解】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为．【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解．四、解答题17．已知，且．（1）求的坐标；（2）当时，若，求与的夹角的正弦值．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）由可得，再由，可求出的值，从而可求出的坐标；（2）直接利用向量的夹角公式求解【详解】解（1），，∴或，（2）当，，因为，所以，即与的夹角的正弦值为18．已知分别为内角的对边，且．(1)求角A；(2)若，求c．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接通过正弦定理得到，即可求出角A；（2）直接余弦定理求解即可.【详解】（1）由正弦定理及，得．，即，．（2），由余弦定理，可得：，可得：，解得或（负值舍去）．∴.19．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计本次考试的第50百分位数；(3)用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段内的概率．【答案】(1)0.3，直方图见解析(2)(3)【分析】（1）由频率分布直方图，能求出分数在，内的频率，并能补全这个频率分布直方图；（2）由频率分布直方图能估计本次考试的第50百分位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为，的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为，中抽取的学生数为2人，分数段为，中抽取的学生数为4人，从中任取2个，利用列举法列举出所有基本事件，再根据古典概型即可得解．【详解】（1）解：由频率分布直方图，得：分数在，内的频率为：，，补全后的直方图如右图所示：（2）解：，的频率为，，的频率为：，第50百分位数为：；（3）解：用分层抽样的方法在分数段为，的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为，中抽取的学生数为：人，设为，分数段为，中抽取的学生数为：人，设为，从中任取2个，有共15种，其中符合题意得有共9种，所以至多有1人在分数段内的概率为.20．如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.(1)求证：平面MAP⊥平面SAC.(2)求二面角M—AC—B的平面角的正切值；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知可证BC⊥平面SAC，又PM∥BC，则PM⊥面SAC，从而可证平面MAP⊥平面SAC；（2）由AC⊥平面SBC，可得∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°，由勾股定理可得，在中，可得，从而在中，即可求解二面角M—AC—B的平面角的正切值.【详解】（1）证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，又∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又ACSC=C，∴BC⊥平面SAC，又∵P，M是SC、SB的中点，∴PM∥BC，∴PM⊥面SAC，又PM平面MAP，∴平面MAP⊥平面SAC；（2）解：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥AC，又AC⊥BC，BCSC=C，∴AC⊥平面SBC，∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°，在△CAN中，由勾股定理可得，在中，，在中，.21．甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工.其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天元；方式二：雨天每天元，晴天出工每天元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近年此月的下雨天数（）的频数分布表（见下表）后，乙以频率最大的值为依据作出选择，丙以的平均值为依据作出选择.8910111213频数312021（Ⅰ）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由；（Ⅱ）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？（Ⅲ）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过天的概率.【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ).【详解】分析：（Ⅰ）由题意计算可得甲选择计酬方式二；乙选择计酬方式一；丙选择计酬方式二；（Ⅱ）依据三人的统计和利用的数据可知丙的统计范围最大，三人中丙的依据更有指导意义；（Ⅲ）任选一年，此月下雨不超过11天的频率为，由题意结合概率公式计算可得此月下雨不超过11天的概率为.详解：（Ⅰ）按计酬方式一、二的收入分别记为、，，，所以甲选择计酬方式二；由频数分布表知频率最大的n=8，，，所以乙选择计酬方式一；n的平均值为，所以丙选择计酬方式二；（Ⅱ）甲统计了1个月的情况，乙和丙统计了9个月的情况，但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据，所以丙的统计范围最大，三人中丙的依据更有指导