清华大学-杨虎-应用数理统计课后习题参考答案

习题一1设总体的样本容量，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布.1）；2）；3）；4）.解设总体的样本为，1）对总体，其中：2）对总体其中：3）对总体4）对总体2为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解设代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：表1.1频率分布表i01234个数673220.30.350.150.10.1经验分布函数的定义式为：，据此得出样本分布函数：图1.1经验分布函数3某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下：组下限165167169171173175177组上限167169171173175177179人数310212322115试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.解图1.2数据直方图它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即.4设总体X的方差为4，均值为，现抽取容量为100的样本，试确定常数k，使得满足.解因k较大，由中心极限定理,：所以：查表得：，.5从总体中抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.解6从总体中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.解设两个独立的样本分别为：与，其对应的样本均值为：和.由题意知：和相互独立，且：，7设是总体的样本，试确定C，使得.解因，则，且各样本相互独立，则有：所以：查卡方分位数表：c/4=18.31，则c=73.24.8设总体X具有连续的分布函数，是来自总体X的样本，且，定义随机变量：试确定统计量的分布.解由已知条件得：，其中.因为互相独立，所以也互相独立，再根据二项分布的可加性，有，.9设是来自总体X的样本，试求。假设总体的分布为：1）2)3)4)解1)2)3)4)10设为总体的样本，求与。解又因为,所以：11设来自正态总体，定义：，计算.解由题意知，令：，则12设是总体的样本，为样本均值，试问样本容量应分别取多大，才能使以下各式成立：1）；2）；3）。解1)，所以：2)令：所以：计算可得：3)查表可得：，而取整数，.13设和是两个样本，且有关系式：（均为常数，），试求两样本均值和之间的关系，两样本方差和之间的关系.解因：所以：即：14设是总体的样本.1)试确定常数，使得，并求出；2)试确定常数，使得，并求出和.解1）因：，标准化得：，且两式相互独立故：可得：，，.2）因：，，所以：，可得：.15设分别是分布和分布的分位数，求证.证明设，则：所以：故：.16设是来自总体的一个样本，求常数，使：.解易知，则；同理，则又因：，所以与相互独立.所以：计算得：c=0.976.17设为总体的容量的样本，为样本的样本均值和样本方差，求证：1）；2）；3）.解1）因：，所以：，又：且：与相互独立所以：~2）由1）可得：3）因：，所以：18设为总体的样本，为样本均值，求，使得.解所以：查表可得：，即.19设为总体的样本，试求：1）的密度函数；2）的密度函数；解因：，所以的密度函数为：，由定理：20设为总体的样本，试求：1）；2）解21设为总体的一个样本，试确定下列统计量的分布：1）；2）；3）解1）因为：所以：，且与相互独立，由抽样定理可得：2）因为：，且与相互独立，所以：3）因为：，所以：，且与相互独立，由卡方分布可加性得：.22设总体服从正态分布，样本来自总体，是样本方差，问样本容量取多大能满足？解由抽样分布定理：,,查表可得：，.23从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，分别为两样本方差，求.解设分别为两样本的容量，为总体方差，由题意，又因分别为两独立的样本方差：所以：.24设总体，抽取容量为20的样本，求概率1）；2）.解1）因，且各样本间相互独立，所以：故：2）因：,所以：25设总体，从中抽取一容量为25的样本，试在下列两种情况下的值：1）已知；2）未知，但已知样本标准差.解1）2）26设为总体的样本，为样本均值和样本方差，当时，求：1）2）3）确定C，使.解1）2）其中,则3）其中，，则所以：,计算得：.27设总体的均值与方差存在，若为它的一个样本，是样本均值，试证明对，相关系数.证明所以：.28.设总体，从该总体中抽取简单随机样本，是它的样本均值，求统计量的数学期望.解因，为该总体的简单随机样本，令，则有可得：习题二1设总体的分布密度为：为其样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量.现测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数的估计值.解计算其最大似然估计：其矩估计为：所以：，.2设总体X服从区间[0,]上的均匀分布，即，为其样本，1)求参数的矩估计量和极大似然估计量；2)现测得一组样本观测值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，试分别用矩法和极大似然法求总体均值、总体方差的估计值.解1）矩估计量：最大似然估计量：无解.此时，依定义可得：2）矩法：极大似然估计：.3设是来自总体X的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量.已知总体X的分布密度为：1）未知2）未知3）未知4)未知5），其中参数未知6），其中参数未知7）未知解1）矩法估计：最大似然估计：.2)矩估计：最大似然估计：.3）矩估计：联立方程：最大似然估计：,,无解，当时，使得似然函数最大，依照定义，，同理可得.4)矩估计：，不存在最大似然估计：，无解；依照定义，.5)矩估计：即最大似然估计：，无解依定义有：.6)矩估计：解方程组可得：最大似然估计：无解，依定义得，解得.7)矩估计：最大似然估计：.8)矩估计：最大似然估计：.4.设总体的概率分布或密度函数为，其中参数已知，记，样本来自于总体X，则求参数的最大似然估计量.解记则；.5设元件无故障工作时间X具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：组中值5152535455565频数365245150100704525如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计..