2021年高考数学立体几何压轴题真题模拟题分类汇编：05 填空压轴题（学生版+解析版）

专题05填空压轴题

1.（2021•南京三模）早在15世纪，达・芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1,先制作三张一

样的黄金矩形ABC。（黑=/二0,然后从长边8的中点E出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即

长边2

\7

OE=-AD,再沿着与长边A8平行的方向剪出相同的长度，即。尸=OE,将这三个矩形穿插两两垂直放置，

2

连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2若黄金矩形的短边长为4,则按如上制作的正二十面体的表

面积为—，其外接球的表面积为一.

2.（2021•丹东模拟）中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖晒通过对几何体体积的研究，早于西方1100

多年，得出一个原理：“幕势既同，则积不容异”，“累”是面积，“势”是高.也就是说：夹在两个平行平

面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这

两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖晒原理.现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平

行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，根

据祖咂原理可知这个三棱锥的体积为.

3.（2021•河东区一模）天津滨海文化中心地处天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化

工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图1所示，中心球状建筑引起了小明的注意，

为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图2所示，底面边长

约为30米，估计此时球的完整表面积为一平方米；方案乙，测量球被地面载得的圆的周长约为16万米，

地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为立方米，你认为哪种方案好呢？

团1图2

4.（2021•奉贤区校级二模）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性

是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于27与多面体在该点的面角

之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面

体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是工，所

3

以正四面体在各顶点的曲率为24-3x二=»，故其总曲率为4万，则四棱锥的总曲率为.

3

5.（2021•思明区校级模拟）蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状

体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109°28',这样的设计含有

深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》.用

数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱-A夕。。EV的三个顶点A,C,E处分别用平面

BFM,平面8DO,平面"N截掉三个相等的三棱锥M-ABF,O-BCD,N-DEF,平面,平面

BDO,平面交于点P,就形成了蜂巢的结构.

如图，设平面P3OD与正六边形底面所成的二面角的大小为。，则cos6=—.（用含13!!54。44的代数式

表示）

6.（2021•广东模拟）如图，在四棱锥P-/WCZ）中，PDYAC,/WJ•平面R4D,底面ABCD为正方形,

且8+尸。=3.若四棱锥尸-48co的每个顶点都在球。的球面上，则当CD=1时，球。的表面积为；

当四棱锥的体积取得最大值时，二面角A-PC-。的正切值为.

7.（2021•怀化一模）四面体P-A3C中，PA=6其余棱长都为2,动点Q在AA8C的内部（含边界）,

设乙R4Q=a,二面角P-BC—A的平面角的大小为〃，AAP。和ABC0的面积分别为耳，邑，且满足

3■=刎X,则S2的最大值为.

8.（2021•麒麟区校级模拟）如图，蹴鞠，又名“鞠球”“鞠圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最

早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已

知各顶点都在某''蹴”的表面上的正四棱柱的底面边长为a，高为肌球的体积为36万，则这个正四棱柱的

侧面积的最大值为.

9.（2021•吉林模拟）如图所示，在长方体A8C£）-A4GA中，AB=3,AD=4,A4.=5,点£是棱Cg

上的一个动点，若平面8ER交棱明于点F,则四棱锥4-BE。尸的体积为,截面四边形BER尸的

周长的最小值为—.

10.（2021•包河区校级模拟）半正多面体（senQegMarso//）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的

正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，

它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1,则该半正多面体外接球的表面积为一；

若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为一.

11.（2021•沙坪坝区校级模拟）如图甲是一水晶饰品，名字叫梅尔卡巴，其对应的几何体叫星形八面体，

也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成，且所有面都是全

等的小正三角形，如图乙所示.若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2,则该星形八面体的体积

为.

12.（2021•烟台二模）在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型,

底面A8CD为边长是4的正方形,半圆面APD，底面A8CD.经研究发现,当点尸在半圆弧AD上（不含A,

。点）运动时，三棱锥P-曲的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为一.

13.（2021•德阳模拟）把如图的平面图形分别沿A3、BC、AC翻折，已知R、&、2三点始终可以重

合于点。得到三棱锥那么当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为一.

