人教B版数学课件3-3函数的应用（一）3-4数学建模活动决定苹果的最佳出售时间点

3.3函数的应用(一)3.4数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点第三章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.会利用所学知识,解决一次函数型、二次函数型及分段函数型的实际问题.(数学运算)2.掌握求解函数应用题的基本步骤,培养学生的数学应用意识.(数学建模)课前篇自主预习【激趣诱思】牛顿(1642—1727)是英国著名的物理学家、数学家和天文学家,是17世纪最伟大的科学巨匠.然而,对于一些在自然科学上一知半解的人来说,牛顿的赫赫有名与其说来自他的科学发现,毋宁说是来自那个妇孺皆知的苹果落地的故事.那是1666年夏末的一个傍晚,在英格兰林肯郡乌尔斯索普,一个腋下夹着一本书的年轻人走进了他母亲家的花园,坐在一棵树下,开始埋头读他的书.正在他翻动书页时,他头顶上的树枝被风吹得晃动了起来.突然,“啪”的一声,一只历史上最著名的苹果落了下来,恰好打在了这位青年的头上.这位青年不是别人,正是牛顿.据说,牛顿当时正在苦苦思索着一个问题:是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上,又是什么力量使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上?掉下来的苹果打断了他的思索,“为什么这只苹果会坠落到地上呢?”牛顿转而考虑起这个使他感到困惑不解的问题.有人说正是从这一问题的思考中,他找到了答案,并提出了万有引力定律.问题1:你认为牛顿是从“苹果从树上落下”这一问题的思考中很简单地提出的万有引力吗?问题2:你能想象一下牛顿发现万有引力的过程吗?【知识点拨】

知识点一、常见的函数模型(1)一次函数模型.形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,应用一次函数的性质及图像解题时,应注意:①一次函数有单调递增(一次项系数为正)和单调递减(一次项系数为负)两种情况;②一次函数的图像是一条直线.(2)二次函数模型.形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型.二次函数模型是重要的数学模型之一,依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时也可以依据二次函数的性质求最值,从而解决利润最大、用料最省等问题.(3)分段函数模型.这个模型实质是一次函数、正比例函数(形如y=kx,k≠0)、反比例函数(形如y=,k≠0)、二次函数模型中两种及以上的综合.微思考

(1)在函数建模中,怎样确立两个变量是哪种函数关系?提示

通常需要先画出函数图像,根据图像来确定两个变量的关系,选择函数类型.(2)函数模型在实际应用中,函数的自变量有什么特点?提示

在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示长度时,x≥0;x表示件数时,x≥0,且x∈Z等.在解答时,必须要考虑这些实际意义.微练习某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社,在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份,其余10天每天只能卖出250份.若每天从报社买进报纸的数量相同,则每天应该从报社买进多少份报纸,才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?解

设每天应从报社买x份报纸,由题意知250≤x≤400,设每月赚y元,根据题意得y=0.5x·20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×10-0.35x·30=0.3x+1

050,x∈[250,400].因为y=0.3x+1

050是定义域上的增函数,所以当x=400时,ymax=120+1

050=1

170(元).答:每天应该从报社买进400份报纸,才能使每月所获得的利润最大,每月最多可赚1

170元.课堂篇探究学习探究一一次函数模型的应用例1(1)某厂日生产文具盒的总成本y(单位:元)与日产量x(单位:套)之间的关系为y=6x+30000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒(

)A.2000套 B.3000套C.4000套

D.5000套(2)商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:①买一个茶壶赠一个茶杯;②按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(单位:个),付款y(单位:元),分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?(1)答案

D解析

因利润z=12x-(6x+30

000),所以z=6x-30

000,由z≥0解得x≥5

000,故至少日生产文具盒5

000套.(2)解

由优惠办法①可得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).由优惠办法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),令y1-y2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种办法付款相同;当4≤x<34时,y1<y2,即优惠办法①更省钱;当x>34时,y1>y2,优惠办法②更省钱.反思感悟

1.一次函数模型的实际应用一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则.2.一次函数的最值求解一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图像或其单调性来求最值.变式训练

1若一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,则燃烧剩下的高度h(单位:cm)与燃烧时间t(单位:h)的函数关系用图像表示为图中的(

)答案

B解析

蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短,根据实际意义不可能是D,更不可能是A,C.故选B.探究二二次函数模型的应用例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.(1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系式;(2)求该批发商平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系式;(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?分析本题中平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)是一个一次函数关系,虽然x∈[50,55],x∈N,但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题;平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)是一个二次函数关系,可看成是一个二次函数模型的应用题.解

