普通物理学习题1-5答案

习题11-1P点相对于原点的位矢r2i6jm,P点到42jm,riQ点的位移p求Q点相对于原点的位矢并画图.解：设Q点相对与原点的位矢为，则：rQ1-2一质点作直线运动，它的运动方程是xbtct2,b,c是常数.(1)求此质速度和加速度函数；(2)作出xt，t和at图点的解：这是一个一维的问题.dx(2ctb速度，)dtddta加速度2c.图略.1-3物体按照x4.9t2的规律运动，1s到1.1s,1s到1.01s,1s到1.001s;(2)求1s末的瞬时x的单位为米，t的单位为秒.(1)计算下列各时间段内的平均速度：速度；(3)解释上述结果解：这也是一个一维的问题.xt(1)平均速度.x4.91.124.912＝10.29（m/s）,1s到1.1s内：t1.11x4.91.0124.912＝9.849（m/s）,1s到1.01s内：t1.011x4.91.00124.912＝9.8049（m/s）.1s到1.001s内：t1.0011dx9.8t.dt(2)速度1-4一质点以10ms1的恒定速率向东运动.当它刚到达距出发点为d的一点时，立即以20ms1的恒定速率返回原.:处问质点在全过程中的平均速度和平均速率为多少？解：取出发点为原点，向东为x轴正方向.从原点到x＝d处，作匀速直线运s＝d/10.t1动，时间1从x＝d处返回原点作匀速直线运动，时间ts＝d/20(22stttdd全过程中，平均速率13.3（m/s）12x＝0，平均速度t＝0.x返回原处时，位移1－5矿井里的升降机由井底从静止开始匀加速上升，经过3s速度达到3ms1，然后以这个速度匀速上升6s，最后减速上升经过3s后到达井口时刚好.(1)求矿井深度；(2)作出xt，t和at图.1）以井底为原点，向上为x轴正向在0—3s内，升降机作匀加速直线运动停止解：（.:xt1at(1)2210122ax.(2)21011其中0.由（1）、（2）两式得：＝4.5(m).x10在3—9s内，升降机以＝3m/s作匀加速直线运动,1xt＝18（m/s）(3)21在9—12s内，升降机作匀减速直线运动xt1at(4)2231222ax,(5)22123其中0.由（4）和（5）两式得x＝4.5(m)23矿井深度Hxxx＝4.5＋18＋4.5＝27(m).1231-6湖中有一小船，岸上有人用一根跨过定滑轮的绳子拉船靠岸。若人以匀速拉绳，船运动的速度为多少？设滑轮距水面高度为h，滑轮到船初位置的绳长为l.0解：取滑轮下水面为原点，向右为正，任意t时刻，斜边即船到滑轮的长度为lt,则船相对岸的位置为0xlth2,20dxh)2.船运动的速度为－/1(dtlt01-7如图1-7所示,一身高h的人用绳子拉着雪撬匀速奔跑,雪撬在距地面高度为H的平台上无摩擦地滑行.若人的速度为,求雪撬的速度和加速度.0解：取定滑轮为原点，向右为正.t＝0时，雪橇到定滑轮原长l，人在滑轮0正下方.任意时刻t，雪橇位置为x，速度为，有xlHht2,200dxdt2t＝,00（Hh）2＋（t）2ad＝(Hh).20dt[（Hh）2＋（t）2]301-8一火箭以20m/s的常速度从距地面高度为50m的悬崖边上垂直向上起飞,7s后燃料耗尽.求从发射到火箭落地的时间.解：以悬崖边为原点，向上为正.火箭先以＝20m/s向上作匀速直线运动，0yt＝20×7＝140(m).107s时,其位置为然后作匀加速运动,t时刻其位置为yyt1gt2.0221到落地时应有于是得－50＝140＋20t－5t2.t＝15.6s.1-9两个物体A和B同时从同一位置出发同向运动,物体A做速度为10m/s的匀速直线运动,物体B做初速度为零的匀加速直线运动,加速度为1m/s2.(1)当物体B追上物体A时,他们距离出发位置多远?(2)此前,他们什么时候相距最远?解：(1)A作匀速直线运动:xAt,A(1)(2)(3)xt1at21at2.B作匀加速直线运动当B追上A时，由(1),(2),(3)可得：22B0xx.A2aBtA20s,xx200m.AB1.sxxtatA（2）两者相距22AB令上式对t的导为数0,得t＝10s,此时，它们相距最远:s＝50m.max1-10一电梯以加速度1.22m/s2上升.