14.（2021•福建模拟）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应

用.如图，A,3,C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三

点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB,BC,CA,由这三条劣弧组成的图形称为球面AABC.已知地球

半径为A,北极为点N,P,Q是地球表面上的两点，若尸，。在赤道上，且经度分别为东经40。和东经80。，

/7

则球面&VPQ的面积为_；若NP=NQ=PQ=+7^~R,则球面ANPQ的面积为.

15.（2021•承德二模）某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是

由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1,高为2,半球的半径为1.现要

在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，

挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为—.

♦■.、

16.（2021•河南模拟）在三棱柱ABC-ABC中，A4tl■平面A8C,AB=AC=AA,,AB±AC,直线0和

匕分别在上底面AAG和下底面ABC上运动，且a_L〃，若AC与a所成的角为60。，则〃与侧面ACC/所

成角的大小为一.

17.（2021•湖北模拟）无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，我国最新款的无人侦察机名叫“无

侦-8”.无侦-8（如图1所示）是一款以侦察为主的无人机，它配备了2台火箭发动机，动力强劲，据报

道它的最大飞行速度超过3马赫，比大多数防空导弹都要快如图2所示，已知空间中同时出现了A,B,C,

。四个目标（目标和无人机的大小忽略不计），其中AB=A£>=3£>=6ak,,CD=3®km,BC=3akm,

且目标A,B,。所在平面与目标5,C,。所在平面满足二面角A-3D-C的大小是空，若无人机可

3

以同时观察到这四个目标，则其最小侦测半径为ahn.

图1图2

18.（2021•黄州区校级模拟）已知菱形A3CD的边长为2,Z43C=60。.将菱形沿对角线AC折叠成大小

为60。的二面角3'-AC-D.设£为B'C的中点，F为三棱锥3'-A8表面上动点，且总满足AC_LEF,

则点尸轨迹的长度为一.

19.（2021•朝阳区校级模拟）已知正AABC的顶点A在平面a内，顶点3,C在平面。的同一侧，D为BC

的中点，若A4BC在平面a内的射影是以A为直角顶点的三角形，则直线4）与平面a所成角的正弦值的

最小值为一.

20.（2021•重庆模拟）在三棱锥P-ABC中，PAA.AB,PA=4,Afi=3,二面角P-AB-C的大小为30。，

在侧面内（含边界）有一动点满足M到R4的距离与M到平面A8C的距离相等，则〃的轨迹

的长度为—.

21.（2021•绍兴二模）如图，在棱长为4的正方体ABC。-A4GA中，M是棱上的动点，N是棱BC

的中点.当平面与底面筋8所成的锐二面角最小时，4知=.

22.（2021•九龙坡区质检）如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面

射电望远镜，其反射面的形状为球冠.球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截

面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高.设球冠底的半径为厂，球冠的高为人，则球冠所在球的半径R=

（结果用/?,r表示）；设球冠底面圆周长为C,球冠表面积S=2万必7,当S=65000万，C=500TT时，—=

R------

23.（2021•六合区校级四模）如图，水平放置的正四棱台形玻璃容器的高为27cm,两底面对角线EG,£,G,

的长分别为25c7〃和97a篦.在容器中注入水，水深为8cm.现有一根玻璃棒/,其长度为39cm.（容器厚度、

玻璃棒粗细均忽略不计），将/放在容器中，/的一端置于点E处，另一端置于侧棱GQ上，则/浸没在水中

部分的长度为cm.

24.（2021•西湖区校级模拟）如图，在AABC中，CA=CB=6,AB=3,点E是BC边上异于点3,C的

一个动点，EFLAB于点E,现沿所将ABEF折起到APE尸的位置，则四棱锥P-ACFE的体积的最大值

为

25.（2021•开封三模）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽耘，古称“角黍”.如图，

是由六个边长为3的正三角形构成的平行四边形形状的纸片，某同学将其沿虚线折起来，制作了一个粽子

形状的六面体模型，则该六面体的体积为—；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为一.

26.（2021•沙坪坝区校级模拟）以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心，将上底图形旋转180。后，再将

上、下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如图所示的“扭反三棱柱”上、下底为全等的等腰

三角形，且顶点A,B,C,A，四，G均在球。的球面上，A8=AC=A4=A£=根，截面BC4cl是

矩形，BC=2,BC=4.则该几何体的外接球表面积为,当该几何体体积最大时机=.

