（新教材）【人教A版】必修一3.1.2.1（数学）

3.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法

函数的表示方法解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系【思考】函数的三种表示方法各自有哪些优缺点?提示:表示方法优点缺点列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示自变量可以一一列出的函数关系图象法能形象直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大表示方法优点缺点解析法(1)简明、全面地概括了变量间的关系,从“数”的方面揭示了函数关系;(2)可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值不够形象、直观,而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)任何一个函数都可以用图象法表示. (

)(2)任何一个函数都可以用解析法表示. (

)(3)函数y=x2的图象向右平移3个单位可得函数y=(x+3)2的图象. (

)(4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线. (

)提示:(1)×.有些函数是不能画出图象的,如f(x)=(2)×.并不是所有的函数都可以用解析式表示.(3)×.函数y=x2的图象向右平移3个单位可得函数y=(x-3)2的图象.(4)×.有些函数的图象不是一条连续不断的曲线,如f(x)=的图象就不是连续的曲线.2.由下表给出函数y=f(x),则f(f(1))等于 (

)x12345y45321A.1

B.2

C.4

D.5【解析】选B.由题表可知,f(1)=4,所以f(f(1))=f(4)=2.3.已知函数f(x+1)=2x+1,则f(x)的解析式是 (

)A.f(x)=2x+1

B.f(x)=2x-1C.f(x)=2x+3

D.f(x)=2x【解析】选B.因为f(x+1)=2x+1=2(x+1)-1,所以f(x)=2x-1. 4.若函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为________,值域为________.

【解析】由f(x)的图象可知,-5≤x≤5,-2≤y≤3.答案:[-5,5]

[-2,3]类型一列表法表示函数【典例】1.给出函数f(x),g(x)如表,则f(g(x))的值域为 (

)x1234f(x)4321x1234g(x)11332.下表表示函数y=f(x),则f(x)>x的整数解的集合是________. 世纪金榜导学号

x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x<20y=f(x)46810【思维·引】1.根据已知表格求出f(g(1)),f(g(2)),f(g(3)),f(g(4))写出值域.2.观察表格明确自变量和函数值的对应关系,函数值大于自变量的自变量的取值集合即为所求.【解析】1.选C.因为f(g(1))=f(1)=4,f(g(2))=f(1)=4,f(g(3))=f(3)=2,f(g(4))=f(3)=2,所以f(g(x))的值域为{4,2}.2.当0<x<5时,f(x)>x的整数解为{1,2,3}.当5≤x<10时,f(x)>x的整数解为{5}.当10≤x<15时,f(x)>x的整数解为∅.当15≤x<20时,f(x)>x的整数解为∅.综上所述,f(x)>x的整数解的集合是{1,2,3,5}.答案:{1,2,3,5}【内化·悟】对于列表法表示的函数,求函数值时应注意什么?提示:应注意认真审题,找到自变量和函数值的对应关系.【类题·通】巧解用列表法表示的函数问题(1)读懂表格,明确自变量每个取值所对应的函数值.(2)用数学符号准确表示,例如本例1中f(1)=4,g(1)=1等.(3)注意分类与整合思想的灵活应用,例如本例2.【习练·破】已知函数f(x),g(x)分别由表给出x123x123f(x)231g(x)321则f(g(1))的值为________;当g(f(x))=2时,x=________.

【解析】f(g(1))=f(3)=1,因为g(f(x))=2,所以f(x)=2,所以x=1.答案:1

1【加练·固】已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其函数对应关系如表:x123f(x)231x123g(x)321则方程g(f(x))=x的解集为________.

【解析】当x=1时,f(x)=2,g(f(x))=2,不符合题意;当x=2时,f(x)=3,g(f(x))=1,不符合题意;当x=3时,f(x)=1,g(f(x))=3,符合题意,综上,方程g(f(x))=x的解集为{3}.答案:{3}类型二函数的图象及应用【典例】1.某同学骑车上学,离开家不久,发现作业本忘家里了,于是返回家找到作业本再上学,为了赶时间快速行驶.如图中横轴表示出发后的时间,纵轴表示离学校的距离,则较符合该同学走法的图象是 (

)2.作出下列函数的图象,并指出其值域: 世纪金榜导学号(1)y=-x+1,x∈Z.(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).(3)y=(-2≤x≤1,且x≠0).【思维·引】1.将该同学上学的过程分为四个时间段,逐段分析离学校的距离与出发后的时间的关系.2.首先明确函数的定义域,其次明确函数图象的形状,体会定义域对图象的控制作用,处理好端点.第(1)小题是分布在一条直线上的孤立的点;第(2)小题,先不受定义域限制作出完整的抛物线,然后再根据定义域截取;第(3)小题,关注x=0时的情况.【解析】1.选D.坐标系中,横轴表示出发后的时间,纵轴表示离学校的距离.据此,将该同学上学的过程分为四个时间段:①第一时间段,该同学从家出发往学校走,随着时间的增长,他到学校的距离越来越小,图象呈现减函数的趋势;②第二时间段,该同学在中途返回家里,随着时间的增长,他到学校的距离越来越大,图象呈现增函数的趋势;③第三时间段,该同学停在家里找作业本,此时他到学校的距离不变,是一个常数,图象呈现水平的线段;④第四时间段,该同学从家出发,急速往学校行驶,随着时间的增长,他到学校的距离越来越小,而且由于他行驶的速度很快,故图象呈现“直线下降”的锐减趋势.由以上分析,可知符合题意的图象是D.2.(1)定义域为Z,所以图象为离散的点.图象如图(1)所示.由图可知y=-x+1,x∈Z的值域为Z.(2)y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5(0≤x<3),定义域不是R,因此图象不是完整的抛物线,而是抛物线的一部分.图象如图(2)所示.由图可知y=2x2-4x-3(0≤x<3)的值域为[-5,3).(3)用描点法可以作出函数的图象如图(3)所示.由图可知y=(-2≤x≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).【内化·悟】画一次函数、二次函数和反比例函数的图象时,应注意什么?提示:(1)明确函数图象的形状,即一次函数的图象是直线、二次函数的图象是抛物线、反比例函数的图象是双曲线.(2)作函数图象时应特别注意:顶点、端点、图象与坐标轴的交点等这些特殊点.(3)作图象时应首先看清函数的定义域.【类题·通】画函数图象的两种常见方法(1)描点法:一般步骤:①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来;②描点——从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点;③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.(2)变换作图法:常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.【发散·拓】关于图象变换的常见结论有哪些?提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.(2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.(3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称.(4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象沿y轴对折而成.(5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉x轴下方的图象而成.【延伸·练】若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=-f(x+1)的图象大致为 (