当电梯速度为2.44m/s时,一个螺丝从电梯天花板落下,天花板到地板的高度为2.74m.求螺丝从天花板落到地板的时间和它相对电梯外柱子的位移.解：取螺钉脱离时开始计时,取此时的电梯顶为原点，向上为正，电梯向上作匀加速运动:xxt1at2,(1)(2)2100螺钉向上作匀减速运动:x2t1gt2,20螺钉落到电梯地板上时,由(1),(2),(3)可得：xx.(3)12t＝0.705s,x＝0.717m.21-11一质点以初速率和相对地面为的仰角斜上抛出.忽略空气阻力,试0h2sin2/2g,而0证明质点到达最高位置的时间和高度分别为tsin/g,0水平最大位移为R02sin2/g.证明：质点以初速率和相对地面为的仰角斜上抛出，可将质点运动分解0为水平方向匀速直线运动和垂直方向匀加速直线运动.以起抛点为原点，向上为y轴正向,则有xcost,(1)01ysintgt2,(2)20singt.(3)y0当质点到达最高位置时，0,由(3)得ytsin/g.0h2sin2/2g.将上式代入(2)，可得质点回到地面时,0y＝0.(4)由(1),(2),(4)可得水平最大位移X2sin2g/.01-12一小球以相对地面为的仰角斜上抛出.小球在最高位置的速度为12.25m/s,落地点到抛出点的距离为38.2m.忽略空气阻力,求小球的初速率和达到的最大高度.解：同上题，小球在最高位置速度为：cost＝12.25m/s,(1)0落地点到抛出点距离：X2sin2g/＝38.2m/s,(2)(3)0h2sin2/2g0最大高度：,＝5117,h＝由(1),(2),(3)可得＝19.6ms111.9m.'01-13一小球以10m/s的初速率从距地面高度为50m的悬崖边上水平抛出.求:(1)小球落地时飞行的时间;(2)落地位置;(3)小球飞行中任意时刻的速度.解：可将质点运动分解为水平方向匀速直线运动和垂直方向匀加速直线运动.以抛出点为原点，向上为y轴正向,则有xt,(1)(2)(3)0y12gt2,gt.y小球落地时y＝-50m，带入（2）式，可得小球飞行时间t＝3.19s.落地位置xt＝＝31.9m,0任意时刻小球的飞行速度10096,t2arcot0.9.t8速度的方向角1-14一列火车以70km/h的速率奔跑,车上一个信号灯挂在距地4.9m的位置,当灯过地下.(1)当灯落地时,求灯与车之间的距离.(2)求灯相对车和相对地的运动轨迹.，车行进方向为x轴正向，y轴向上为正面高度为面某处时开始落以及灯的落地点与开始下落处的距离解：设该地为原点(1)灯相对于车在水平方向无位移，灯与车之间的距离为0;相对于地，灯在垂直方向作自由落体运动，水平方向作匀速直线运动:xt,y1gt2,(1)(2)2落地时，取y＝0，由上两式得x＝20m.从上两式中消去t，得到运动轨迹:y4.90.x022.(2)灯相对于车作自由落体运动:yy1g2t.(3)201-15地面上一根旗杆高20.0m,中午时太阳正位于旗杆上方.下午2点时?什么时候旗杆影子的长度等于20.0m?Hx旗杆影子的运动速度多大解：设旗杆和旗杆影子的长度分别为和,则有xHtg,dx而旗杆影子的运动速度为H,dtco2s所以,下午2点时旗杆影子的运动速度是0.72710cos2/641.939103m/s.HHcos2t3点钟(15时).令和相等,则Hx1-16一质点的加速度为64aijm/s,t0时质点速度等于零,位矢为2r10im.求:(1)质点在任意时刻的速度和位矢.(2)质点平面内的轨迹在xy0方程并画出轨迹示意图.解：（1）t＝0时，0，r10im00由add2r得dtdt2(6t0＝d+＝d＝+4)ms-1itjttatatt0t0103t2)i+2t2jr=tvdt+r0=t0tit2j(2)由r=103)+22得x＝103t2)；y＝2t2，消去t得到轨迹方程:3y2x20.1-17一质点的运动方程(SI)为x10t30t2,y15t20t2,求:(1)质点初速度的大小和方向;(2)质点加速度的大小和方向.dt=ddxtidtdyj(－10+60t)i(15－40t)dr解（1）j,质点初速度,ms|＝－10i＋15jt0＝-1大小18.03ms1，方向角(与x轴夹角)arctg（-2/3）=12341'.dd（2）a=j＝60i–40j,dtxi+dty,大小a＝72.11ms2与x轴夹角：arctg（a/a）＝arctg（-3/2）=5618'.xy1-18小球以30m/s的初速率水平抛出.