全国高中物理竞赛专题一 运动学

全国高中物理竞赛专题一运动学竞赛专题一：运动学【基本知识】一、质点的位置、位置矢量和位移1、如果物体的大小和形状可以忽略不计，就可以把物体当做一个有质量的点，称该点为质点。2、参考系是物理学中选作为标准的参考物体系统。3、位置矢量由参考点指向质点所在位置的有向线段称为位置矢量，简称位矢或矢径。其大小为r=√(x^2+y^2+z^2)，方位是cosα=x/r，cosβ=y/r，cosγ=z/r。4、位移由初位置指向末位置的矢量称为位移，它等于质点在Δt时间内位置矢量的增量，即Δr=r2-r1。位移的大小为Δr=√(Δx^2+Δy^2+Δz^2)，位移的方位是cosα=Δx/Δr，cosβ=Δy/Δr，cosγ=Δz/Δr。二、直线运动的速度和加速度1、速度平均速度是质点在t~t+Δt内产生的位移Δr与Δt之比，称为此时间间隔内的平均速度，表达式为v=Δr/Δt。瞬时速度是当Δt→0时，平均速度的极限值，即位移矢量对时间的一阶导数，称为质点在t时刻的瞬时速度，简称速度，表达式为v=dr/dt。2、加速度平均加速度是在t~t+Δt内质点速度的增量与时间之比，称为时间间隔内的平均加速度，表达式为a=Δv/Δt。瞬时加速度是平均加速度的极限值，即速度对时间的一阶导数，或位置矢量对时间的二阶导数，称为质点在t时刻的瞬时加速度，简称加速度，表达式为a=dv/dt或a=d^2r/dt^2。（1）加速度具有瞬时性，即a=limΔv/Δt=da/dt。只有质点做匀变速直线运动时，a为恒矢量，这时有如下运动公式：v=v0+at，x-x0=v0t+(1/2)at^2，v^2-v0^2=2a(x-x0)。（2）加速度具有相对性，对于不同的参考系来说，质点的加速度一般不同。在两个相对做匀速直线运动的参考系中（两个惯性系），质点具有相同的加速度。沿着一定的轨迹进行抛体运动。在竖直上抛运动中，当物体到达最高点时速度为零，但加速度仍然存在。这是因为加速度与速度本身无关，只与速度的变化有关，包括方向或大小的变化。因此，某时刻速度为零而加速度不为零是可能的。在运动学中，有两种基本问题，微分问题和积分问题。微分问题是已知运动方程，求速度和加速度；积分问题是已知加速度和初始条件，求速度和运动方程。对于微分问题，通过微分方法来求解；对于积分问题，则通过积分方法来求解。当加速度为常数g且不随时间变化时，可以通过微分方法求解速度和位移。同理，当加速度随速度变化时，可以通过积分方法求解速度和时间。当加速度随位置变化时，可以通过积分方法求解速度和位移。曲线运动是指物体运动轨迹为曲线的运动。在曲线运动中，可以描写质点在某一时刻的快慢情况。平均速度可以通过位移和时间之比来计算，而瞬时速度则是平均速度的极限值。瞬时加速度可以通过速度的变化率来计算，包括切向加速度和法向加速度。在圆周运动中，质点的加速度由切向加速度和法向加速度组成。若质点做匀速圆周运动，则其运动加速度为法向加速度，大小不变，方向始终指向圆心。抛体运动是指物体以一定的速度沿着一定轨迹进行的运动。在竖直上抛运动中，物体到达最高点时速度为零，但加速度仍然存在。因为加速度与速度本身无关，只与速度的变化有关，包括方向或大小的变化。当一个物体在地球表面附近运动，高度远小于地球半径且忽略空气阻力时，其加速度恒为竖直向下的重力加速度g。抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动，其中平抛运动的角度为0度，上抛运动的角度为90度。我们可以将抛体轨迹所在平面设为Oxy平面，抛出点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。抛体运动的规律为：y方向速度为v，加速度为-g；x方向速度为v0cosθ。y方向速度为v0sinθ-gt，x为vcosθt，y为v0sinθt-1/2gt^2。抛体的轨迹方程为y=xtanθ-x^2，飞行时间T=2v0sinθ/g，射程R=v0^2sin2θ/g，射高H=v0^2sin^2θ/2g。抛体运动具有对称性，上升时间和下降时间相等，上升和下降时经过同一高度时速度大小相等，速度方向与水平方向的夹角大小相等。运动的合成包括位移、速度、加速度的合成与分解，合运动与分运动具有独立性、等时性、等效性。相对运动指物体相对静止参考系的速度等于物体相对运动参考系的速度和运动参考系相对于静止参考系两者的矢量和。刚体在外力作用下总保持形状和大小不变，刚体运动时，其上各点的运动状态总是相同，这种运动叫平动。如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动叫转动。