傅里叶变换与拉普拉斯变换的比较研究

目录TOC\o"1-5"\h\z1傅里叶变换与拉普拉斯变换简介1傅里叶变换1傅里叶变换的历史由来1傅里叶变换的定义1傅里叶变换与逆变换的性质21.2拉普拉斯变换31.2.1拉普拉斯变换的历史由来41.2.2拉普拉斯变换的定义41.2.3拉普拉斯变换与逆变换的性质51.3小结6傅氏变换与拉氏变换的比较研究6两种积分变换在求解广义积分中的应用6两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用9两种积分变换在求解偏微分方程中的应用11两种积分变换在电路理论中的应用15总结19附录：本文所用到的拉普拉斯变换简表22参考文献23#存在、解析，且当|argS<|-5(5是任意小的正数)时，有limF(s)=0sT81.2.3拉普拉斯变换与逆变换的性质线性性质设L[f(t)]=F(s),L[f(t)]=F(s)，若a、0是常数，则有1122[L[af(t)+0f(t)]=aL[f(t)]+0L[f(t)]=aF(s)+0F(s)J121212[L-i[aF(s)+0F(s)]=aL-i[F(s)]+0L-i[F(s)]=af(t)+0f(t)121212位移性质若L[f(t)]=F(s)，t>0，贝U0L[f(t-t)]=e-st0L[f(t)]=e-st0F(s)0延迟性质若L[f(t)]=F(s)，则有L[eatf(t)]=F(s-a),Re(s-a)>c微分性质若L[f(t)]=F(s)，则有L[f'(t)]=sF(s)-f(0)L[f''(t)]=s2F(s)-sf(0)-f'(0)积分性质若L[f(t)]=F(s)，则有Ldtf(t)dt]=-F(s)0s此外，由拉普拉斯变换存在定理，还可以得到像函数的积分性质：若L[f(t)]=F(s)，则有F(s)ds卷积定理拉氏变换中的卷积还存在着如下的卷积定理［9］：假定f(t)、f(t)满足拉普拉斯变换存在定理中的条件，且L[f(t)]二F(s),L[f(t)]二F(s),则f(t)*f(t)的112212拉氏变换一定存在，且L[f(t)*f(t)]二F(s)-F(s)1212一般地，有L[f(t)*f(t)*…f(t)]二F(s)-F(s)••…F(s)12n12n小结由以上可以看出，傅氏变换与拉氏变换有许多相似之处。但从(1.2)中我们也可以看出，用傅里叶变换在求解问题时，要求所出现的函数必须在(―^,+8)内满足绝对可积(j+s|f(t)|<+8)这个条件。该条件的限制是非常强的，以致于―8常见的函数，如常数、多项式以及三角函数等，都不能满足这个条件。另一方面，从(2.2)的拉氏变换存在定理可以看出，拉氏变换所要求的条件是很弱的，常见的函数都能进行拉氏变换，这使得拉氏变换在许多领域中的应用极其广泛。下文我们将对两种变换的应用做一介绍。傅氏变换与拉氏变换的比较研究傅立叶变换与拉普拉斯变换在数学、物理以及工程技术等领域中有着极其广泛的应用。由(一)可知两种变换的性质有很多相似之处，故两者在求解问题时也会有许多类似。另外，由于傅氏变换的积分区间为(-8,+8),拉氏变换的积分区间为6+8),两者又会在不同的领域中有着各自的应用。下面我们通过一些具体的例子对两种变换的应用做一些比较研究。2.1两种积分变换在求解广义积分中的应用傅氏变换与拉氏变换都可以用来求解一些用普通方法难以求解的广义积分，下面举例说明：例1求函数f(t)J1呼1的傅里叶积分表达式。[o其它解：由(1-1)式有

f(t)=丄J+s[J+sf(t)e-聞dT]eistd®2兀—s—s=_LJ+s[J1f(t)e-i®TdT]eistd®2兀—s—1=丄J+s竺亠e呗2l—si①1f+ssinro/=(cosrot+ismrot)droL—sro+ssinrocosrot=+sdroL—sroJ+ssinrocosrot=+sdro,(t丰±1)L0ro当t二±1时，傅里叶积分收敛于f(土1+°)+f(土-°)=1，根据以上的结果可以写22J+sSinroC0Srot2J+sSinroC0SrotL°rof(t),dro=<1〔2tH±1t=±1J+s血rocosrotdroJ°ro°,t\<1|t|=1t>1由此可以看出，用傅里叶积分表达式可以推证一些广义积分的结果。本题中，取t二°则有J+ssinrodro邛，°ro2这个就是著名的狄利克雷积分。同样，拉普拉斯变换也可以用来求解狄利克雷积分例2求狄利克雷积分[1°]”7dt解：引进参变量x,设f(x)十耳,对其求拉普拉斯变换并交换积分次序，得