求小球抛出后5s时的切向加速度和法向加速度.1gt2j30ti1gt2j,解：小球的运动方程r=ti220dr302gt230gtj,i＝＝dtadg＝jdtgt2d当t5s时,a＝＝＝8.4m/s2,900g2t2dtta＝a2a2＝5.1m/s2.nt1-19一人在静水水流速度为0.55m/s的河.(1)如果他想到达正对岸的位置,应对准什么方向划船?渡河时间多长?(2)如果他想尽快渡河,应对准什么方向划船?沿河方向移是多少?中的划船速度为1.1m/s,他现在想划船渡过一宽为4000m,上的位解：设静水中的划船速度为1.1m/s,水流速度为u0.55m/s,河宽为0l4000m.（1）如果他想到达正对岸的位置,应对准的方向为偏向上游,角度为0uarcsin130,arcsin2lt4.19731s0渡河时间1h.17cos0(2)如果他想尽快渡河,方向为0,沿河方向上的位移为sut2002m.1-20一条船沿着平行于海岸的直线航行,到海岸的距离为D,航速为.为拦1截这条船,一快艇以速率从港C2口A驶出,如图所示.已知.D12(1)试证快艇必须在船到达距离港D22;x,口为处之前开出xxA122(2)若快艇尽可能晚开出间拦截到这条船?解：（1）由A点做直线AB垂直于AC,则,它在什么题1-20图位置和什么时xt222,.1Dt2xD222所以12lDt1,（2）由于1t22222211D而lt,所以t,1222221Dl则.121221-21一架飞机从甲地向南飞到乙地又返回甲地,空气相对地面的速率为u,甲乙两地的距离为.若飞机l相对空气的速率为,且飞机相对空气的速率保持不变,试证明:2l(1)若空气静止,即0,则飞机往返时间为;ut0t,则飞机往返时间为;t01u2(2)若刮北风12t(3)若刮西风,则飞机往返时间为t20u2121）飞机相对空气的速率为,空气相对地面的速率为。空气静止,即u证：（u0，这飞机相对地面的速率为,飞机往返时间为2lt.0（2）x轴向东，y轴向北建立坐标系。若刮北风，空气相对地面的速度为牵连速度为－，飞机从甲地向南飞到乙地时，飞机相对于大地的速度为uu；又返回甲地飞机相对于大地的速度为u，飞机往返时间机地机地llut为t10u2u12（3）若刮西风，方向沿y轴，则飞机相对空气的速率在直角三角形斜机地2u边上，＝机地2,2lt飞机往返时间为=.t02u22u212习题22-1如图所示,水平桌面上有两个紧靠着的物体,水平力作用在左边物F.已知2.0kg，mm1.0kg，F=15N，两物体与体上,试求两物体间的作用力12桌面的摩擦系数为0.20.A确FB题2-1图题2-3图解：设两物体间的作用力大小为，由牛顿第二定律F12FFmgm,a(1)1211Fmgma,(2)1222消去a，得2-2一质量50kg的货物，系数为0.20.要使货物以5.0ms-2的加速度沿斜面上=5N.F12放在与水平面成30的斜面上，货物与斜面的摩擦升，需用多大的水平推力？解：设水平推力为F，＝30，＝0.2，在斜面方向上以向上为正,则有F669.N5.解得2-3如图所示，0.20kg，物体A与斜面的摩擦系数为0.40.求两物体.绳与质量均略去不计.运动时的加速度a，绳对物体的T，假定B往下运动，一个斜面与水平面的夹角为30，A和B两物体的质量都是运动时的加速度，以及绳对物体的拉力滑轮之间的摩擦力以及绳与滑轮的解：设两物体拉力为Tmgsinmgcos,ma则有(1)mgTm.a(2)由(1),(2)式得a＝0.753(ms2)，T=1.81N.2-4一木块能在与水平面成角的斜面上以匀速滑下.若使它以速率沿0向上滑动,试证明它沿该斜面向上滑动的距离为/4gsin.0此斜面证：木块能在与水平面成角的斜面上以匀速滑下，有mgsinmgcos0,(1)若使它以速率沿此斜面向上滑动，有0mgcosmgsinm,a(2)(3)22aS,210S0/4gsin.