刚体的任何一个复杂运动总可视作平动与转动的叠加，刚体的运动同样遵从运动独立性原理。当刚体绕轴转动时，其上的任一质点都绕轴做圆周运动，既可以用线量来描述，又可以用角量来描述，角量与线量之间有一定的关系。角位置是刚体上任一点在t时刻到达P点，刚体的方位可由OP与Ox之夹角来确定，称为t时刻的角位置，亦称角坐标。角位移是t时间内的角位移。平均角速度是刚体在t~t+Δt内产生的角位移Δθ与Δt之比，称为Δt时间内的平均角速度。瞬时角速度Δt→平均角速度的极限值，表达式为ω=lim(Δθ/Δt)→dθ/dt。若在t+Δt时刻角位置为θ+Δθ，则Δθ称为刚体在Δt时间间隔内的平均角位移。平均角加速度在t到t+Δt时间间隔内刚体角速度的增量与时间之比，称为时间间隔内的平均角加速度。表达式为β=Δω/Δt。刚体定轴转动的基本问题包括微分问题和积分问题。微分问题是已知角运动方程，求角速度和角加速度。由于求解方法用到微分和积分方法，因此称为微分问题。积分问题是已知角加速度和初始条件，求角速度和角运动方程。由于求解方法用到积分方法，因此称为积分问题。⑴刚体定轴转动时，有如下对应关系：θ→ω=dθ/dt→β=dω/dt。⑵当β=β(t)时，可以利用定义β=dω/dt，求得dω=β(t)dt，然后取积分并代入初始条件，就可以求出角速度方程，进一步可以求出角运动方程。当β=β(θ)时，需要作如下变换，求出角速度方程和角运动方程。⑶考虑两种特殊情况：dω/dθ=dω/dt·dt/dθ，然后分离变量取积分，求ω=ω0+∫βdt，即可求出角速度。当刚体做匀变速转动时（β=c），有ω=ω0+c·t。当刚体做匀速转动时（β=0），有θ=θ0+ω·t+1/2·β·t²。【例题解析】例1：质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度。解析：因为向心力F=mrω²，当ω一定时，r越大，向心力越大，所以要想求最大张力T所对应的角速度ω，r应取最大值。在圆环上取一小段ΔL，对应的圆心角Δθ为2πΔL/2πr=ΔL/r。该小段的质量为Δm=MΔL/2πr。由于受圆环对它的张力为T，根据牛顿第二定律可得2Tsin(Δθ/2)=Δm·r·ω²。因为Δθ很小，所以sin(Δθ/2)≈Δθ/2，其质量可表示为Δm=MΔL/2πr。解得最大角速度ω=2T/(M·r)。注释：微元法是解决物理问题的一种常用方法，它采用从部分到整体的思维方法。使用微元法处理问题时，需要将问题分解为众多微小的“元过程”，每个“元过程”所遵循的规律是相同的。因此，我们只需分析这些“元过程”，然后再将它们进行必要的数学方法或物理思想处理，进而解决问题。例2：一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1m的A点时，速度大小为v1=20cm/s。问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小v2=？老鼠从A点到达B点所用的时间t=？解析：我们可以将老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动。因此，老鼠的速度v与牵引力F成反比，即v=kx（其中k为弹簧系数，x为弹簧的伸长量）。根据题目所给条件，我们可以求出k的值为k=10cm/s。然后，根据牛顿第二定律，我们可以求出老鼠到达B点时的速度v2=5cm/s。最后，根据能量守恒定律，我们可以求出老鼠从A点到达B点所用的时间t=7.5s。注释：等效法是一种将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，找出其中规律的方法。在效果相同的情况下，我们可以用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解。例3：如图1-2所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m。若不计空气阻力，取g=10m/s，求所需的最小初速及对应的发射仰角。解析：我们可以将水流的运动看作斜上抛运动，以喷口O为原点建立直角坐标系，然后根据平抛运动的规律，列出水流的运动方程。根据题目所给条件，我们可以求出水流通过点A（3.0m，4.0m）所需的最小初速度和对应的发射仰角。最终，我们得到所需的最小初速度为√(40m/s)，对应的发射仰角为45°。注释极限法是一种科学推理分析方法，通过将某个物理量推向极端，即极大或极小，从而得出判断或推导出一般结论。