27.（2021•茂名模拟）如图所示，三棱锥P-zlBC的顶点P,A,B,C都在球O的球面上，且AABC所

在平面截球。于圆。厂/归为圆。的直径，P在底面ABC上的射影为。1,C为A8的中点，。为3c的中

点.cosZPDO、=与,点尸到底面ABC的距离为弓，则球O的表面积为一.

28.（2021-5月份模拟）如图，正四棱锥P-A8co的每个顶点都在球M的球面上，侧面附8是等边三角

形.若半球。的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球。的体积与球"的体积的比

值为—.

29.（2021•德州二模）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,AAfiC是边长为

2的正三角形，E,尸分别是P4,的中点，ZCEF=90°,则三棱锥尸-/1BC的体积为,球O的

表面积为

30.（2021•青岛二模）某校学生去工厂进行劳动实践，加工制作某种零件.如图，将边长为10缶〃?正方形

铁皮剪掉阴影部分四个全等的等腰三角形，然后将△6AB,△£BC,ARCD,△£94分别沿他，BC,

CD,D4翻折，使得片，P2,P3,巴重合并记为点P,制成正四棱锥P-458形状的零件.当该四棱锥

体积最大时，AB=cm；此时该四棱锥外接球的表面积S=cnr.

专题05填空压轴题

1.（2021•南京三模）早在15世纪，达・芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1,先制作三张一

样的黄金矩形ABC。（吗=叵1],然后从长边8的中点£出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即

[长边2）

=再沿着与长边A3平行的方向剪出相同的长度，即O尸=OE,将这三个矩形穿插两两垂直放置，

2

连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2若黄金矩形的短边长为4,则按如上制作的正二十面体的表

面积为_806_,其外接球的表面积为一.

图I图2

【答案】80后；（40+8%

【详解】由题目中的图2可得正二十面体的表面是二十个全等的等边三角形，边长为4,

所以表面积为也x42x20=80G；

4

由/=宫心得长边2y=26+2,

根据对称性可知，外接球球心在所有黄金矩形对角线的交点处，直径就是黄金矩形的对角线长度,

即2R=7^7（2^5+27=“0+8后,

所以外接球的体积为47rA2=4万x（"10+2石＞=（40+8石）开.

故答案为：8073；（40+8后）%.

2.（2021•丹东模拟）中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖唯通过对几何体体积的研究，早于西方1100

多年，得出一个原理：“幕势既同，则积不容异”，“幕”是面积，“势”是高.也就是说：夹在两个平行平

面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这

两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖晒原理.现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平

行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，根

据祖晅原理可知这个三棱锥的体积为一.

8相

【答案】------冗

3

【详解】设圆锥的底面半径为，

则2〃T=4X2〃X4，

2

解得r=2,

.•.圆锥的高h=V42-22=2>/3,

圆锥的体积也即三棱锥的体积为：兀x展*26=处兀.

33

故答案为：---71.

3.（2021•河东区一模）天津滨海文化中心地处天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化

工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图1所示，中心球状建筑引起了小明的注意，

为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图2所示，底面边长

约为30米，估计此时球的完整表面积为一平方米；方案乙，测量球被地面载得的圆的周长约为16万米，

地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为一立方米，你认为哪种方案好呢？

廛1图2

【答案】300"华'方案乙

【详解】方案甲：R=OE=-\=EC=-\=—=-^x—=5y/3^,则球的完整表面积为=300万平方米;

V3V32V32

方案乙：BC="='.母=8米，而OE=OB=R,OC=EC-OE=16-R,

227T

则OC2+BC2=OB2,故(16-R)2+64=R2,解得R=10,

故求完整体积为3万内="叱立方米.

33

方案乙更好，实际可操作性乙更强.

故答案为：300万，竺2竺，方案乙.

3

4.（2021•奉贤区校级二模）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性

是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2万与多面体在该点的面角

之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面

体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是工，所

3

以正四面体在各顶点的曲率为2%-3*生=万，故其总曲率为4万，则四棱锥的总曲率为.

3

【答案】4万

【详解】由题意可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，

可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合,

由图可知四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形,

所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成,

所以面角和为4万+2万=6万.

故总曲率为5x2万-=4万.

故答案为：4万.

