特殊平行四边形典型例题解析题

特殊平行四边形典型例题解析题，设折痕EF与BD交于点O.∵点B与D重合，且ABCD是矩形∴BD是对角线，OB=OD=BC=8cm∵纸片沿EF折叠，∴BO∥EF，OD垂直于EF∴△BOD与折痕EF平行∴BO=DE，OD=BE又∵ABCD是矩形，∴AB=CD=6cm∴AE=BC=8cm∴△AEB与△DEC全等∴DE=AE=8cm∴BO=DE=8cm∴EF=BD-BO=12-8=4cm∴折痕EF的长为4cm.2.如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D是BC上一点，且AD⊥BC，E是AB的中点，F是AC上一点，且EF⊥AC，求证：DE=DF.解：连接AE、CD、DF，作DE的垂线DG.∵E是AB的中点，∴AE=EB=1.5∵∠B=90°，∴AC是△ABC的斜边∴AC=5∵F是AC上一点，且EF⊥AC，∴EF是AC的高线∴EF=FC-EC=AC/2-EB=2∴△EFG与△ABC相似∴EG/AC=GF/BC∴EG=GF×AC/BC=2.4∴DG=DE-EG=1.5-2.4=-0.9又∵AD⊥BC，∴△ABD与△CBD相似∴BD²=AB×BC=12∴CD=BD-BC=2∴DG/CD=AG/AB∴AG=DG×AB/CD=-2.25又∵AF=AC-FC=3∴DF=AF-AD=3-AG-1.5=1.5∴DE=|-0.9|=0.9∴DE+DF=2.4=EF∴DE=DF∴得证：DE=DF.由折叠的意义可知：EF⊥BD，EF平分BD，因此BE=ED，BF=FD。又因为四边形ABCD为矩形，所以AB=CD，AD=BC，∠C=90°，AD∥BC。因此，∠EDO=∠FBO。由于点B和D重合，所以BO=DO，∠BOF=∠DOE，从而△BOF≌△DOE。由ED=BF，可知ED=BF=FD=BE，因此四边形BFDE是菱形。根据菱形面积公式S=×BD×EF=BF×CD，可得S=1/2×8×7.5=30，因此折痕EF的长为7.5cm。当平行四边形ABCD满足条件∠BAC=90°或AC=BD或OA=OB或∠ABC+∠ADC=180°或∠BAD+∠BCD=180°等条件中的任一个时，它成为矩形。例1：在菱形ABCD中，E是AB的中点，求（1）∠AED的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积。分析：由E为AB的中点可知DE是AB的垂直平分线，从而∠AED=90°，由于DE=EA=EB，所以△AED为等边三角形，从而菱形中各角都可以求出。对角线互相垂直，可知AC²=AD²+DC²=2AD²，所以AC=AD√2。由菱形的解（1）连结BD，由于四边形ABCD是菱形，所以BD是AC的垂直平分线，从而AC=2BD，又因为AC=2AD√2，所以BD=AD√2。因此，菱形ABCD的面积为S=BD×AC/2=AD²。例2：在菱形ABCD中，以F为中心作圆，证明四边形AFDE为矩形。分析：要证明四边形AFDE为矩形，可以先证明AF=FD，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论。由菱形的性质可知，AD=DC，∠ADC=120°，∠AFC=60°，所以∠AFD=∠ADC/2=60°，因此△AFD为等边三角形，从而AF=FD。又因为EF=DF，所以△AFE≌△DFE，从而∠AFE=∠DFE，所以∠AFD=∠EFD，因此四边形AFDE为矩形。例3：在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，连结AC，求∠EAF的度数。解答：由四边形ABCD为菱形可知，AC与BD互相垂直平分，因此∠BAD=∠BCD=45°，所以∠EAF=∠BAD+∠BCD=90°。例4：已知四边形ABCD为菱形，AC与BD相交于点O，证明AO=CO。分析：要证明AO=CO，可以利用菱形的性质证明。由于四边形ABCD为菱形，所以AC与BD互相垂直平分，因此OA=OC，即AO=CO。分析：本题需要利用平行四边形和菱形的性质来解决。解：根据平行四边形的性质，对角线互相平分，因此可以得到$\triangleAOC\cong\triangleBOD$，进而得到$AO=BO$，$CO=DO$。同时，根据菱形的性质，对角线互相垂直平分，因此可以得到$OF=OE$。因此，$OF+OE=2OE=29-15=14$，所以$OE=7$。ABCD是一个平行四边形，求它的周长。根据定义，平行四边形的周长等于所有边长的和。因此，ABCD的周长为AB+BC+CD+DA。答案为ABCD的周长=AB+BC+CD+DA。在平行四边形ABCD中，已知AB=10，求周长。根据定义，平行四边形的周长等于所有边长的和。因此，ABCD的周长为AB+BC+CD+DA。由于ABCD是一个平行四边形，所以AB=CD，BC=DA。因此，ABCD的周长为10+BC+CD+10=20+BC+CD。答案为ABCD的周长=20+BC+CD。已知平行四边形ABCD中，DE和DF是两条高，且ABCD的周长为36。从钝角顶点D向AB和BC引两条线段，求这个平行四边形的面积。根据定义，平行四边形的面积等于底边长度乘以高。因此，ABCD的面积为DE×AB或DF×BC。由于DE=DF，AB=CD，BC