2021年广东省江门市高考数学模拟试卷（一模）（解析版）

2021年广东省江门市高考数学模拟试卷(一模)

一、选择题(每小题5分).

1.设全集U={1,2,3,4,5},集合A=[1,2,3},B={2,3,4},则Cu(APB)=()

A.{1,4,5}B.{2,3}C.{5}D.{1}

2.欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位八三角函数cos0

和sine联系在一起，得到公式e枪=cos8+isin0,这个公式被誉为“数学的天桥”，根据

该公式，可得d"=()

A.0B.1C.-1D.i

3.从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位：mm),将所得数据分为9组：[5.31,5.33),

[5.33,5.35),…，[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到频率分布直方图,则在被

抽取的零件中，直径不小于5.43〃所的个数为()

骊本

4.如图，平面四边形ABCQ的顶点都在坐标轴上，直线AB的斜率为慨，直线BC的斜率为

5.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用

85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯

最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1〃而测量一次茶水的温度，根据所得数据做出

如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温

B.y—max+n(m>0,0<a<1)

C.y=max+n(wi>0>a>1)

D.y=wlog(,x+n(nj>0,a>0,aWl)

6.已知点。为△ABC的外心，AB的边长为2,则瓦•同=()

A.-1B.1C.2D.4

7.如图，在长方体48CQ-AIBICQI中，AB=AD=1,AAi=2.M为棱上的一点，当

4M+MC取得最小值时，BiM的长为()

小Di

A.MB.捉C.2yD.276

8.正实数a,6,c满足a+2F=2,〃+3"=3,c+log4c=4,则实数a,6,c之间的大小关系

为()

A.b<a<cB.a<h<cC.a<c<bD.h<c<a

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.从甲袋中摸出一个红球的概率是《，从乙袋中摸出一个红球的概率是《，从两袋各摸出

一个球，下列结论正确的是（）

A.2个球都是红球的概率为!

B.2个球中恰有1个红球的概率为a

C.至少有1个红球的概率为/

D.2个球不都是红球的概率为方

10.已知函数/（x）=（siax+cosx）|sinx-cosx|,下列说法正确的是（）

A./（x）是周期函数

B./（X）在区间［一T夕T，J夕T］上是增函数

L-JT

C.若/（》）1+1/（X2）|=2,贝-（依Z）

D.函数g（x）=/（x）+1在区间［0,2n］上有且仅有1个零点

22

11.已知尸2是双曲线氏号-\=1（。>0,b>0）的左、右焦点，过B作倾斜角

aN

IT

为〒的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点尸，且|PM=|MR|,下列判断正确的是

（）

A.E的渐近线方程为y=±扬

B.\MF2\=

7T

C.E的离心率等于2+正D.ZFiPFi=——

6

12.已知函数/（》）=ex-cosx,xGR,下列判断正确的是（）

A.f（x）在（-2m-旦TT）单调递增

B./（尤）在（-Tt,0）有2个极值点

JT

C./（X）在（-2m--）仅有1个极小值

D.当-4TTWXW-2n时，f（x）W1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.写出一个最大值为4,最小值为-2的周期函数/（X）=

14.已知展开式(2工-1)”=〃()+的工+42%2+…+〃加(〃EN*)中，所有项的二项式系数之和为

64,贝1」小+。2+…+%=.(用数字作答).

15.若数列｛〃〃｝满足递推公式4〃+2=如+1+。〃(〃WN*),且41=42,42020=2021,则⑶+④+恁+…

+。2019=.

16.已知一圆锥纸盒母线长为6,其轴截面为正三角形，在纸盒内放置一个棱长为。的正方

体，若正方体可在纸盒内任意转动，则。的最大值为.

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

TT

17.已知函数/(x)=sinr+sin(x+-^-).

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/(C)=«,sinB=2sinA,

且△ABC的面积为2«,求边c的值.

a-4

18.已知数列｛斯｝满足a”+i=一匚T(〃WN*),且m=4.

an-3

(1)证明：数列｛-^｝是等差数列；

an~2

(2)记瓦=(2-&)(2-丽|),4为｛瓦｝的前〃项和,求T“.

19.如图，四边形4BCQ为菱形，四边形BDE尸为平行四边形，FA=FC,AB=2,ZDAB

=60°.

(1)求证：ACLBF-,

(2)若FB=FD,且二面角E-AF-2为135°,求多面体A8CDEF的体积.