而0,于是得12-5如图所示，将质量为10kg的小球挂在倾角300光滑斜面上.问:(1)当斜面以ag/3的加速度水平向右运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力(2)当斜面的加速度至少多大时，小球对斜面的正压力为零为多大？.ag解：（1）设绳中的张力T，小球对斜面的正压力为N，/3，将小球受力分解在水平和垂直方向上,则有TcosNsinma（1）MgTsinNcos.0（2）联立上两式,解得T77.N,3N68.5N.（2）同上，在（2）两式中取N＝0，可解得1），（a17.0m22-6如图所示，在水平桌面的一端固定着一只轻定滑轮.s.一根细绳跨过定滑B上.设物轮系在质量为1.0kg的物体A上，另一端系在质量为0.50kg的物体体A与桌面间的摩擦系数为0.20,求物体A、B的加速度.绳与滑轮间的摩擦力均略去不计.以及绳与滑轮的质量A题2-5图题2-6图解：设物体A、B的加速度.为a，绳中的张力T，有aTmgma,（1）B（2）aamgTma.bb可解得a＝1.96ms22-7如图所示，一根细绳跨过一光滑的定滑轮，mmmm.绳两端分别悬挂着质量为和的物体，>.1212求物体的加速度及绳对物体的拉力.绳与滑轮间的摩擦力可以略去不计，绳不伸长，滑轮和绳的质量也可略去不计.解：设物加速度.为a，绳对物体的拉力为T，有mgTma.（1）（2）11Tmgma22mm可解得：a＝1g,2m1m2mm122mmmm1T＝g.题2-7图122乙h题2-8图题2-9甲图2-8如图所示,重量为Q和Q的两物体用跨过定滑轮的细绳连接，Q>Q.1212如开始时两物体的高度差为h，求由静止释放后，两物体达到相同高度所需的时间.不计滑轮和绳的质量及摩擦.为a，绳对物体的拉力为.解：设物加速度T，两物体达到相同高度所需的时mgTma.间为t，有（1）（2）11Tmgma22两物体达到相同高度时Q下降高度为1h1at,（3）222(mm)ht＝于是得.12(mm)g122-9有两块混凝土预制板块放在木板上，甲块质量200kg,乙块质量100kg.空.试求在下木板被起重机吊起送到高述两种情况中，木板所受的压力及乙块对甲块的作用力：(1)匀速上升；(2)以1ms2的加速度上升.解：（1）设木板所N，乙块对受的压力为甲块的作用力121F，m=200kg，m2,有NmgF0,＝100kg.木板匀速上升时(1)112Fmg0.(2)122可得：F＝980N,N＝2.98103N12.（2）木板以a＝1ms的加速度上升时则有,2NmgFma,(3)(4)1121Fmgma.1222可得F＝1.08103N;123.2410NN＝32-10一质量为60kg的人乘电梯上楼.电梯先以0.40ms的加速度上升,速2率达到1.0ms后匀速上升.试求在上述两过程中，人对电梯地板的作用力.1解：（1）设人对电梯地板的作用力N，电梯先以0.40ms的加速度上升则,2Nmgm,a有则Nmgm＝a612N.（2）速率达到1.0ms后匀速上升则,1Nmg0,Nmg＝588N.2-11半径为R的半球形碗内有一粒质量为m的小钢球.若小钢球以角速度在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？解：设距碗底有高h，则小钢球圆周运动的半径为r＝R2(Rh)2，小球受力重力mg，和指向碗中心的压力N，则有Ncosmg0,（1）2,Ncosmr（2）（3）sinrR/.g可解得：h＝R.22-12一根柔软而均匀的链条，长为l，单位长度的质量为.将此链条跨过xl.现一无摩擦的轻而小的定滑轮，一边的长度为(/2)，另一边的长度为lx将链条由静止释放，试证明链条的加速度为a2xlg.l证：以一边的长度为链条为研究对象，分析受力，任意时刻下垂部分长为x，质量x，另lx，质量(l－x)，则有T－xg＝xa,(1)(l－x)－T=(l－x)a.(2)可解得:al2xg.l2-13气球及载荷的总质量为m，以加速度a向上升，问气球的载荷增加多少，才能使它以相同的加速度向下降落.