（新教材）【人教A版】必修一3.3（数学）

3.3

幂函数1.幂函数的概念函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.【思考】(1)幂函数的解析式有什么特征?提示:①系数为1;②底数x为自变量;③幂指数为常数.(2)幂函数与指数函数解析式的区别是什么?提示:①自变量不同,幂函数的自变量为底数,指数函数的自变量为指数;②底数不同,幂函数的底数是变量x,指数函数的底数是常数a.2.幂函数的图象及性质(1)五个幂函数的图象:(2)幂函数的性质幂函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇幂函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1单调性增x∈(0,+∞)增;x∈(-∞,0)减增增x∈(0,+∞)减;x∈(-∞,0)减公共点都经过点(1,1)【思考】当α>0时,幂函数y=xα的图象在第一象限内有什么共同特征?提示:图象都是从左向右逐渐上升.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)幂函数的图象在四个象限均有可能出现. (

)(2)当α<0时,幂函数在R上是减函数. (

)(3)当α=0时,幂函数的图象是一条直线. (

)提示:(1)×.幂函数的图象不能出现在第四象限.(2)×.当α=-1时,函数y=在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,在R上不是减函数.(3)×.函数y=x0的定义域为{x|x≠0},图象是去除了一个点的直线.2.下列函数为幂函数的是 (

)A.y=x2 B.y=-x2 C.y=2x D.y=2x2【解析】选A.根据幂函数的定义知,y=x2是幂函数,y=-x2不是幂函数,y=2x是指数函数,不是幂函数,y=2x2不是幂函数.3.如果幂函数f(x)=xα的图象经过点,则α=(

)A.-2 B.2 C. D.【解析】选A.幂函数f(x)=xα的图象经过点则3α=,解得α=-2.类型一幂函数的概念【典例】1.已知幂函数f(x)=xa的图象过点,则式子4a的值为 (

)A.1 B.2 C. D.2.已知函数f(x)=(3-m)x2m-5是幂函数,则f=________.

【思维·引】1.代入点的坐标,求出a的值后代入求值.2.根据幂函数解析式的特征求出m,确定解析式后求值.【解析】1.选B.因为幂函数f(x)=xa的图象过点,所以,解得:a=,故4a=2.2.函数f(x)=(3-m)x2m-5是幂函数,则3-m=1,解得m=2,所以f(x)=x-1,所以f(x)=,所以=2.答案:2【内化·悟】若一个函数是幂函数,应怎样设函数的解析式?提示:设函数f(x)=xα(α∈R).【类题·通】求幂函数解析式的依据和常用方法(1)依据:若一个函数为幂函数,则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征,这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.(2)常用方法:设幂函数解析式为f(x)=xα,依据条件求出α.【习练·破】1.若幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在(0,+∞)上单调递增,则实数m= (

)A.4 B.-1 C.2 D.-1或4【解析】选A.幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在(0,+∞)上单调递增,所以m2-3m-3=1,并且m>0,解得m=4.2.已知幂函数f(x)=xa(a为常数)的图象经过点(2,),则f(9)=________.

【解析】设函数f(x)=xa,由题意f(2)=2a=,所以a=,所以f(x)=,所以f(9)==3.答案:3【加练·固】已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+b= (

)A.2 B.1 C. D.0【解析】选A.因为f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,则a+b=2.类型二幂函数的图象及应用【典例】1.如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象,已知n分别取±1,,2四个值,相应的曲线C1,C2,C3,C4对应的n依次为 (

)A.-1,,1,2

B.2,1,,-1C.,-1,2, D.2,,-1,2.已知幂函数f(x)=xk(k为常数,k∈Q),在下列函数图象中,不是函数y=f(x)的图象是 (

)【思维·引】1.根据各个函数的图象特征选取.2.根据幂函数图象所在的象限判断.【解析】1.选B.函数y=x-1在第一象限内单调递减,对应的图象为C4;y=x对应的图象为一条过原点的直线,对应的图象为C2;y=x2对应的图象为抛物线,对应的图象应为C1;y=在第一象限内的图象是C3;所以与曲线C1,C2,C3,C4对应的n依次为2,1,,-1.2.选C.函数f(x)=xk(k为常数,k∈Q)为幂函数,图象不过第四象限,所以C中函数图象不是函数y=f(x)的图象.【内化·悟】在第一象限内,幂函数的图象有什么特征?提示:当α>0时,图象从左向右逐渐上升,随着指数增大,图象上升越快,当α<0时,图象从左向右逐渐下降.【类题·通】解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断.【习练·破】如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc,在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为 (

)A.a>b>c

B.a<b<cC.b<c<a D.a<c<b【解析】选D.由幂函数图象和单调性可知:a<0,b>1,0<c<1.所以a<c<b.类型三利用幂函数的单调性比较大小【典例】已知则 (

)世纪金榜导学号A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【思维·引】先对式子变形,再选取恰当的函数利用单调性比较大小.【解析】选C.因为由幂函数y=的单调性,所以b<c<a.【素养·探】利用幂函数的单调性比较大小时,常用到核心素养中的数学建模,要比较的式子的特征,选取恰当的幂函数模型进行比较.将本例条件改为b=3,试比较三个数的大小?【解析】因为由幂函数y=的单调性,得a<c<b.【类题·通】比较幂值大小的方法比较幂值的大小,关键是构造适当的函数:(1)若指数相同,底数不同,则考虑幂函数;(2)若指数与底数都不同,则考虑借助中间量,这个中间量的底数与所比较数的一个底数相同,指