L[f(x)]=J+s[卜Sinxtdt]e-sxdx00t=J+s1[J+ssin(xt)e-sxdx]dt0t0由附录的积分表可知Jwsinat-e-stdt=，则0s2+a2L[f(x)]=J+s1-tdt0ts2+t2=J+s1dt0s2+t2」J+s：d(t)S01+(-)2Ss1/、=—arctan(-)+»tt01兀t2即L[f(x)]=—=，t2,兀1兀，1兀f(x)=L-g•_]=万L-1[—]=-2t2t2J+sSin(xt)dt=兀0t2取x=1，则有J+sSintdt邛0t2这与(例1)中的结果是完全相同的。例3求欧拉-泊松积分J+se-x2dx0分析：该积分的积分区间是(0,+s),用拉普拉斯积分变换求解会更加便利解：由达朗贝尔判别法可知欧拉-泊松积分收敛［11］。引进参变量t，使其成为t的函数，设f(t)=J+se-tx2dx。对f(t)取拉氏变换并交0换积分次序的，得

L[f（t）]=J+8[J+8e-tx2dx]e-stdt-00=J+s[J+8e-（x2+s）tdt]dx00=卜-dx

0x2+s_1f+8+80因为L［厂2］=■，所以取t二1+80因为L［厂2］=■，所以取t二1，则有10+8e-x2dx二由以上几个例子可以看出，两种变换都可以用来求解广义积分，和普通方法相比［12］该方法简单明了，具有很大的优越性。2.2两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用例4求解积分方程g(t)_h(t)+f+8f(T)g(t-T)dT-8其中h(t),f(t)都是已知的函数，且g(t)、h(t)和f(t)的傅里叶变换都存在。分析：该积分方程中的积分区间是(-8,+8),故首先应考虑用傅里叶积分变换法求解。积分项内是函数f(t)与g(t)的卷积，对方程两边取傅氏变换，利用卷积性质便可以很方便的求解该问题。解：设F[g(t月GWF),f[在(®F,F[((h=]t⑹由卷积定义可知f+Mf()g(t-GdP=f(t)*g(t)。因此对原积分方程两边取傅里叶变换，可得—gG(①)=H(①)+F(①)-G(⑹因此有G(⑹1—F(①)由傅里叶逆变换求得原积分方程的解为g(t)=丄卜G(ro)ei»tdro2兀—g=丄J+gH(⑹gistdro2兀—g1—F(ro)同样，应用拉普拉斯变换的卷积性质也可以用来求解积分方程。例5求积分方程y(t)=12+fty(t—t)sintdT0的解。分析：该积分方程中的积分区间是(0,t)，考虑到拉氏变换卷积性质中函数的积分区间是(0,t)[13,故对原方程两边取拉普拉斯变换，应用相应的卷积性质便可求出该积分方程的解。21解：设L[y(t)]二Y(s)，则有,L[t2]二—，L[sint]二——。对原方程两边取S3S2+1拉普拉斯变换，由卷积定理得21Y(s)二+Y(s)S3S2+1整理得22Y(s)二+s3s5取其逆变换可得y(t)二2(t2)+2(上)2!4!，，1=12+1412此即原积分方程的解。例6求解线性方程组[14]rx'+x一y=et<y'+3x一2y=2etx(0)二y(0)二1分析：利用傅氏变换与拉氏变换性质中的微分性质，可以将微分方程转换为像函数的代数方程，使得问题得以解决。但是用傅里叶变换求解问题时，要求所出现的函数必须在(-。+8)内满足绝对可积。鋼f(t)|<+8)这个条件。但是本—g题中的et、x、y都不满足这个条件，故不能用傅氏变换进行求解。我们采用拉氏变换对该方程组进行求解。解：设L[x(t)]=X(s),L[y(t)]=Y(s)，对方程组进行拉氏变换得到sX(s)—1+X(s)—Y(s)=VsY(s)—1+3X(s)—2Y(s)=2解得1X(s)二Y(s)一s—11拉氏逆变换L-1[]二et，故s—1x(t)=ety(t)=et即为原方程组的解。两种积分变换在求解偏微分方程中的应用利用傅里叶变换和拉普拉斯变换可以用来求解偏微分方程，下面以《数学物理方法》课程中常常碰到的几种方程进行举例说明。