在物理问题的分析中，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题变得简单易懂。例如，考虑一个湖中的小船被风刮跑，其方向与岸边成15°角，速度为2.5km/h。同时，岸上一人从停放点起追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4.0km/h，在水中游的速度为2.0km/h。我们可以通过类比光的折射问题来求解最短时间问题，从而判断此人能否追上小船。根据费马原理，光总是沿着光程为极小值的路径传播。类比到小船问题中，我们可以设人从岸上出发，先沿湖岸跑，在入水处转向游泳，最终追上小船。根据折射定律，可以求出人在水中游的方向，使得所用时间最短。通过正弦定理和时间公式，我们可以求出小船能被追及的最大速度为22km/h。由于小船实际速度只有2.5km/h，小于最大速度，所以此人能够追上小船。因此，极限法在物理问题的分析中具有独特作用，能够帮助我们快速解决问题，将复杂的问题化简为简单易懂的形式。注释类比法是一种物理问题解决方法，它通过发现不同问题在形式上的相似性，包括数学表达式和物理图像上的相似性，利用已知系统的物理规律去寻找未知系统的物理规律。例如，当火车沿直线轨道从静止发出，做加速运动时，其加速度最大为a1，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a2，可以通过图象法解决问题，得到火车由A到B所需的最短时间为2s(a1+a2)/(a1a2)^(1/2)。注释图象法是一种物理问题解决方法，它将抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图象，将物理量之间的代数关系转变为几何关系，运用图象直观、形象、简明的特点，来分析解决物理问题。例如，当三只猎犬追捕猎物的速度均为v，它们同时起动，经过多长时间可捕捉到猎物？可以以地面为参考系，构建一个绕点旋转的参考系，描述三只猎犬的运动轨迹，然后通过对称性，将三只猎犬的位置构成的三角形看作不转动，顶点向中心靠近，从而求出顶点到中心运动的时间。注释对称法是一种物理问题解决方法，它利用物质世界存在的对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中。通过利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题。例如，当三只猎犬追捕猎物的速度均为v，它们同时起动，经过多长时间可捕捉到猎物？可以通过对称性，将三只猎犬的位置构成的三角形看作不转动，顶点向中心靠近，从而求出顶点到中心运动的时间。三只猎犬做等速直线运动，初始时它们分别位于正三角形的三个顶点上，正三角形的边长会不断缩小。为了求出捕捉时间，我们需要将等速曲线运动转化为等速直线运动，并且采用递推法求解。假设经过时间t后，猎犬们能够捕捉到猎物。我们将t分为n个微小时间间隔△t，并假设每个时间间隔内，每只猎犬的运动都是直线运动。在每个时间间隔内，正三角形的边长分别为a1、a2、a3、…、an。显然当an→0时，三只猎犬会相遇。根据等速直线运动的公式，我们可以得到：a3=a-v△ta2=a-2v△ta1=a-3v△t...an=a-nv△t其中，v表示猎犬的速度。由于an=a-nv△t，我们可以得到n△t=t/2。因此，捕捉时间t可以表示为：t=2a3v递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况的一种方法。当问题涉及到多个相互联系的物体，并且有规律可循时，我们可以将问题归类，并通过递推法求解。递推法的关键在于导出相邻两次作用之间的递推关系式。已知地球半径约为6.4×10^6m，月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动。我们可以根据月球所受的万有引力提供月球做匀速圆周运动所需要的向心力及月球公转周期，估算月球到地心的距离。根据运动定律及万有引力定律，我们可以得到：GMm2π=mr2T2GMm'=m'g2R将数据代入公式，可得月球到地心的距离约为4.1×10^8m（其中T是月球绕地球旋转周期，T=30天）。在问题求解过程中，有时我们会缺乏必要的已知条件，无法用常规的方法来求出物理问题的准确答案。这时，我们可以采用“估算”的方法来快速求解。估算法的关键在于忽略次要因素，抓住问题的主要本质，并充分应用物理知识进行快速计算。如图1-6-1所示，质点自倾角为α的斜面上方定点O沿光滑的斜槽从静止开始下滑。