解最大似然估计：.6已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为：1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.解设灯泡的寿命为,,极大似然估计为：根据样本数据得到：.经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.7.为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson分布)，其化验结果如下：大肠杆菌数/升0123456升数1720102100试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？解设为每升水中大肠杆菌个数，，，由3题（2）问知，的最大似然估计为，所以所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大.8设总体，试利用容量为n的样本，分别就以下两种情况，求出使的点A的最大似然估计量.1）若时；2）若均未知时.解1），的最大似然估计量为，所以.2）的最大似然估计量为，最大似然估计为，由极大似然估计的不变性，直接推出.9设总体X具有以下概率分布：x01/31/4011/31/40201/41/431/61/41/241/601/4求参数的极大似然估计量.若给定样本观测值：1，0，4，3，1，4，3，1，求最大似然估计值.解分别计算，时样本观测值出现的概率：由最大似然估计可得：.10设总体X具有以下概率分布：，求参数的最大似然估计量.解最大似然估计应该满足：结果取决于样本观测值.11设是总体X的样本，设有下述三个统计量：指出中哪几个是总体均值a=EX的无偏估计量，并指出哪一个方差最小？解，所以无偏，方差最小.12设总体，为其样本，1）求常数，使为的无偏估计量；2）求常数，使为的无偏估计量.解1）令得.2）令.13设是来自总体X的样本，并且EX=，DX=，是样本均值和样本方差，试确定常数，使是的无偏估计量.解所以.14设有二元总体，为其样本，证明：是协方差的无偏估计量.证明由于所以：，证毕.15设总体，样本为，是样本方差，定义，，试比较估计量,,哪一个是参数的无偏估计量？哪一个对的均方误差最小？解1）所以是的无偏估计2）所以，可以看出最小.16设总体，为样本，试证：与都是参数的无偏估计量，问哪一个较有效？解所以比较有效.17设，是的两个独立的无偏估计量，并且的方差是的方差的两倍.试确定常数c1,c2，使得为的线性最小方差无偏估计量.解：设当，上式达到最小，此时.18.设样本来自于总体X，且(泊松分布)，求，并求C-R不等式下界，证明估计量是参数的有效估计量.解所以其C-R方差下界为所以是参数有效估计量.19设总体X具有如下密度函数，是来自于总体X的样本，对可估计函数，求的有效估计量，并确定R-C下界.解因为似然函数所以取统计量得=，所以是无偏估计量令由定理2.3.2知T是有效估计量，由所以C-R方差下界为.20设总体X服从几何分布：，对可估计函数，则1）求的有效估计量；2）求；3）验证的相合性.解1）因为似然函数所以取统计量.又因为所以是的无偏估计量，取，由定理2.3.2得到，是有效估计量2）所以是相合估计量.21设总体X具有如下密度函数，是来自于总体X的样本，是否存在可估计函数以及与之对应的有效估计量？如果存在和，请具体找出，若不存在，请说明为什么.解因为似然函数所以令所以是的无偏估计量，取，由定理2.3.2得到，是有效估计量所以：是有效估计量.22设是来自于总体X的样本，总体X的概率分布为：求参数的极大似然估计量；试问极大似然估计是否是有效估计量？如果是，请求它的方差和信息量；试问是否是相合估计量？解1）得到最大似然估计量2）所以所以是无偏估计量，，由定理2.3.2得到是有效估计量信息量3）所以，T也是相合估计量.23设样本来自总体，并且的区间估计为，问以多大的概率推断参数取值于此区间.解设以概率推断参数取值于，在已知方差为1条件下，推断参数的置信度为的置信区间为所以，，得到即以概率推断参数取值于.24从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度(单位：cm)为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值的90%置信区间，1）若已知=0.01cm；2）若未知；解因为计算所以置信区间为计算所以置信区间为.25测量铝的密度16次，测得试求铝的比重的0.95的置信区间(假设铝的比重服从正态分布).解这是正态分布下，方差未知，对于均值的区间估计：因为计算所以置信区间为.26在方差已知的正态总体下，问抽取容量n为多大的样本，才能使总体均值的置信度为的置信区间长度不大于l？解均值的置信度为的置信区间为要使即.27从正态总体中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？解，所以.28假设0.5,1.25,0.8,2.0是总体X的简单随机样本值.已知.求参数a的置信度为0.95的置信区间；求EX的置信度为0.95的置信区间.解1）服从正态分布，按照正态分布均值的区间估计，其置信区间为，由题意，从总体X中抽取的四个样本为：其中，，代入公式，得到置信区间为2），由1）知道的置信区间为，所以置信区间为.29随机地从A批导线中抽取4根，并从B批导线中抽取5根，测得其电阻()为：A批导线：0.143，0.142，0.143，0.137B批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140设测试数据分别服从和，并且它们相互独立，又均未知，求参数的置信度为95%的置信区间.解由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计：置信区间为计算得所以.30有两位化验员A、B，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了10次测定，其测定值的方差依次为0.5419和0.6065，设与分别为A、B所测量数据的总体的方差(正态总体)，求方差比/的置信度为95%的置信区间.解由题意，这是两正太总体方差比的区间估计：置信区间为计算得所以置信为.31随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为9