(1)根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9

600(50≤x≤55,x∈N).(3)因为w=-3x2+360x-9

600=-3(x-60)2+1

200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1

125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1

125元.反思感悟

二次函数的实际应用1.在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答.2.对于本题要清楚平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.变式训练

2有A,B两城相距100km,在A,B两城之间距A城xkm的D地建一核电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城供电量为10亿度/月.(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域;(2)核电站建在距A城多远时,才能使供电费用最小?探究三分段函数模型的应用例3WAP手机上网每月使用量在500min以下(包括500min),按30元计费;超过500min的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过短(小于60min)使用量在1min以下不计费,在1min以上(包括1min)按0.5元/min计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.(1)写出上网时间xmin与所付费用y元之间的函数关系式.(2)12月份小王WAP上网使用量为20h,要付多少钱?(3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多少?分析由于上网时间不同,收费标准不同,因此对所付费用作分段讨论,以确定付费标准,建立函数关系式,解决付费与上网时间的问题.解

(1)设上网时间为x

min,由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为(2)当x=20×60=1

200(min)时,x>500,应付y=30+0.15×(1

200-500)=135(元).(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500

min,由解析式可得上网时间为900

min.反思感悟

分段函数的实际应用1.在刻画实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.2.分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分段函数的最值问题时应注意:分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个.延伸探究为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价p(单位:元/件)之间满足关系式:

该企业职工每人每月工资为1200元,其他经营性费用为每月13200元.(1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价p为52元/件,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数;(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款?解

(1)设该企业职工人数为t,依题意当p=52时,q=36,则(52-40)×36×100=1

200t+13

200,∴t=25.即该企业有25名职工.(2)设每个月的利润为f(p),则∵当p=55时,[(-2p+140)(p-40)]max=450,当p=61时,[(-p+82)(p-40)]max=441,∵450>441,∴当p=55时,能更早还清贷款,又(100×450-1

200×20-13

200)×12=93

600,=5,∴当定价为55元时,最早5年后能还清贷款.

素养形成规范答题典例季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势,设某服装开始时定价为10元,并且每周(7天)涨价2元,5周后开始保持20元的价格平稳销售;10周后,当季节即将过去时,平均每周削价2元,直到16周末,该服装已不再销售.(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式.(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系式为Q=-0.125(t-8)2+12,t∈[0,16],t∈N,试问该服装第几周每件销售利润最大?最大利润是多少?(注:每件销售利润=售价-进价)解

(1)由题意,知当t∈[0,5]时,P=10+2t;

当t∈(5,10]时,P=20;当t∈(10,16]时,P=20-2(t-10)=40-2t.(2)设每件的销售利润为L元,则L=P-Q,故当t∈[0,5],t∈N时,L=10+2t+0.125(t-8)2-12=0.125t2+6,当t=5时,Lmax=9.125;当t∈(5,10],t∈N时,L=20+0.125(t-8)2-12=0.125(t-8)2+8,当t=6或10时,Lmax=8.5;当t∈(10,16],t∈N时,L=40-2t+0.125(t-8)2-12=0.125(t-16)2+4,当t=11时,Lmax=7.125.综上可知,第五周每件销售利润最大,最大利润为9.125元.方法点睛

(1)分段函数主要是每一段的变化规律不全相同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点值.(2)分段函数的最大值是各段最大值中最大的,分段函数的最小值是各段最小值中最小的.变式训练

某企业实行裁员增效.已知现有员工a人,每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元,据评估,在生产条件不变的条件下,每裁员一人,则留岗人员每人每年可多创收0.01万元,但每年需付给每位下岗工人0.4万元生活费,并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的,设该企业裁员x人后年纯收益为y万元.(1)写出y(单位:万元)关于x(单位:人)的函数解析式,并指出x的取值范围;(2)当140<a≤280时,该企业应裁员多少人,才能获得最大的经济效益?(注:在保证能取得最大经济效益的情况下,能少裁员,应尽量少裁)

当堂检测1.面积为S的长方形的某边长度为x,则该长方形的周长L与x的函数关系为(

)答案

C2.某生产厂家的生产总成本y(单位:万元)与产量x(单位:件)之间的关系式为y=x2-80x,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为(

)A.52 .或53答案

D解析

因为利润=收入-成本,当产量为x件时(x∈N),利润f(x)=25x-(x2-80x),所以x=52或x=53时,f(x)有最大值.3.已知直角梯形ABCD,如图1所