例7求解无界弦的自由振动u一a2u=0(-g<x<+s)例7求解无界弦的自由振动ttxxuI(x),uI二屮(x)t=0tt=0分析：对于无界区域的定解问题，傅里叶变换是一种普遍使用的求解方法。本题中由于弦的区域是(-g,+g),可以用分离变量发进行求解，也可以用傅里叶变换发进行求解。解：对于u(t,x)将时间t看作参数，对x进行积分，求其傅氏变换并应用傅里叶变换的性质得到F[u(t,x)]=J+gu(t,x)e-i'raxdx=U(t,ro)—gdudtdudtJ+ge-iroxdx=—gdt1J+gdt—gu(t,x)e—iroxdx=[字]=dxd2乔U[字]=dxd2乔U(t,⑹J+g—ge—iroxdx=iroF[u(t,x)]=iroU(t,ro)dxF[]=(iro)2U(t,ro)=—ro2U(t,ro)dx2另设F叩(x)]=O(ro),F[屮(x)]=¥(ro)，对原定解问题作傅里叶变换得到d"'⑹+a2ro2U(t,ro)=0dt2U(t,ro)二①(ro),—U(t,ro)|=屮(ro)t=0dtt=0方程的通解为U(t,ro)=A(ro)eiarot+B(ro)e—iarot，将初始条件代入可求得A(ro)=1A(ro)=1①(ro)+21屮(ro)2airoB(ro)=2①(ro)-1屮(ro)2airo1“、1屮(w)U(t,W)=①(w)eiatw+eiatw22aiw示/、1屮(w)+—①(W)e_iatw—e_iatw2aiw再对U(t,w)作傅里叶逆变换，应用傅里叶变换的性质可得方程的解为u(t,x)=丄[申(x+at)+9(x—at)]+丄Jz+“屮(t)dT22ax—at这正是《数学物理方法》课程用行波法求解无界弦运动的达朗贝尔公式[15]。对于半无界弦的振动，一般来说用拉普拉斯变换法求解往往比较方便，下面举例说明：例8求解半无界弦的振动问题：u=a2u=a2uttxxVu=9(x),x=0=0,t=0(0<x<+x,t>0)limu(x,t)=0(t>0)xT+a=0,(0<x<+a)ut11=0解:对方程两边关于变量t作拉氏变换，记L[u(x,t)]=U(x,s),L[9(t)]=0(s)，利用拉普拉斯变换的微分性质及初始条件可得QuL[]=sU(x,s)—u(x,0)=sU(x,s)QtQ2uL[]=s2U(x,s)—su(x,0)—u(x,0)=s2U(x,s)Qt2tL[旦]十皂e—stdt=竺U(x,s)Qx20Qx2dx2这样，原定解问题转化为求解含有参数s的常微分方程的边值问题d2s2U(x,s)=a2U(x,s)dx2=0(s),limU(x,s)=0x=0xT+8这里，方程是U(x,s)关于x的一个二阶常系数齐次线性微分方程，该微分方程的通解为U(x,s)=ce_(a)x+ce(a)x，12由其边界条件可得

c=①(s),c=012故U(x,s)=0(s)e7a)x对上式去拉普拉斯逆变换，利用拉氏变换的延迟性质，得到原定解问题的解为u(x,t)=L[U(x,s)]=L-1[①(s)e-(a)x]0(tv-)a=</x、/、x、w(t——)(t»—)、aa例9利用傅里叶变换求解上半平面无源静电场内电势的定解问题电+旦二0(-vxv+也y>0)dx2By2u=f(x),limu=0、y=0x2+y2T+8分析：本题中的偏微分方程称为二维拉普拉斯方程，它是用来描述稳恒过程的，函数u(x,y)与时间t无关。由于x的变化范围是(-xvxv+x)，故应该考虑用傅氏变换进行求解。解：对方程和边界条件关于x取傅氏变换，记F［u(x,y)］二U(①,y)F［竽］二-®2U(①,y)Bx2F［学］二字U®y)By2dy2F［f(x)］二F(①)这样就把求解原定解问题转化为求解含有参数«的常微分方程的边值问题d2Udy2U=U=F(®),y=0limU=limU=0W2+y2T+8yT+8此二阶常系数线性齐次微分方程通解为U(®y)=c(①)eby+c(①)e丄y12代入边界条件有c(®)+c(®)=F(®),由mU0=得c(®)=0,因此c(®)=F(®)。1212y6故边值问题的解为U(①,y)=F(①)e丄I再对上式两端取傅里叶逆变换，借助于傅里叶积分公式F[——1]=-—eab,Re(a)<0[16,可知F-i[e丄y]=y-1。再利用傅里叶a2+12a兀x2+y2变换的卷积性质，可得原定解问题的解为u(x,y)=F-1[U(®,y)]=f(x)*—兀(x2+y2)=1严yf(T)dT兀-s(x-T)2+y2由以上几个例题可以看出，傅里叶变换与拉普拉斯变换都可以用来求解偏微分方程，由于在求解偏微分方程时两者都可以将方程化为某个变量的代数方程，使得问题得以简化，故两种积分变换法在求解偏微分方程时有着重大的意义。两种积分变换在电路理论中的应用例10如图所示的RL电路中，u=e-tV,R=10,L=1H，求开关S闭合后回路中的电流i(t)。图1解：由基尔霍夫电压定律[17]可得回路方程为-+Ri(t)=u(t)