5.（2021•思明区校级模拟）蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状

体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109。2&,这样的设计含有

深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》.用

数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF-A9。诚尸的三个顶点A,C,E处分别用平面

BFM,平面3£>O,平面。RV截掉三个相等的三棱锥M-ABF,O-BCD,N-DEF,平面的0,平面

BDO,平面网交于点P,就形成了蜂巢的结构.

图1图2

如图，设平面P88与正六边形底面所成的二面角的大小为。，贝hos6>=.（用含1加54。44,的代数式

表示）

【答案】—tan54044,

3

【详解】利用第二个图：取8厂的中点O,连接04,OM,

YMF=MB,:.MOVBF,•：AF-AB,/.AOA.BF,

:.ZMOA是平面PBOD与正六边形底面所成的二面角的平面角,

.\ZMOA=0,

不妨取"=2,在等腰AAB/中，ZBAF=\20°,

则OB=AB・sin¥=2•且=G,OA=ABsin—=2-=1,

3262

在RtAMOB中，tan54°44'=

0M

解得0M=———

tan54044,tan54044r

在RtAMAO中，cos0=色土=—tan54°44'.

OM3

故答案为：—tan54o44r.

3

6.（2021•广东模拟）如图，在四棱锥尸-MCD中，PDA.AC,平面B4O,底面MC0为正方形,

且8+9=3.若四棱锥P-ABC力的每个顶点都在球。的球面上，则当8=1时，球O的表面积为—；

当四棱锥尸-A5CD的体积取得最大值时，二面角A-PC-0的正切值为.

【答案】6兀，亚

【详解】(1)因为CE>=1,则PZ)=2C3=x(0cx<3)

平面皿>,:.AB±PD,又尸£>_LAC,PDL平面，

则四棱锥尸-ABCD可补形成一个长方体，球。的球心为的中点，

从而球O的表面积为表(%〜，+22y=6兀.

2

(2)设C£>=x(0<x<3),则尸D=3—x,四棱锥P—ABCD的体积丫=：乂(3-幻/(0<了<3),

则丫，=一*2+2乂，当0<x<2时，V'>0；当2cx<3时，Vz<0.

故匕e=丫(2),此时A£)=C£>=2，PD=l.

过。作Z)”_LPC于H,连接月H,则ZA”》为二面角A-PC-O的平面角.

lx2_2逐

DH=tanZAHD=—=>/5.

DH

故答案为：6万，亚.

7.(2021•怀化一模)四面体P-A8C中，PA=6其余棱长都为2,动点。在AA3C的内部(含边界),

设NA4Q=a,二面角尸-8C-A的平面角的大小为尸，AAPQ和ABC0的面积分别为5，S2,且满足

q3qin。

3=要5,则5,的最大值为.

S24si“----

【答案】4G-6

【详解】四面体P—A8C中，PA=£,其余棱长都为2,

取3c的中点。，连接PE＞，AD,则尸DJ.3C，ADLBC,

故N3/M为二面角P—BC—A的平面角

因为等边三角形PBC,ABC-故PD=A£)=G=PA,

故0=60。,

设。到8C的距离为人，

c1AP-AQsina々.

则县=2__________=至吧，

52^BCh,sin/?

2

化简得，AQ=h,

故点Q的轨迹为以点A为焦点，以4。为准线的抛物线在三角形ABC内部的•段弧,

如图建立直角坐标系，则抛物线的方程为V=2信，A(0,

故圆弧与AB的交点横坐标为x=76T2,

2

贝IJ。到8c的最大距离〃=+g=4丛-6,

故邑的最大值为:2(48-6)=4g-6.

故答案为：4\/3—6.

8.(2021•麒麟区校级模拟)如图，蹴鞠，又名“鞠球”“鞠圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最

早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已

知各顶点都在某“蹴”的表面上的正四棱柱的底面边长为。，高为力，球的体积为36万，则这个正四棱柱的

侧面积的最大值为.

【答案】36也

4

【详解】设球的半径为火，则？万/?3=36%，，R=3,

3

,.•正四棱柱底面正方形外接圆半径r=•!•^/717=立4,

22

解得h=麻6-2万,

正四棱柱侧面积S=4a/?=々«36-2。2=^\6a2(.36-2a2),

•.•2/(36—2/),,(2"—+36二2(产=234,当且仅当2/=36-2黯，即”=3时，等号成立,

2

;.S,,18x324=360,当且仅当a=3时;等号成立，

即正四棱柱的侧面积的最大值为36五.