解：气球及载荷系统受到向上升力T和重力T－mg＝ma.X，它以相同的加速度向下降落（X＋m）g－T＝（X＋m）a.（2）（1）载荷增加消去T，可得：agaX=2m.2-14长为l的细绳一端系一质量为m的小球,使小球从悬挂着的位置以初速度为0在铅直平面内绕细绳的另一端开始作圆周运动.用牛顿定律求小球在任意位置时的解：取小球为对象，设任意位置时的线速度为，小球受重力和绳的张力T，线速度和绳的张力（不计空气阻力）线与垂直方向夹角为，，根据牛顿定律，有mgsin＝md,（1）（2）切向：法向：dtNmgcosm.r2对（2）求导数，得2mdddtrdtdNdtmgsin.（3）dgsin.由（1）得（4）（5）dtrd.dt又由（4），（5）得小球在任意位置时的线速度v22lg(cos.1)0将（4）与.(5)代入（3），再积分可得张力N=m(022g3gcos).l.AOBrC2-15一质量为的A点，ADCB下滑.试求小球弧表面的m的小球然后沿半径为r的光滑圆弧的内表面最初位于如图所示过C点的角速度和对圆D作用力.题2-15图解：取小球为对象，设任意位置时的线速度为，小球受重力和绳的张力T，线与垂直方向夹角为，，根据牛顿定律，有切向：法向：mgsin＝md,（1）（2）dtNmgcosm.r2对（2）求导数，2mddNdmgsin.（3）（4）（5）dtdtrdtdgsin.由（1）得dtd又r,dt由（4），（5）得小球在任意位置时的线速度22lg(cos1).02gsin角速度.rr将（4）与.(5)代入（3），再积分可得圆弧表面的对小球作用力N=3mgsin.2-16质量为m的物体以初速度沿水平方向抛出.试求在任意时刻作用在0物体上的切向力和法向力.取物体为对象，设任意位置时的线速度为，小球受重力和碗的支持力解：T，根据牛顿定律，小球的运动方程为ti1gt2j,0r=2dr＝＝igtj,dt02gt2.0ad＝gjdtgtd2a＝＝2,(1)dtg2t2t0(g2t)2aa2a2＝g2.(2)(gt)2v20n由牛顿第二定律：mgFma＝,1(0)2gtmgFma.gtnn1()202-17一质量为10kg的质点在力F=120t+40（N）作用下沿x轴作直线运动.在t=0时，质点位于x5.0m,初速度6.0m/s.求质点在任意时刻的速度和00位置.解：由F＝md（1）（2）（3）dt得又60t40t6t24t6.20dx.dtt(6t+4t+6)dt.dxdttx2x000得：x＝2t2t26t5.（4）3，倾角为.一个质量为m的物体2-18如图所示，一斜面的底边长l2.1m0.14.问：倾角多大时物体从斜从斜面顶端由静止开始下滑，摩擦系数为面顶端滑到底端的时间最短，这个时间是多少？解：沿斜面方向有mgsin－mgcos＝md.（1）dt积分,得＝（gsin－gcos）t.mdx又,（2）dt12gsingcos2t.（3）积分得xlcos＝l；sin＝xl.（4）22题2-18图xx将（4）代入（3），整理可得当＝49时，t取最小值t＝0.99s.2-19一质量为m的物体，最初静止于x处.在力Fk的作用下沿直线运x202k11动，试证它在x处的速度为().mxx0F＝md,dt证：由于有mdxdt=d,Fkdxmx2d即.kdx.xd积分即,得mx2x002k11().mxx02-20初速度为、质量为m的物体在水平面内运动，所受阻力的大小正比0于质点速率的平方根，求物体从开始运动到停止所需的时间.解：阻力F＝－k,则有d－k＝m,dtmd.即dt＝km1d积分:kvtdt.v00可得t＝2m0.k2-21作用在质量为m的物体上的合力是FFkt，其中F和k都是恒00量，t是时间，求物体的加速度，并用积分法求出速度和位置方程.已知t0时，000，x0.0dF=m,dt解：由d0dtmmFk得t.(t)Ftkt2.积分得0m2mdtFk0t2t3.2m6mt,得x(t)对上式积分02-22质量m45.0kg的物体以初速度=60.0m/s由地面竖直上抛，空气阻0,0.03N/m/s力Fkk.求物体上升的最大高度和所用的时间.