20.2020年新高考数学首次引入了多选题，让数学基础和数学能力在不同层次的考生都有

了发挥的空间，同时更加精确地发挥数学科考试的选拔功能.某校为了解学生对引入多

选题的看法，从高三年级1000名学生(其中物理类600人，历史类400人)中采用分层

抽样的方法抽取100名学生进行调查，得到一个不完整的2X2列联表.

(1)请将下面的2义2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为赞同引入多选题

与选科有关？说明你的理由：

物理类历史类总计

赞同引入多选题25

不赞同引入多选题30

总计

(2)多选题的评分标准是：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的

得5分，有错选的得0分，有漏选的得2分.在一次考试中，命题人对甲、乙两道多选

题分别设置了2个和3个正确选项，假设某位考生在作答这两道题时相互独立，且做甲

题时得2分的概率为三，得5分的概率为《；做乙题时得2分的概率为得5分的概

率为士；设这位考生在作答这两道多选题时的得分和为x,求x的分布列及数学期望.

12

参考公式：殍=受----3领三郭)-..其中n—a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

》公)

ko0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83

21.如图，抛物线C：y2=8x与动圆M：(x-8)(r>0)相交于A,B,C,。四

个不同点.

(1)求r的取值范围；

(2)求四边ABCQ面积S的最大值及相应r的值,

22.已知函数/(x)=ev-iwc2+Cm-2)x-m(/T?ER),f'(x)为f(x)的导函数.

(1)当机=1时，求/(x)的极值；

(2)当x20时，/(x)20恒成立，求机的取值范围.

参考答案

一、选择题(共8小题).

1.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={2,3,4),则Cu(AAB)=()

A.{1,4,5}B.{2,3}C.{5}D.{1}

解：集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4)

所以4nB={1,2,3}C{2,3,4}={2,3}；

Cu(AQB)={1,4,5}；

故选：A.

2.欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位八三角函数cos0

和sin。联系在一起，得到公式融=cos6+isin0,这个公式被誉为“数学的天桥”，根据

该公式，可得"=()

A.0B.IC.-1D.i

解：公式融=cosO+isine,这个公式被誉为“数学的天桥”，

根据该公式，可得dn=cosn+isinn=-1.

故选：C.

3.从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组：[5.31,5.33),

[5.33,5.35),|5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到频率分布直方图，则在被

抽取的零件中，直径不小于5.43〃?〃?的个数为()

骊本

解：由频率分布直方图可知，直径不小于5.43〃访频率为(6.25+5+5)X0.02=0.325,

故在被抽取的零件中，直径不小于5A3mm的个数为0.325X80=26个.

故选：C.

4.如图，平面四边形ABC。的顶点都在坐标轴上，直线AB的斜率为擀，直线的斜率为

91

解：由题意得tan/BAC=—,tan/BC4=—,

32

21

所以则tanZABC=-tan(fiAC+ZBCA)=-°乙—=

.1v2

故选：c.

5.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用

85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯

最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1〃”〃测量一次茶水的温度，根据所得数据做出

如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温

度y随时间x变化的规律（）

A.y=nvc2+n(zn>0)

B.y=max-st-n(/w>0,0<«<1)

C.y=max+n(/n>0,a>1)

D.y=m\ogax+n(m>09«>0,aWl)

解：由题意知茶水温度y随时间x的增大而减小，在[0,+8）上是单调减函数,

所以4co中的函数都不满足题意，只有选项B满足题意.

故选：B.

6.已知点。为△ABC的外心，48的边长为2,则75.而=（）

A.-1B.1C.2D.4

解：•.•点。为△A8C的外心，AB的边长为2,如图：

设AB的中点为。，连接。。，则

•■­AO-AB^（AD+DO）*AB=AD-AB+DO-AB=yAB^0^^2^2,

故选：C.

7.如图，在长方体ABC。-481Goi中，AB=AD=l,A4i=2.M为棱上的一点，当

4M+MC取得最小值时，BiM的长为（）

A.«B.捉C.2</3D.276

解：将侧面C£>nCi绕力。逆时针转90°展开，与侧面4OC1A1共面，如图所示,

连结4C',当4,M,C共线时，4M+MC取得最小值，

由AQ=CQ=1,A4=2,得M为。£>i的中点，

在长方体ABCD-AIBIGDI中，因为54J_平面AOD14,

又4Mu平面A。。山,

则BA_L4M,4M=&,

故B1M=JB[A[2+A[H2="+（&）2=«

故选：A.