dt代入数值，化简为

i(t)_i(t)二_e-t①该方程是一阶非齐次线性微分方程，用高等数学的知识进行求解的话，要先求出与之对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解。求解步骤比较繁琐，这里我们先采用傅里叶变换法进行求解。设F[i(t)]二I®)，由傅氏变换的微分性质可得F[分性质可得F[i'(t)]=i①I(①)。又F[u(t)]=11+iw(在t<0时电压为0)[18]，代入上述方程中得整理得对上式取傅氏逆变换得此即电路中的电流。i入上述方程中得整理得对上式取傅氏逆变换得此即电路中的电流。iwI(w)-1@)二-11+iw1(w)=2(佥」)1I(w)二(e-1-et)2②该方程也可以用拉氏变换法进行求解。设L[i(t)]二I(s)，同理由拉氏变换的微分性质可得L[厂(t)]=sI(s)(t=0时电流i(t)=0)。对化简后的方程两边去拉氏变换，得到1

sI(s)-1(s)二——s+1整理得I(s)二-[1--2s-(-1)再对上式取拉氏逆变换，得到电路中的电流为1i(t)二㊁仗-t-et)可以看出用傅氏变换与拉氏变换两种方法求解的结果是完全相同的。《信号与系统》、《电路分析》等课程中常常会碰到各种信号的问题，一般来说傅里叶变换法适用于对连续时间系统的分析，这种方法也被称为频域分析法；而拉普拉斯变换法被称为系统的复频域分析[19]，这种方法的适用范围更加广泛以致于在相当长的时期内，人们几乎无法把电路理论与拉普拉斯变换分开来讨

论。下面我们再举两个用拉氏变换法解决电路问题的例子：例11如图所示，电路为完全耦合互感电路，互感量M=L=L=1H，电12阻R二R二10，电压E二IV，开关S闭合前i(0-)二i(0-)二0。求开关闭合后电1212路中的电流i路中的电流i(t)和7(t)。解：由基尔霍夫电压定律可列出电路的微分方程如下：TOC\o"1-5"\h\zdi(t)di(t)“、Li丿+M?丿+Ri(t)二E1dtdt11di(t)di(t)L+M』^+Ri(t)二0、2dtdt22代入数据，得+i(t)=11++i(t)=11+i(t)=02—1——+—2——dtdtdi(t)di(t)―2——+—1——、dtdt此方程组为二元一阶微分方程组，采用高等数学的知识很难得出结果来，这里采用拉氏变换法求解。令L[/(t)]=I1(s)，L导)]=12(s)，对上述微分方程组两边取拉氏变换，考虑到初始条件i(0-)=i(0-)=0，可得12sI(s)+sI(s)+1(s)=-<121ssi(s)+si(s)+1(s)=0212解得

TOC\o"1-5"\h\zs+1_11112.

s(2s+1)s2(112S-(-21_11-2s+1_-2("Xs-(-2)对其取拉氏逆变换，得到电路中的电流为”1(1)

i(t)_L-1[I(s)]_1--e-(2t)

112V1.1、i(t)_L-1[I(s)]_--e-(2t)

