绝对值不等式（绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法）课件

、绝对值、绝对值不等式的绝对值不等式三角不等式解法12、绝对值、绝对值不等式的绝对值不等式三角不等式解法121、绝对值三角不等式1、绝对值三角不等式在数轴上，a的几何意义表示点A到原点的距离a?b的几何意义表示数轴上A,B两点之间的距离a?b的几何意义表示数轴上A,-B两点之间的距离a0Aaxa?b-B-bAaa?bObBx在数轴上，a的几何意义表示点A到原点的距离a?b的几何意义表探究设a,b为实数，你能比较a?b与a?b之间的大小关系吗？ab>0时，a?b?a?bab<0时，a?b?a?bab=0时，a?b?a?ba?b?a?b当当当探究设a,b为实数，你能比较a?b与a?b之间的大小关系吗定理1如果a,b是实数，则a?b?a?b当且仅当ab?0时，等号成立。把实数a，b换成相量a，b，你能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？定理1如果a,b是实数，则a?b?a?b当且仅当ab?0时，当向量a?,b?不共线时，a??b??a??b?当向量a?,b?共线时，同向：a??b??a??b?反向：a??b??a??b?ya??b??b?Oaxa??b??a??b?当向量a?,b?不共线时，a??b??a??b?当向量a?,定理1如果a,b是实数，则a?b?a?b定理1的完善a?ba?b绝对值三角不等式?a?b?a?ba?b?a?b?定理1如果a,b是实数，则a?b?a?b定理1的完善a?ba定理1的推广如果a,b，c是实数，则(1).(2).a?b?c?a?b?ca?c?a?b?b?c定理2定理1的推广如果a,b，c是实数，则(1).(2).a?b?1、求证：（1）a?b?a?b?2a（2）a?b?a?b?2b1、求证：（1）a?b?a?b?2a（2）a?b?a?b?22、求证：（1）x?a?x?b?a?b（2）x?a?x?b?a?b1.求x?3?x?9的最大值2.求x?3?x?9的最小值3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的取值范围是2、求证：（1）x?a?x?b?a?b（2）x?a?x?b?3、已知??0,x?a??,y?b??,求证2x?3y?2a?3b5??3、已知??0,x?a??,y?b??,求证2x?3y?2a绝对值不等式的解法（一）2017年12月18日星期一绝对值不等式的解法（一）2017年12月18日星期一一、复习回顾a,a>01.绝对值的定义：|a|=0,a=0－a,a<02.绝对值的几何意义：实数a绝对值|a|表示|a|数轴上坐标为A的点A到原点的距离.0a|a－b|AaBb实数a,b之差的绝对值|a-b|,表示它们在数轴上对应的A,B之间的距离.3.绝对值的运算性质：a?a,2a|a|ab?ab，||?b|b|一、复习回顾a,a>01.绝对值的定义：|a|=0,a=提出问题:你能看出下面两个不等式的解集吗?⑴

x?1

⑵x?1

主要方法有:法一:利用绝对值的几何意义观察；法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论;法三:两边同时平方去掉绝对值符号;法四:利用函数图象观察.这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.提出问题:你能看出下面两个不等式的解集吗?⑴x?1探索：不等式|x|<1的解集.方法一：利用绝对值的几何意义观察不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.-101∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论①当x≥0时，原不等式可化为x＜1,∴0≤x＜1②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1∴－1＜x＜0综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}探索：不等式|x|<1的解集.方法一：利用绝对值的几何意义观探索：不等式|x|<1的解集.方法三：两边同时平方去掉绝对值符号.对原不等式两边平方得x2<1,即(x+1)(x-1)<0∴－1<x<1∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}.利用函数图象观察从函数观点看,不等式|x|<1的解集,是函数y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对应的x的取值范围.y∴不等式|x|<1的解集为1y=1{x|-1<x<1}－1o1x方法四：探索：不等式|x|<1的解集.方法三：两边同时平方去掉绝对值一般结论:形如|x|<a和|x|>a(a>0)的不等式的解集:①不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}-a0a②不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a}-a0a想一想:如果a≤0,以上不等式的解集是什么？