8.正实数Zbc满足。+2一"=2,6+3"=3,c+log4c=4,则实数mb,c之间的大小关系

为（）

A.b<a<cB,a<b<cC.a<c<bD,b<c<a

解：C+log4C=4=k）g4c=4-c,

即c为函数y=log4r与y=4-x的图象交点的横坐标;

b+3〃=3=l+3方=4-b,

即b为函数y=l+3x与y=4-x的图象交点的横坐标；

a+2'a=2=2J^=4-a,

2a

即a为函数y=2+劣与y=4-x的图象交点的横坐标;

在同♦坐标系中画出图象，可得bVaVc.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.从甲袋中摸出一个红球的概率是《，从乙袋中摸出一个红球的概率是《，从两袋各摸出

32

一个球，下列结论正确的是()

A.2个球都是红球的概率为！

6

B.2个球中恰有1个红球的概率为£

C.至少有1个红球的概率为1

D.2个球不都是红球的概率为方

解：设从甲袋中摸出一个红球为事件A,从乙袋中摸出一个红球为事件B,

则2个球都是红球的概率为P(AB)=5x《==，故A正确，

236

2个球中恰有1个红球的概率为P(A^)+PX—+—,故8正确，

32322

至少有1个红球的概率为1-P(标)=1故C正确，

2个球不都是红球的概率为P=1-P(AB)故。不正确.

66

故选：ABC.

10.已知函数/(x)=(siar+cosx)|siiu:-COSA*|,下列说法正确的是()

A./(x)是周期函数

B./(%)在区间［-兀夕，兀夕］上是增函数

L-K

C.若If(用)1+1/(X2)1=2,贝lJxi+及="5'一(依Z)

D.函数g(x)=于3+1在区间［0,2汨上有且仅有1个零点

2.2

cosx-sinVx,sinx<Ccosx

解：/(x)(sinx+cosx)|sinx-cosx|=<

・22

sinx-cosVx,sinx^cosx

cos2x,sinx<Ccosx

-cos2x,sinx^cosx

其图象如图:

由图可知，/（x）是周期为2TT的周期函数，故A正确；

/（%）在区间［-2TT,TT上不是单调函数，故B错误；

若|/（X1）\+\f（X2）1=2,由V'（X1）|W1,|/（X2）|W1,

则只有r（Xl）|=|/（X2）1=1,即XI,尤2只能是函数的最值点的横坐标，

可得为+及=塔aez）,故c正确；

2

函数g（x）=/（x）+1的图象是把y=/（x）的图象向上平移1个单位得到的，则在区间

［0,2用上有且仅有2个零点，故。错误.

说法正确的是AC.

故选：AC.

11.已知尸I,尸2是双曲线E：%-4=1（“>0,b>0）的左、右焦点，过Fi作倾斜角

I/

为二丁的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P,且|PM|=|MQ|,下列判断正确的是

（）

A.E的渐近线方程为尸土B.\MF2\=^\PF\\

C.E的离心率等于2+«D.NF\PF2==

6

解：如右图，由|PM=|MFI|,可得M为PF1的中点，又。为尸］凡的中点，

可得OM〃尸B,ZPF2F1=90°,NPFIF2=60。,/尸"=30°,|姐|=/吗，故B

正确，£»正确；

设尸匹|=2c,则|尸m=―%^=4c,|PF2|=2ctan60°=2«c,

cosbO

2c

则2a=|PFi|-\PF2\=(4-2^/3)c,可得e

(4-2正)c

V6+4\/3,

则双曲线的渐近线方程为y=±-x即为y=土找两金.

a

故C正确，A错误.

12.已知函数f(x)=e'-cosx,xGR,下列判断正确的是()

A.f(x)在(-2n,-单调递增

B./⑺在(-n,0)有2个极值点

TT

C./⑴在(-如，--)仅有1个极小值

D.当--2TT时，f(x)W1

解：函数/(x)=ex-cosx,则/(x)=ex+s\rvc,

对于A,当xe(-2m-•)时，/(x)>0,所以f(x)单调递增，故4正确;

对于8,函数/(x)=e'+sinx的零点，即为方程/(x)=0的根，

作出函数)，=-sinx与函数y=d的大致图象，如图所示：

由图象可知，当(-n,0)时，函数了=-sinx与函数有两个交点,

则方程，CO=0有两个实根，所以/(》)在(-n,0)有2个极值点，故B正确;

对于C,由图象可得，函数），=-sinx与函数y=e<在（-2n,-〒）上只有一个交点，

则方程，（x）=0只有一个实数根xo,且在（-2n,xo）上，f（x）>0,/（x）单调

递增，

JT

在（迎，--）上，/（X）<0,f（X）单调递减，所以f（X）在x=xo处取得极大值,

故C错误；

对于£>,当x=-3TT时，/（x）=^-3"+1>1,故£>错误.