为了使质点在最短时间内从O点到达斜面，斜槽与竖直方向的夹角β应等于多少？解析：如图1-6-2所示，以经过点O的竖直线上的一点O′为圆心，OO′为半径作圆，并使该圆与斜面恰好相切于点A，与OO′延长线交于点B。已知从O点由静止出发沿倾角不同的光滑斜面下滑的质点，到达圆周上不同点所需时间相等。显然，质点沿OA方向从静止开始滑到斜面上所需时间比沿其他方向滑到斜面上所需时间短。连接O′A，由几何关系得：∠AO′B=α所以所用时间最短时，斜槽与竖直方向的夹角：β=α/2注释：作图法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性的表示成物理图像，将物理问题转化成一个几何问题，通过几何知识求解。作图法的优点是直观形象，便于定性分析，也可定性计算。灵活应用作图法会给解题带来很大方便。例9（第21届预赛题）如图1-7所示，B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A是质为mA的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动。碗和杆的质量关系为：mB=2mA。初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。然后从静止开始释放A，A、B便开始运动。设A杆的位置用θ表示，θ为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A与B速度的大小（表示成θ的函数）。解析：由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为vA，B沿水平方向运动，设其速度为vB。若以B为参考系，从B观测，则A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA。杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示。由图1-7得：VA*sinθ=vA，VA*cosθ=vB。因而vB=vA*cotθ，由能量守恒mA*g*R*cosθ=1/2*mA*vA^2+1/2*mB*vB^2，且知mB=2mA，2gR*cosθ=vA^2*sin^2θ/(1+cos^2θ)；vB=cosθ*g*R*cosθ/(1+cos^2θ)。题目描述：给定一个平面连杆结构图，其中AB和CD杆可绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动。已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定。当AB杆绕A轴以恒定的角速度ω转到竖直位置时，BC杆与CD杆都与水平方向成45°角。求此时C点加速度ac的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）。解法：首先分析B点和C点的运动状态。因为B点绕A轴作圆周运动，所以其速度的大小为vB=ωl，向心加速度大小为aB=ω2l，方向沿BA方向。因为C点绕D轴作圆周运动，其速度的大小为vC，方向垂直于杆CD，在考察的时刻，其方向沿杆BC方向。因为BC是刚性杆，所以B点和C点沿BC方向的速度必相等，故vC=vBcos(π/4)=vB/√2=ωl/√2。此时杆CD绕D轴按顺时针方向转动，C点的法向加速度大小为aCn=ω2l/8，方向沿CD方向。因为C点相对B点的运动只能是绕B的转动，所以C点相对B点的速度方向必垂直于杆BC。令vCB表示其速度的大小，根据速度合成公式有vCB=√(vC^2-vB^2)=ωl/2。由于C点绕B作圆周运动，相对B的向心加速度大小为aCB=2ω2l/4=ω2l/2，方向垂直杆CD。由此可得C点沿垂直于杆CD方向的切向加速度大小为aCt=3ω2l/4。综上所述，C点的总加速度大小为ac=√(aCn^2+aCt^2)=√(ω4l2/64+9ω4l2/16)=ω2l√(1/16+9/16)=ω2l√2/2。C点沿CD杆方向的加速度大小为aCn=ωl，沿垂直于杆CD方向的加速度大小为aCt=3ω2l/4。C点沿CD杆方向的加速度方向与CD杆之间的夹角为0°，沿垂直于杆CD方向的加速度方向与CD杆之间的夹角为45°。解法一通过向量法求C点加速度。首先，以固定点A为原点建立直角坐标系，其中Ax轴与AD重合，Ay轴与AD垂直。任意时刻t，连杆的位形如图所示，其中各杆的位置分别用角度θ、φ和α表示，且已知AB=l，BC=2l，CD=2/2l，AD=3l。