一般结论:形如|x|<a和|x|>a(a>0)的不等式的解例1.解不等式|3?2x|?7.解:原不等式?2x?3?7?2x?3??7或2x?3??x??2或x?5?原不等式的解集为{x|x??2或x?5}.变式练习:解不等式|3x?2|?1．答案:(??,0)?(1,??)7例1.解不等式|3?2x|?7.解:原不等式?2x?3?7?例2.解不等式|x?5x|?6．2??x?5x??62解:原不等式??6?x?5x?6??2??x?5x?6??x?2或x?3?x?5x?6?0??2?????1?x?6?x?5x?6?022??1?x?2或3?x?6,?原不等式的解集为(?1,2)?(3,6).变式练习:解不等式1?|3x?4|?6．1052答案:[?,?)?(?1,]333例2.解不等式|x?5x|?6．2??x?5x??62解:原解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：

(1)f?x??a(a?0)?f?x??a或f?x???a(2)f?x??a(a?0)??a?f?x??a(3)f?x??g(x)?f?x??g(x)或f?x???g(x)(4)f?x??g(x)??g(x)?f?x??g(x)???(5)f?x??g?x???fx?gx????????22解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组例3.解不等式|x?3x?4|?x?1.???x?3x?4?0?x?3x?4?0解1:原不等式??2或?2??x?3x?4?x?1???(x?3x?4)?x?1?x?4或x??1??1?x?4??或??1?x?3x?5或x??1??222?x??1,或x?5，或?1?x?3,?原不等式的解集为{x|x??1,或?1?x?3,或x?5}.例3.解不等式|x?3x?4|?x?1.???x?3x?4?例3.解不等式|x?3x?4|?x?1.解2:原不等式

?x?3x?4??(x?1)或x?3x?4?x?1222?x?2x?3?0或x?4x?5?0?(x?1)(x?3)?0,或(x?1)(x?5)?022??1?x?3,或x??1,或x?5,?原不等式的解集为{x|x??1,或?1?x?3,或x?5}.例3.解不等式|x?3x?4|?x?1.解2:原不等式解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：

(1)f?x??a(a?0)?f?x??a或f?x???a(2)f?x??a(a?0)??a?f?x??a(3)f?x??g(x)?f?x??g(x)或f?x???g(x)(4)f?x??g(x)??g(x)?f?x??g(x)???(5)f?x??g?x???fx?gx????????22解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组绝对值不等式（绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法）课件绝对值不等式的解法（二）2017年12月18日星期一绝对值不等式的解法（二）2017年12月18日星期一例1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5方法一:利用绝对值的几何意义．解:如图,数轴上-2,1对应的点分别为A,B，-3,2对应的点分别为A1,B1，A1ABB1-3-2-1012这种方法体现了数形结合的思想∵|A1A|+|A1B|=5,|B1A|+|B1B|=5,∴数轴上,点A1和B1之间的任何一点,到点A,B的距离之和都小于5,而A1的左边或B1的右边的任何一点,到点A,B的距离之和都大于5,∴原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.例1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5方法一:利用绝对值的例1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5方法二:利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,分段讨论去绝对值解:(1)当x??2时,这种解法体现了分类讨论的思想x??2??x??2???x??3.原不等式??(1?x)?(x?2)?5?x??3?(2)当?2?x?1时,(3)当x?1时,?x?1?x?1原不等式?????x?2?(x?1)?(x?2)?5?x?2∴原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.??2?x?1??2?x?1???x??.原不等式??3?5(1?x)?(x?2)?5??例1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5方法二:利用|x-1例1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解．解:原不等式化为|x?1|?|x?2|?5?0,构造函数y?|x?1|?|x?2|,化简得?(1?x)?(x?2)，x??2?y??(1?x)?(x?2)，?2?x?1?(x?1)?(x?2)，x?1???2x?6,x??2?即y???2，?2?x?1?2x?4，x?1?例1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5方法三：通过构造函数例1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5??2x?6,x??2?y???2，?2?x?1?2x?4，x?1?y-2-31-22x如图,作出函数的图象,函数的零点是-3,2.由图象可知,当x??3或x?2时,y?0,∴原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.这种方法体现了函数与方程的思想．例1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5??2x?6,x??例1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5思考一：由以上解法可知，|x-1|+|x+2|有最小x???2，1?值3此时，x的取值范围是思考二：若变为|x-1|+|x+2|≥k恒成立，则k的取值范围是k?3思考三：若变为存在x，使|x-1|+|x+2|<k成立，则k的取值范围是k?3思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集为?，则k的取值范围是k?3例1.解不等式|x-1|+|x+2|≥5思考一：由以上解法可练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1?x|x?1?作出f(x)?│x+1│–│x–2│的图像，并思考f(x)的最大和最小值│x+1│–│x–2│?k恒成立，k的取值范围是│x+1│–│x–2│?k恒成立，k的取值范围是练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