故选：AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.写出一个最大值为4,最小值为-2的周期函数/（x）=3sinx+l.

解：先考虑常见的周期函数y=shu,然后根据最大值为4,最小值为2,结合正弦函数

的有界性，

所以符合条件的一个函数/（x）=3sinx+l（答案不唯一）.

故答案为：/（x）=3situ+l（答案不唯一）.

n2n

14.已知展开式（2x-1）=ao+a]X+a2X+--+anx（nGN*）中，所有项的二项式系数之和为

64,则。|+。2+…+。“=0.（用数字作答）.

解：•展开式（2x-1）"=ao+a\x+a^+•••+anxn（/?GN*）中，

所有项的二项式系数之和为2"=64,

令尤=0,可得。0=1,

再令X=1,可得1+。1+。2+…+。6=1,，ai+a2+…+4〃=4|+。2+…+。6=0,

故答案为：0.

15.若数列｛%｝满足递推公式为+2=〃〃+1+%（〃WN*）,且〃1=〃2,02020=2021,则>1+43+45+…

+Q2019=2021.

解：。〃+2=。〃+1+%（nGN*）,且42020=2021,

a\+〃3+〃5+,,•+。2019

=〃2+〃3+〃5+'''+〃2019

=。4+〃5+…+。2019

=4/2018+^2019

=42020=2021,

故答案为：2021.

16.已知一圆锥纸盒母线长为6,其轴截面为正三角形，在纸盒内放置一个棱长为。的正方

体，若正方体可在纸盒内任意转动，则〃的最大值为2.

解：由于正方体可在圆锥内任意转动，故当正方体棱长。最大时，正方体外接球为圆锥

内切球，

设圆心为P,半径为〃轴截面上球与圆锥母线切点为Q,SOLAB,SO平分AB,

由△SA8为正三角形，SA=SB=AB=6,OA=OB=3,

因为PB为NSAB的角平分线，

所以NP8A=30°,PO=O8tan30°=«=r，

由正方体外接球直径与正方体之间的关系可得，2R=^a，

又正方体外接球为圆锥内切球，所以愿a=2r=2j§，故。=2,

所以〃的最大值为2.

故答案为：2.

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

TT

17.已知函数/(x)=sinx+sin(x+-).

3

(1)求/(X)的最小正周期；

(2)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=«,sinB=2sinA,

且△ABC的面积为2«,求边c的值.

解：(1)f(x)=sinx+sin(x+-^-)=sirtr+—siru+^^cosx

322

=«(^^sinx+-^cosx)="\/^sin(A+^-),

226

最小正周期T=T=2TT.

(2)V/(C)=«,AVssin(C+-—)=«,即sin(C+—-)=1,

66

兀

Vce(0,n),:.c=—,

3

由正弦定理知，r■丁=/丁，

sinAsinB

VsinB=2sin>4,:・b=2a,

■:XNBC的面积为2y•浦・sinC,：.ab=S,

••ci--<2,1〃=4,

由余弦定理知，/=〃+〃-2“6・COSC=4+16-2X2X4x1=12,

2

a-

18.已知数列｛为｝满足丽1=>一^(〃eN*),且0=4.

an-3

(1)证明：数列｛-^｝是等差数列；

an-2

(2)记儿=(2-an)(2-z+i),4为｛d｝的前”项和，求耳.

a-4

【解答】(1)证明：•.•a“+i==^r("CN*),且ai=4,

1

..-I-

a-2a2

n+ln--^-2an-2

an~3

又二一=」_=2

a「24-221

；•数歹U｛一^7｝是首项为《，公差为-1的等差数歹!h

an~22

11Q

(2)解：由(1)可得：—7=4-(〃-1)=4

22

=2

=(2n-3)k-l)(熹-袅

T”=2(-1-1+1——+--——--------)=2(-1-----)=————

3352n-32n-l2n-ll-2n

19.如图，四边形ABC。为菱形，四边形BDEF为平行四边形，FA=FC,AB=2,ZDAB

=60°.