I222例12求如图所示的电路的零状态响应(即u(0-)_0V,i(0-)_0A)的电cL流i(t)。其中E_10V,R_R_10,C_1F,L_1H。112h(t)R21-^IZZHh(t)R21-^IZZH图3解：由基尔霍夫电压定律可得到回路方程为~1E_u(0-)+_ri(t)dT+[i(t)-i(t)]RIcC01121V[i(t)-i(t)]R_i(t)R+Ldi2(t)I12122dt代入数据，整理后得到•Pi(t)dT+i(t)-i(t)_10IV0112

di2(t)-i(t)+2i(t)_0Idt12此方程组中既有积分项又有微分项，若用一般的方法进行求解会很难得出结果，此处采用拉氏变换法进行求解。设L[i(t)]_I(s),L[i(t)]_I(s)。对上述1122方程组两边取拉氏变换，整理得I(s)丄丁().()10-4+I(S)-I(S)=—<s12ssI(s)-1(s)+21(s)=0212解得s+11I(s)=10x[+]V(s+1)2+1(s+1)2+110s+11】I(s)=x[+]s+2(s+1)2+1(s+1)2+1对I(s)取拉氏逆变换可得到电路的零状态响应电流为1i(t)=10x(sint+cost)e-tA1由以上两个例题可看出，用拉普拉斯变换法解决电路问题简洁、明了，和一般方法相比显得十分便捷。总结本文以上内容举例分析了傅里叶变换与拉普拉斯变换在解决问题中的应用，两种变换存在许多相似的地方，也存在一些不同的地方。从(1.2)中我们可以看出，用傅里叶变换在求解问题时，要求所出现的函数必须在(S,+8)内满足绝对可积(Lf(t)l<+8)这个条件。该条件的限制是非常强的，以致于常见的函-8数，如常数、多项式以及三角函数等，都不能满足这个条件。我们按如下方式对傅氏变换进行改造：对于任何函数/(t)，我们假定在t<0时f(t)三0，联想到指数衰减函数e-Pt(B>0)所具有的特点，那么，只要卩足够的大，函数f(t)e-%的傅氏变换就有可能存在，即F[f(t)e-B]=J+sf(t)e-応％=J+®f(t)e-(叫)tdt-80根据傅氏逆变换得到1+sf(t)e-B=J+8f[f(t)e-B]e伽d®2兀-8记s=B+i®,F(s)=F[f(t)e-Bt]并注意到ds=id®于是便可得到F(s)=卜f(t)e-stdtf(t)=丄J"皿F(s)estds、2兀iB-z&以上两式便是(2.2)中的拉普拉斯变换及其逆变换。由此可以看出，拉氏变换可以看成是一种特殊的傅里叶变换［7］。傅氏变换与拉氏变换存在许多类似之处，如文中所述，都能够在解决广义积分、微分积分方程、偏微分方程、电路理论等问题中得到应用。但是两者之间也存在着差异。从另一个角度讲，傅氏变换与拉氏变换相对于两种不同的积分变换［20］。所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数f(x),乘上一个确定的二元函数K(x,p),然后计算积分，即F(p)=Jbf(x)K(x,p)dxa这样，便变成了另一个函数类B中的函数F(p)，其中的积分域是确定的。F(p)称为f(x)的像函数，f(x)称为F(p)的像原函数；K(x,p)是p和x的已知函数，称为积分变换的核，K(x,p)的不同形式决定着变换的不同名称。下面我们列表说明两者的不同：积分变换名称积分域积分核定义公式逆变换公式傅里叶变换(一8,+x)e-血F)=J+®f(t)e-3dt—g1ff(t)=——J+gF(®03d①2兀-g拉普拉斯变换[0,+S)e-stF(s)=J+gf(t)e-stdt0f(t)=J」B+igF(s)estds2兀IB-ig两者之间的差异首先表现在积分域上，积分域的不同限制了拉氏变换在某些问题中的应用，在处理问题时首先应考虑到这一点。两者之间的差异在信号处理中的表现得尤为显著：傅里叶变换将时域函数f(t)变换为频域函数F(o)，时域中的变量t和频域中的变量o都是实数且有明确的物理意义；而拉普拉斯变换则是将时域函数f(t)变换为复频域函数F(s)。这时，时域变量t虽是实数，但s却是复数；与o相比较，变量s虽称为“复频率”，但其物理意义就不如o明确。但是由于常见函数(例如常数、三角函数、多项式等)大多不满足绝对可积的条件，数学上进行处理时要涉及到抽象的广义函数一一5函数［21，故在电路理论中傅氏变换的应用远不如拉氏变换的应用广泛。

附录：本文所用到的拉普拉斯变换简表像原函数f(t)像函数F(s)11eat占伽(m>一1)r(m+1)Sm+1sinatas2+a2cosats