故答案为：36无.

9.（2021•吉林模拟）如图所示，在长方体A8CQ-A4GR中，AB=3,4）=4,例=5,点£是棱CQ

上的一个动点，若平面8ER交棱A4,于点F,则四棱锥片-切力＞|尸的体积为___,截面四边形BE〃尸的

周长的最小值为一.

【答案】20；2/

【详解】由题意可得，D}F//BE,

DiliV=v+Vv=yV+Vv

入Jv氏—BERFv%-BER丁l\-BED{D^-BEHX丁Dt-BE

=^BB<BCAB+^BBcDiAxAB)

=；x(；x5x4x3+gx5x4x3)=20；

将长方体展开，如图所示:

当点E为8。与CG的交点，F为8。与想的交点时，截面四边形BERF的周长最小,

最小值为2BR=2"5：+(3+4)2=2774.

故答案为：20；2774.

10.（2021•包河区校级模拟）半正多面体（se加reg“/ars。/源）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的

正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，

它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1,则该半正多面体外接球的表面积为_4万_；

若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为一.

【答案】4万，86

【详解】由题意知，该半正多面体外接球的半径为1,其表面积为4万.

若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动,

则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小.

此时，设正四面体的棱长为0，则正四面体的高为乎,

则有(岑a7)2=1+

2

解得。=2#,Vinin——••(2\/6),•2y/b)—8\/3.

故答案为：4万，84.

11.（2021•沙坪坝区校级模拟）如图甲是一水晶饰品，名字叫梅尔卡巴，其对应的几何体叫星形八面体，

也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成，且所有面都是全

等的小正三角形，如图乙所示.若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2,则该星形八面体的体积

为.

甲乙

【答案】夜

【详解】由题知星形八面体体积为一个棱长为2的大正四面体与四个棱长为1的小正四面体的体积之和，

故该星形八面体的体积为：

V=—x23+4x—xl3=72.

1212

故答案为：0.

12.（2021•烟台二模）在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型,

底面ABCD为边长是4的正方形,半圆面加冷，底面ABCD.经研究发现,当点P在半圆弧AD上（不含A,

D点）运动时，三棱锥P-42的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为

【答案】32%

【详解】由题意，AMD为直角三角形，

取4）中点G,则G4=GD=GP,

取正方形ABC力的中心O,连接OG,则OG,

­.­面APDA.底面ABCD，且面APDC底面ABCD=AD,

.•.OG_L平面A4£）,得。到四棱锥P-ABCD各顶点的距离相等，

;.O为四棱锥P-ABCE•的外接球的球心，即三棱锥P-ABD的外接球的球心，

半径R」BO=2夜，

2

外接球的表面积为4万齐=4犷（2夜产=32乃.

故答案为：32万.

13.（2021•德阳模拟）把如图的平面图形分别沿9、BC>4c翻折，已知。|、D22三点始终可以重

合于点。得到三棱锥£>-ABC,那么当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为

【答案】50zr

【详解】在三棱锥。-MC中，

当且仅当八4,平面A8C时，三棱锥的体积达到最大,

此时，设外接球的半径为A，球心为O，

球心。到平面ABC的投影点为F,则有R2=OAi=OF2+AF2,

又o尸=1AD=*,AF=-AC=-

2222

所以炉=（|）2+（L，

75

所以球的表面积为S=4TCR2=4^x—=50^,

2

故答案为：50万.

14.（2021•福建模拟）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应

用.如图，A,B,C是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三

点中任意两点的大圆的劣弧分别为A8,BC,CA,由这三条劣弧组成的图形称为球面AABC.已知地球

半径为/?,北极为点N,P,Q是地球表面上的两点，若P,。在赤道上，且经度分别为东经40。和东经80。，

[7

则球面&VPQ的面积为；若NP=NQ=PQ=U?^R,则球面&VP。的面积为.