(1)求证：ACLBF；

(2)若FB=FD,且二面角E-AF-B为135°,求多面体A8CDEF的体积.

【解答】证明：(1)设AC与交于。点，连接尸。,

•.•四边形A3CZ)为菱形，。为AC的中点，

•：FA=FC,：.AC±OF,

又OFCBD=O,BDEF,

而BFu平面8QEF,J.AC1.BF；

解：(2)连接。凡'：FB=FD,：.OFLBD,

y.AC±OF,HACnBD=O,：.(?F±¥®ABCD,

以。为坐标原点，分别以OA,OB,OF所在直线为无，y,z轴建立空间直角坐标系,

；AB=2,NZMB=60。，；.A(«,0,0),B(0,1,0),。(0,-1,0),

设F(0,0,a)(a>0),再设平面AEP的法向量为n=(x],y],)，

AE=<-V3--2,a),7F=(-00>a)，

n・AE=-J^Xi-2y[+azi=0_

则一一，取为=〃，得二=(a,0,6)，

n*AF=-v3x1+azj=0

设平面ABF的法向量为m=(x2，丫2'z2^,AB=(-A/3»0),

m.知=_聪*2+了2=0

则一

m,AF=-V3x2+az2=0

取X2=a,则%=(a,愿a,百)，

—>—•Iin*nIa+3八

•••|cos<m,n>l=罟*「7Fi--S=|cosl35°|=耳,

Iml-InIV3+aJ,V3+4a^2

即2tz4+3^2-9=0,解得a=^^~(a>0),

2

由(1)知，ACl¥ffiBDEF,。为AC的中点,

:.VABCDEF=VA-BDE计Vc-BDEF=2VA-BDEF-

二S四边形BDEF=|BD|X|0F|=2X-^=^/g»

••VABCDEF=2X”四边形BDEFXIAOl=2x|x^x«=2&.

/.多面体ABCDEF的体积为2&.

20.2020年新高考数学首次引入了多选题，让数学基础和数学能力在不同层次的考生都有

了发挥的空间，同时更加精确地发挥数学科考试的选拔功能.某校为了解学生对引入多

选题的看法，从高三年级1000名学生(其中物理类600人，历史类400人)中采用分层

抽样的方法抽取100名学生进行调查，得到一个不完整的2X2列联表.

(1)请将下面的2X2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为赞同引入多选题

与选科有关？说明你的理由：

物理类历史类总计

赞同引入多选题25

不赞同引入多选题30

总计

(2)多选题的评分标准是：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的

得5分，有错选的得0分，有漏选的得2分.在一次考试中，命题人对甲、乙两道多选

题分别设置了2个和3个正确选项，假设某位考生在作答这两道题时相互独立，且做甲

题时得2分的概率为导，得5分的概率为《；做乙题时得2分的概率为?，得5分的概

364

率为卡；设这位考生在作答这两道多选题时的得分和为X,求X的分布列及数学期望.

参考公式：心=------二目c.)-------------,其中n—a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(烂0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83

解：(1)由题意知，物理类与历史类的人数之比为600：400=3：2,

所以分层抽样抽取的100名学生中，物理类的人数为100x3=60名，历史类人数为40

5

名，

补充完整的2X2列联表如下,

物理类历史类总计

赞同引入多选题302555

不赞同引入多选题301545

总计6040100

所以…嗜蟹5/产—,

故没有90%的把握认为赞同引入多选题与选科有关.

(2)X的所有可能取值为0,2,4,5,7,10,

P(X=0)=(1--9--1)X(1-29-▲1)=1—X1-1

364126636

P(X=2)17

643672

P(X=4)=^2-X—3=—1,

342

P(X=5)U1,ly1,1

6126624

乂

P(X=7)2l+ly313

3126472

P(X=10)=—X

61272

所以X的分布列为

X0245710

P1171131

367252472721

数学期望E(X)=0X—+2X—+4X^-5X^-7X—+10X—=-^-=.49

367222472727212,

21.如图，抛物线C：V=8x与动圆M：(%-8)2+/=^(r>0)相交于A,B,C,。四

个不同点.

(1)求r的取值范围；

(2)求四边ABC。面积S的最大值及相应，•的值,

解：(1)联立