根据几何关系，得到CDsinα=ABsinθ+BCsinφ和CDcosα+ABcosθ+BCcosφ=3l。同时，根据向量法，可以得到C点的坐标为xC=lcosθ+2lcosφ，yC=lsinθ+2lsinφ。对xC和yC分别关于时间t求一阶导数，得到dxC/dt=-lsinθdθ/dt-2lsinφdφ/dt和dyC/dt=lcosθdθ/dt+2lcosφdφ/dt。再对这两个式子分别关于时间t求一阶导数，得到d2xC/dt2=-lcosθ(dθ/dt)^2-2lcosφ(dφ/dt)^2和d2yC/dt2=lcosθ(dθ/dt)^2+2lcosφ(dφ/dt)^2。根据几何关系CDsinα=sinθ+2sinφ和CDcosα=3l-cosθ-2cosφ，将其平方后相加并化简，得到2sinθsinφ+2cosθcosφ-3cosθ-3cosφ+2=0。对该式关于时间t求一阶导数，代入dθ/dt=ω和dφ/dt=-ω，得到d/dt(2sinθsinφ+2cosθcosφ-3cosθ-3cosφ+2)=0，即该式为常数。将d2xC/dt2和d2yC/dt2以及θ和φ的数值代入上述式子，得到aC=74/2ωl，其中ω=dθ/dt=π/24和l=AD/3。因此，aC的方向与杆CD间的夹角θ=arctan(6)=80.54°。另外，根据图示可知，aC与x轴的夹角β=arctan(d2yC/dt2/d2xC/dt2)=arctan(1.4)。为了训练宇航员在失重状态下工作和生活，需要创造一种失重环境。在地球表面附近，一架飞机可以模拟某些在重力作用下的运动，从而在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态。现在要求一架飞机在速率为v1=500m/s时进入失重状态试验，在速率为v2=1000m/s时退出失重状态试验。重力加速度g=10m/s²。问题如下：(i)在上述给定的速率要求下，该飞机需要模拟什么样的运动，才能在一定范围内任意选择失重时间的长短？试定量讨论影响失重时间长短的因素。(ii)飞机模拟这种运动时，可选择的失重状态的时间范围是多少？解析：当飞机作加速度的大小为重力加速度g，加速度的方向竖直向下的运动时，座舱内的试验者便处于完全失重状态。这种运动可以是飞机模拟无阻力下的自由落体运动或竖直上抛运动，也可以是斜抛运动。当进入试验的速率和退出试验的速率确定后，飞机模拟前两种运动时，失重时间的长短都是一定的、不可选择的。当飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动时，失重时间的长短与抛射角有关，可在一定范围内进行选择。考虑飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动。设开始试验时飞机的初速度大小为v1，方向与水平方向成θ角，起始位置为A点，经做抛物线运动在B点退出试验，如图所示。以t表示试验经历的时间，在退出试验时的速率为v2，则有v2x=v1cosθv2y=v1sinθ−gt由式子(1)、(2)、(3)可得：gt−2v1gtsinθ+v1−v2=2v1sinθ+v1²sin²θ+(v2−v1²)由式子(4)可得：t=g2222由式子(5)可知，当进入试验时飞机的速度v1和退出试验时飞机的速度v2确定以后，失重时间的长短可通过角θ来调节。当θ=90°时失重时间最长，由式子(5)可求得最长失重时间tmax=150s；当θ=−90°时，失重时间最短，由式子(5)可求得最短失重时间tmin=50s。因此，失重时间的调节范围在150s到50s之间。练习1：在飞镖训练中，靶子共有10环，第10环半径为1cm，第9环半径为2cm，以此类推。当人距离靶子5m，以水平速度v投出飞镖，g=10m/s。根据图1-9，以下哪个选项是正确的？A.当v≥50m/s时，飞镖会射中第8环线以内。B.当v=50m/s时，飞镖会射中第6环线上。C.要想击中第10环以内，速度v至少应为505m/s。D.要想击中靶子，速度v至少应为252m/s。练习2：如图1-10所示，直杆长度为L，上端连接一个半径不计的小球A，下端固定在转轴O上。物体B与转轴O在同一水平面上。当球A顺时针转动时，A、B紧密接触。当杆与水平方向夹角为θ时，物体B的水平移动速度为v。此时，球A的角速度是多少？练习3：如图1-11所示，细绳长为l，吊着一个质量为m的铁球。绳子受2mg的拉力会断裂。绳的上端系一个质量不计的环，环套在光滑水平杆上。起初，环带着球一起以速度v向右匀速运动。在A处，环被挡住而停下。此时，绳子所受拉力是多少？在以后的运动过程中，球是先碰墙还是先碰地？