)【解析】选C.y=f(x)的图象向左平移1个单位,可得函数y=f(x+1)的图象,再作关于x轴对称的图象,可得函数y=-f(x+1)的图象.【习练·破】1.列车从A地出发直达500km外的B地,途中要经过距A地200km的C地,假设列车匀速前进5h后从A地到达B地,则列车与C地之间的距离s关于时间t的函数图象为

(

)【解析】选A.当t=0时,y=200.列车的运行速度为

=100km/h,所以列车到达C地的时间为=2(h),故当t=2时,s=0.2.已知函数f(x)=.(1)把函数f(x)化为f(x)=a+的形式.(2)用平移变换的方法作出函数f(x)的图象,并说明作图过程.(3)若定义域为∪(1,+∞),通过观察图象直接写出函数f(x)的值域.【解析】(1)f(x)===1-=1-.(2)函数y=的图象向右平移个单位得函数y=的图象,再向上平移1个单位得函数y=1-的图象.如图所示:(3)通过观察图象可知,函数f(x)的值域为(-1,1)∪(3,+∞).【加练·固】1.“龟兔赛跑”讲述了这样的一个故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.如果用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下列图形与故事情节相吻合的是 (

)【解题指南】乌龟和兔子所跑的路程相同,乌龟所用的时间短,据此可选出答案.【解析】选B.因为兔子先快、后停、又快,故排除C;又兔子比乌龟晚到达终点,因此排除A,D,故选B.2.作出下列函数的图象.(1)y=x(-2≤x≤2,x∈Z且x≠0).(2)y=-2x2+4x+1(0<x≤3).【解析】(1)由于函数定义域为大于等于-2,小于等于2且不等于0的整数组成的集合,所以函数图象为图中直线y=x上孤立的点.(2)由题意可知,函数的定义域为(0,3],因而这个函数的图象是二次函数y=-2x2+4x+1在(0,3]上的部分.类型三求函数解析式角度1待定系数法求函数解析式【典例】(1)已知f(x)是一次函数,且满足2f(x+3)-f(x-2)=2x+21,求f(x)的解析式.(2)已知f(x)为二次函数,且满足f(0)=1,f(x-1)-f(x)=4x,求f(x)的解析式. 世纪金榜导学号【思维·引】(1)设f(x)=ax+b(a≠0),根据恒成立、对应系数相等列方程组求a,b.(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),利用f(0)=1,求出c,再根据恒成立、对应系数相等列方程组求a,b.【解析】(1)设f(x)=ax+b(a≠0),则2f(x+3)-f(x-2)=2[a(x+3)+b]-[a(x-2)+b]=2ax+6a+2b-ax+2a-b=ax+8a+b=2x+21,所以所以a=2,b=5,所以f(x)=2x+5.(2)因为f(x)为二次函数,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由f(0)=1,得c=1.又因为f(x-1)-f(x)=4x,所以a(x-1)2+b(x-1)+c-(ax2+bx+c)=4x,整理,得-2ax+a-b=4x,求得a=-2,b=-2,所以f(x)=-2x2-2x+1.【素养·探】用待定系数法求函数解析式时,经常利用核心素养中的数学运算,首先设出所求函数的一般形式,然后根据题目条件建立等量关系,最后通过解方程组求出待定系数,从而确定函数解析式.本例(2)条件“f(0)=1,f(x-1)-f(x)=4x”改为“f(1-x)=f(1+x),f(2)=1,f(1)=3,”如何求f(x)?【解析】由f(1-x)=f(1+x)且f(1)=3,可设f(x)=a(x-1)2+3(a≠0),又因为f(2)=a(2-1)2+3=1,故a=-2,所以f(x)=-2x2+4x+1.角度2换元法(或配凑法)求函数解析式【典例】已知f(+1)=x-2,求f(x).【思维·引】采用换元法或配凑法求解.【解析】方法一:令t=+1,则t≥1,x=(t-1)2,代入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,则f(x)=x2-4x+3(x≥1).方法二:f(+1)=x+2+1-4-4+3=(+1)2-4(+1)+3,因为+1≥1,所以f(x)=x2-4x+3(x≥1).角度3方程组法求函数解析式【典例】已知函数y=f(x)满足f(x)=2f+3x,则f(x)的解析式为______________. 世纪金榜导学号

【思维·引】分析已知等式的特点,用代换等式中的x,构建关于f(x)和f的方程组解方程组求出f(x).【解析】由题意知函数y=f(x)满足f(x)=2f+3x,即f(x)-2f=3x,用代换等式中的x,可得f-2f(x)=,联立得,解得f(x)=-x-(x≠0).答案:f(x)=-x-(x≠0)【类题·通】函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)解方程组法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).【习练·破】1.已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和,且f(2)=3,f(1)=3,则f(x)=_____