福建省南平市兴田中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析

福建省南平市兴田中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数（其中）的一个对称中心的坐标为，一条对称轴方程为．有以下3个结论：①函数的周期可以为；②函数可以为偶函数，也可以为奇函数；③若，则可取的最小正数为10．其中正确结论的个数为A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：C2.已知是函数的一个零点，若，则A．

B．C．

D．参考答案：D

3.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的关系（、为常数），用如图所示的曲线表示.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效.则服药一次，治疗疾病有效的时间为（

）

A．4小时

B．小时

C．小时D．5小时参考答案：答案：C4.函数y＝sin2x＋sin2x，x∈R的值域是()A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为A．B.C.D.参考答案：A略6.若定义域在的函数满足： ①对于任意，当时，都有; ②; ③; ④,则（

） A.

B．

C．

D．参考答案：B略7.设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（

）A．-15

B．-9

C．1

D．9参考答案：A目标区域如图所示，当直线取到点时，所求最小值为．8.函数存在零点的区间为(

)

A.(0,1)

B.

(1,2)

C.

(2,3)

D.(3,4)参考答案：D9.已知点及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是（）A． B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】抛物线的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=1，焦点F（0，﹣1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选：C．10.某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有

A．24种

B．18种

C．48种

D．36种参考答案：A若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级，有种，若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则2名同学来自一个年级，另外2名分别来自两个年级。有，所以共有24种乘车方式，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设数列{an}满足：，，则

．参考答案：

12.设函数f（x）=n2x2（1﹣x）n（n为正整数），则f（x）在[0，1]上的最大值为．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题．【分析】对函数求导，令导数f′（x）=0，解得x的值，分析导函数的符号，确定函数在点x=取极大值，即函数的最大值，代入函数解析式即可求得结果．【解答】解：f′（x）=2n2x（1﹣x）n﹣n×n2x2（1﹣x）n﹣1=n2x（1﹣x）n﹣1（2﹣2x﹣nx）=﹣n2x（1﹣x）n﹣1[（n+2）x﹣2]=0得x=0，或x=1，或x=f（x）在[0，1]上是x的变化情况如下：∴f（x）在[0，1]上的最大值为故答案为：【点评】此题考查利用函数的导数研究函数的最值问题，注意导数的运算法则的应用是正确解题的关键，考查运算能力，属中档题．13.在斜三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则=

．参考答案：3考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：先把已知条件利用切化弦，所求的式子是边的关系，故考虑利用正弦定理与余弦定理把式子中的三角函数值化为边的关系，整理可求解答： 解：由题设知：，即，由正弦定理与余弦定理得，即故答案为：3点评：本题主要考查了三角函数化简的原则：切化弦．考查了正弦与余弦定理等知识综合运用解三角形，属于基础知识的简单综合．14.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为______________．参考答案：略15.在△ABC中，E为AC上一点，且，P为BE上一点，且满足（m＞0，n＞0），则当取最小值时，向量=（，）的模为

．参考答案：考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量基本定理求出m，n关系，进而确定+取最小值时m，n的值，代入求的模．解答： 解：∵，∴=m+n=m+4n，又∵P为BE上一点，不妨设（0＜λ＜1），∴=+λ=+λ（）=（1﹣λ）+λ，∴m+4n=（1﹣λ）+λ，∵，不共线，∴，所以m+4n=1﹣λ+λ=1∴=（）×（m+4n）=5+4+≥5+2=9（m＞0，n＞0）当且仅当即m=2n时等号成立，又∵m+4n=1，∴m=，n=，∴||==，故答案为：．点评：本题考查平面向量基本定理和基本不等式求最值，难点在于利用向量求m，n的关系和求+的最值．16.设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为__________．参考答案：y2＝4x设，则，，．17.函数的定义域为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分13分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（I）若求证：；（II）若求的值．参考答案：（I）由题设知……………2分所以………………4分因为所以故

……7分（II）因为所以

……8分即解得

……11分从而

………………13分19.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（Ⅰ）写出曲线C1，C2的普通方程；（Ⅱ）过曲线C1的左焦点且倾斜角为的直线交曲线C2于A，B两点，求.23.选修4-5：不等式选讲已知，使不等式成立.（1）求满足条件的实数t的集合T；（2）若，，对，不等式恒成立，求的最小值.参考答案：（Ⅰ）即曲线的普通方程为∵，，曲线的方程可化为即.（Ⅱ）曲线左焦点为直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为（参数）将其代入曲线整理可得，所以.设对应的参数分别为则所以，.所以.23.解：（1）令，则，由于使不等式成立，有.（2）由（1）知，，根据基本不等式，从而，当且仅当时取等号，再根据基本不等式，当且仅当时取等号.所以的最小值为18.20.（12分）已知，且（常数）。

（1）求k的值；

（2）若的值。参考答案：解析：（1）上式是关于x的恒等式，若不合（2）而解得当不合21.（14分）已知点是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量满足，设圆的方程为．（1）证明线段是圆的直径；（2）当圆的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值．参考答案：解析：（I）证法一：即整理得......................12分设点M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则即展开上式并将①代入得故线段是圆的直径。证法二：即，整理得①……3分若点在以线段为直径的圆上，则去分母得点满足上方程，展开并将①代入得所以线段是圆的直径.证法三：即，整理得以为直径的圆的方程是展开，并将①代入得所以线段是圆的直径.（Ⅱ）解法一：设圆的圆心为，则，又所以圆心的轨迹方程为：设圆心到直线的距离为，则当时，有最小值，由题设得?……14分解法二：设圆的圆心为，则??又…………9分所以圆心得轨迹方程为…………11分??设直线与的距离为,则因为与无公共点.所以当与仅有一个公共点时，该点到的距离最小，最小值为将②代入③，有…………14分解法三：设圆的圆心为，则若圆心到直线的距离为，那么又当时，有最小值时，由题设得22.在三棱柱P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PB=PC=，BC=4，PA=m（m＞0）（Ⅰ）当m为何值时，点A到平面PBC的距离最大，并求出最大值；（Ⅱ）当点A到平面PBC的距离取得最大值时，求二面角A﹣PB﹣C的大小的余弦值．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取BC的中点D，连结AD、PD，过A作AE⊥PD于点E．通过线面垂直定理易得AE即为点A到平面PBC的距离，利用基本不等式计算即可；（Ⅱ）当m=3时，以点A为原点建立坐标系，所求二面角的余弦值即为平面PBA的一个法向量与平面PBC的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．解答： 解：（Ⅰ）取BC的中点D，连结AD、PD，过A作AE⊥PD于点E．∵PB=PC=，PA⊥底面ABC，∴PD为△PBC中BC边上的高，∴△ABC为等腰三角形，从而AD为△ABC中BC边上的高，易知AE⊥BC，又AE⊥PD，∴AE⊥平面PBC，∴AE即为点A到平面PBC的距离，∵PB=PC=，BC=4，PA=m（m＞0），∴CD==，PD==，AD==，∵，∴=≤=，当且仅当m2=18﹣m2，即m=3时等号成立，∴当m=3时，点A到平面PBC的距离最大，最大值为；（Ⅱ）当点A到平面PBC的距离取得最大值，即m=3时，有PA=3，AD==3，AB=AC==，如图，以点A为原点建立坐标系，则A（0，0，0），C（0，，0），P（0，0，3），根据三角