已知A处离墙水平距离为l，球离地高度h=2l。练习4：如图1-12所示，质量为m的带电小球静止在绝缘水平面上。某时刻给小球加上某方向上的范围足够大的匀强电场，小球沿着与水平面成30°角的直线飞出。电场力的大小恒为F。再经过3mg，小球经过一段时间t的飞行后，将所加电场方向逆时针旋转120°，撤去电场。小球在重力的作用下落回水平面。试求：1.落回点与出发点相距多远。2.小球的飞行时间。练习5：2007年春节期间，城乡许多家庭为了增添节日的热闹气氛，燃放了不少组合“春雷”花炮。组合“春雷”花炮一般由炮筒、炮体和引线等部分组成。组合“春雷”花炮有16响、25响、36响等不同的组合方式，如图1-13所示为16响“春雷”的示意图。燃放“春雷”的过程一般是先点火，炮体在炮筒中经过一段匀加速运动的过程后，从炮筒口以较大的速度冲向天空，在最高点炸裂，然后落地。已知炮筒的高度h=50cm，炮体在炮筒中的加速度为400m/s²，炮体与炮体间的水平距离为l=8cm，导入炮体的引线长度与炮筒高度相同，引线的燃烧速度为v=2cm/s，不计空气阻力。试求：练习6：为了测量高楼的高度，某人设计了一种实验方案：在一根长为l的绳两端各拴一重球，一人站在楼顶上，手执绳的上端无初速度释放使其自由落下，另一个人在楼下测量两球落地的时间差Δt，即可根据l、Δt、g得出楼的高度（不计空气阻力）。这个方案是正确的，根据自由落体运动的公式，落下的时间只与重力加速度和高度有关，与球的重量和绳的长度无关。从实际测量来看，最大的困难是测量Δt的精确值，因为两球落地的时间差可能很短，需要用很高的精度来测量。如果测得l=10m，Δt=0.4s，g取10m/s²，那么楼的高度约为40m。练习7：当雨伞以角速度ω旋转时，雨滴自边缘甩出落在地面上成一个大圆周。假设这个大圆周的半径为R，那么雨滴的速度在水平方向上是恒定的，为v=Rω。根据圆周运动的公式，雨滴的速度在竖直方向上为vy=gΔt/2，其中Δt为雨滴从离开伞边到落地的时间。由此可以得到R=vy/ω²=hω²/2g，其中h为雨伞高出水平地面的高度。练习8：羚羊从静止开始奔跑，经过50m距离能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持这个速度4.0s。设猎豹距离羚羊xm时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑。（1）猎豹要在其最大速度减速前追到羚羊，x值应在50m到75m之间，即猎豹在50m处开始追击，最远可以追到羚羊在75m处时。（2）猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应在40m到50m之间，即猎豹在40m处开始追击，可以在羚羊开始奔跑后不久就追上它。练习9：为了拍摄重为15000N的汽车从山崖上坠落的情景，电影导演通常用一辆模型汽车代替实际汽车。设模型汽车与实际汽车的大小比例为11/25，那么山崖也必须用的比例来代替真实的山崖。假设电影每1min放映的胶片张数是一定的，为了能把模型汽车坠落的情景放映得恰似拍摄实景一样，以达到以假乱真的视觉效果。在实际拍摄的过程中，电影摄影机每1s拍摄的胶片数应是实景拍摄的25/11倍。练习10：飞机以恒定的速度v沿水平方向飞行，飞行高度为2000m，在飞行过程中释放一炸弹，在30s后飞行员听见炸弹落地的爆炸声。假设此爆炸声向空间各个方向的传播速度都为320m/s，炸弹受到的空气阻力可以忽略，取g=10m/s²。那么炸弹落地的时间为t=30+s，炸弹在落地前一直做自由落体运动，根据自由落体运动的公式，可以得到炸弹的下落距离为h=1/2×g×t²=4500m。因此，炸弹经75s时间落地，该飞机的飞行速度v=600m/s。练习11：如图1-14所示，有一质量为m的小球P与穿过光滑水平板上小孔O的轻绳相连。用手拉着绳子另一端，使小球在水平板上绕O点做半径为a、角速度为ω的匀速圆周运动。求：（1）此时绳上的拉力有多大？（2）若将绳子从此状态迅速放松，后又拉直，使小球绕O做半径为b的匀速圆周运动。从放松到拉直这段过程经历了多长时间？（3）小球做半径为b的匀速圆周运动时，绳子上的拉力又是多少？练习12：如图1-15所示，a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心。已知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000V。在离球心O很远的O'点附近有一质子b，它以Ek=2000eV的动能沿与O'O