【答案】竺；

2_7RR2

9

【详解】尸。在赤道上，且经度分别为40。和8()。，

上半球面面积为，x4;rx店=2%R。,

2

球面APNQ面积为色x2兀*=网L,

36009

当NP=NQ=PQ=^^~肘,A/WQ为等边三角形，

根据题意构造一个正四面体N-PQS,如图所示：

其中心为O,。是高N”的靠近H的四等分点，

则cos乙NOP=-cos4Hop=--=

OPON3

山仝协牛再m■舛八…ON2+OP2-PN22R2-PN21

由余弦定理可得：cosZNOP=--------------------------=----------z=一一，

2ONOP2R23

9/7

解得PN=4?R,正好为题目给的长度，

3

所以球面PNQ的面积为S.NQ=；x4万代=兀K,

故答案为：二TTR-.

9

15.(2021•承德二模)某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是

由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1,高为2,半球的半径为1.现要

在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，

挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为—.

【详解】设中空圆柱的底面半径为厂，圆柱的高为2+/?(0<〃<2),

则/+g)2=1,r2=1—^—,

层

・•・中空圆柱的体积V=nr(2+力)=乃(1——)(2+h).

4

Vr=-^/z2+/z-l),可得当人w(0,|)时:Vr>0,当2)时，Vz<0,

则当人=2时・，丫取得最大值为竺乃,

327

又毛坯的体积为万xFx2+3乃xF=咽，

33

该模具体积的最小值为竽一捺〃=箸

267r

故答案为:

27

16.（2021•河南模拟）在三棱柱ABC—A8c中，A41_L平面/WC,AB=AC=AAi,ABrAC,直线Q和

b分别在上底面AB|G和下底面ABC运动，S.a±b,若与“所成的角为60。，则匕与侧面ACC/所

成角的大小为一.

【答案】45°

【详解】将三棱柱48。-44（；补形为正方体488-4与£。，如图所示，

△AC.和△A8C均为正三角形，.•.直线〃与A.重:合或平行时，4c与a所成角为60。，

此时若a_LZ>,则可使b与5c重合或平行，从而b与侧面ACGA所成角等「NBC4,大小为45。.

故答案为：45°.

17.（2021•湖北模拟）无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，我国最新款的无人侦察机名叫“无

侦-8”.无侦-8（如图1所示）是一款以侦察为主的无人机，它配备了2台火箭发动机，动力强劲，据报

道它的最大飞行速度超过3马赫，比大多数防空导弹都要快如图2所示，已知空间中同时出现了A,8,C,

。四个目标(目标和无人机的大小忽略不计)，其中钻=A£)=BQ=&7k”，CD=3y/3ahn,BC=3akm,

且目标4,B,。所在平面与目标3,C,。所在平面满足二面角A-Q-C的大小是久，若无人机可

3

以同时观察到这四个目标，则其最小侦测半径为—akm.

图1图2

【答案】x/13

【详解】当无人机位于四面体43c。外接球球心时，其最小侦测半径为此球半径,

取3Q中点“，连接

因为A4E)为等边三角形，边长为6,所以AM=6sin6()o=3后，

取外心N,则后，

3

因为8=36，BC=3,BD=6,所以BD2=CD'+BC2,所以8C_LC£>,

所以Af为幼8外心，

过M作MO_L平面BC£>,过N作NO_L平面MO交NO于O,

因为二面角A—50—。的大小是一,所以NQ0N=3O。，

3

于是A4N=Q0-cos3O。，即百=0M-，，所以QM=2,

2

所以。4=08=OC=0。=yjMD2+OM2=732+22=V13,

故答案为：.

18.（2021•黄州区校级模拟）已知菱形A8C。的边长为2,zS4BC=60°.将菱形沿对角线AC折叠成大小

为60。的二面角夕-AC-Q.设E为8'C的中点，尸为三棱锥9-ACZ）表面上动点，且总满足AC_L£F,

则点尸轨迹的长度为一.

【答案】---

2

【详解】连接AC、BD、交于点O,连接。夕，

ABCD为菱形,ZABC=60°,

所以AC_LB£）,OBVAC,AABC、AAC£＞、△A斤C均为正三角形,

所以N斤OD为二面角9一47-£）的平面角，

于是NEOD=60°,

又因为08=。。，所以△8O£＞为正三角形，

所以8'。=。8'=00=2*上=6，

2

取OC中点P,取8中点。，连接EP、EQ、PQ,所以PQ//O。、EP//OB',

所以4CJ.EP、ACVPQ,

所以AC_L平面EPQ,

所以在三棱锥夕-ACD表面上，满足AC_LE尸的点尸轨迹为\EPQ,

因为EP=、OB，,PQ=-OD,EQ=-B'Q,

222

所以AEPQ的周长为3x半=受，

所以点F轨迹的长度为迫.

2

“依3+

故答案为：----

2

19.（2021•朝阳区校级模拟）已知正AA3C的顶点A在平面a内，顶点3,C在平面a的同一侧，D为BC

的中点，若AABC在平面c内的射影是以A为直角顶点的三角形，则直线4）与平面a所成角的正弦值的

最小值为—.

【答案】—

3

【详解】如图所示，不妨设AB=2.则

假设一开始正AABC在平面a内时的位置，则N54C=60。.

而当3C//a时，其B、D、。三点的射影分别为4，R,G时，且2440=90。.

ZDAD,为直线4）与平面。所成角且最小.

则叫=3叼=1BC=1,DD\=^ADT-AD；=42.

此时sinNDAQ=四=斗=旦.

'AD63

当BC与平面a部平行时，可以看出：其DR长度必然增大.

因此直线4D与平面a所成角的正弦值的最小值为等.

20.（2021•重庆模拟）在三棱锥中，PAA.AB,PA=4,Afi=3,二面角P-AB-C的大小为30。，

在侧面AMB内（含边界）有一动点满足M到抬的距离与M到平面ABC的距离相等，则〃的轨迹

的长度为—.

【详解】如图，过M作脑VJ.A4于N,MOJ_平面ABC于O,

过O作OQ_LA3于。，连接MQ,

则NMQO为二面角P—AB-C的平面角，

由NMQO=30°,

得"Q=2MO.

又MO=MN,所以MQ=2MN,

在A/XB中，以43所在直线为x轴，AP所在直线为y轴建立平面直角坐标系,

则直线A"的方程为y=2x,

直线尸8的方程为4x+3y-12=0,

所以直线A"与PB的交点坐标为,

所以M的轨迹为线段4？,

长度为J（$2+（\）2=竽.

故答案为：竽.

21.（2021•绍兴二模）如图，在棱长为4的正方体ABC。-4BCR中，用是棱上的动点，N是棱BC

的中点.当平面RMN与底面438所成的锐二面角最小时，A.M=.

【答案】-

5

【详解】以。为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

设=则。(0,0,4),C(0,4,0),N(2,3,0),"(4,0,k),

所以£>M=(4,0,"4),£)N=(2,4,-4),

设平面AMN的法向量为斤=(x,y,z),

伽后依丽=00n[4x+a-4)z=0

则有4'，即｛,

[n-DtN=0[2x+4y-2z=0

令z=8，贝iJx=8—2A:,y=4+k,故为=(8-2Z,4+Z,8),

平面ABCD的一个法向量为血=(0,0,1),

设平面D、MN与底面A8CD所成的锐二面角为a,

\n-m\88

贝IJcosa=-------=/-----:=[一,

I创I比IJ(8—2k)2+(4+k)2+64,5-一24Z+144

锐二面角。越小，则cosa越大,

所以求5公—242+144的最小值，

10V7A

令f(k)=5k2-24k+\44=5(k--)2+—,

ioio2

所以当女时，a有最小值，此时4例=4一&=4—二=1.

故答案为：—.

5

22.（2021•九龙坡区质检）如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面

射电望远镜，其反射面的形状为球冠.球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截

面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高.设球冠底的半径为r,球冠的高为/?,则球冠所在球的半径/?=

力2+，_

------（结果用/I,〃表示）；设球冠底面圆周长为C,球冠表面积S=2TT/S,当5=65000万,。=500%

2/t一

时，〜.

R

力2+r25

【答案】

2h13

【详解】如图，由己知可得平面中心到球心的距离为球冠底的半径为广，球冠的高为〃,

/,2.

则球的半径满足川=国-〃尸+产’可得人.

又球冠周长为C=2w=500万，所以r=25O,

07SOO

::

且S=2兀Rh=65000%,所以〃=~——，

R

/I«2

代入R=可得R=650,