解：取向上为正方向,有mdmgk,(1)dtdmgmkdt,分离变量，得(2)kmktmg.k积分,得(g)em(3)k0令0，得上升到最大高度所用的时间:t6.11s.由(3)式可得最大高度mkktmg)emtt(0Hdtgdt183m.k002-23质量为m的物体以初速度由地面竖直上抛，空气阻力Fkm2,k是0常数.求：物体上升的最大高度和回到地面所用的时间.同上题，向上为正,有解：（1）上升段：＝md,－mg－km（1）2dtdgk2dt得（2）0,可得上升到最大高度所用的时间:令d1k0kgarctg0t1.gkg20dy又,（3）dt将（2）代入上式积分,得物体上升的最大高度dgk2.0HH21kln00dydtgk20g00dm,dt（2）下降时有mgkm2dgk2即dt.（5）（6）d1kgk积分,得下降时间t2gk2ln.kgk2kg00dy.dyd2g又,由（5）得kdt0H得落地时速度（7）01k20g将（7）代入（6）可得下降时间:k0.gk21t2ln0gkk2kg200最后,得回到地面所用的时间0gk2k1k10tttarctgln.00kgg2gk2k0122-24一个半径为R的圆环固定在水平桌面上，一个物体紧贴着圆环内表面运动，滑动摩擦系数为.若物体初速率为，问：(1)t时刻物体速率是多少?(2)0什么时候物体速率等于0?此时的路程是多少?2解：(1)设物体质量为m，取桌面为参考系，根据牛顿定律，有切向：法向：fNmamd,（1）（2）dttNmR,2d2R,由上两式得即dtddt.2Rdt积分,得dt,R200R即0（3）（4）Rt0R（2）将代入（3），得t＝020ds所以stdt.ds又dt00R积分,得路程sln2（5）挡板的距离为l2m，与前面a7.0m/s2,箱子碰到2-25一个箱子静止在行驶的卡车上，箱子到车之间的摩擦系数为0.5若刹车时.车的加速度为挡板时相对车的速度是多少?解：刹车时箱子受到的摩擦力的大小为fmg,因此,刹车时箱子相对于车的加速度为aafag2.1m/s2.m注意到箱子相对于车的初速度为零,则箱子相对于车的的位移122al1,at22所以,箱子碰到挡板时相对车的速度为2al2.9m/.s2-26一个电梯以加速度由地面开始上升，两个质量为和的物体用一mma12根细绳连着跨过固定在电梯天花板上的一个定滑轮，>.忽略滑轮质量及其mm12与细绳之间的摩擦，求两个物体相对于地的加速度和绳子的张力.解：设绳子的张力为T，两个物体相对于地的加速度大小为和,则有aa12两个物体所受惯性力的大小,是物体相对于电梯的加a其中的和mama分别是12a(mm)(ag)..(1)(2),得速度的大小12mm12aaa,于是,两个物体相注意到对于,maaaaa();对于,m11122对于地的加速度为(mm)g2ma,aaa12mm1221(mm)g2ma.(aa)a12mm1212张力T2mm(ag).(1)(2)得绳子的12mm12习题33-1已知地面上的石块质量为20kg，用力推石块，力的方向平行于地面.当石块运动时，推力随位移的增加而线性增加，即F6x（SI）.试求石块由x16m1移动到作的功.x20m的过程中推力所2Fds206xdx=3(202162)432(J).解：AbFa163-2如图所示，一细绳跨过无摩擦的定滑轮，系在质量为1.0kg的物体上，起初物体静止在无磨擦的水平面上.若用5.0N的恒力拉绳索的另一端，使物5N1m体向右作加速运动,当系在物体上的绳3037索从与水平面成30角变为37角时，力题3-2图对物体作多少功？已知滑轮与水平面的距离为1m.解：,有dxHcsc2d,xHctgA123730csc2sin1.69(J).dFds2fcos(Hcsc)d=HfbFa3-3一物体按规律xct作直线运动.设媒质对物体的阻力正比于速度的3平方,试求物体由x0运动到xl时阻力所作的功,已知阻力系数为K.0dx解：由题意，3ct2，（1）dt24阻力fK29Kc3x（2）3阻力作功AfdxKl27272dx=KC3l3.x7fx003-4一根质量为m、长为l的柔软链条，4/5长度在光滑桌面上，其余1/5自由悬挂在桌子边缘.试证将此链条悬挂部分拉回桌面至少需要作功mgl/50.解：将此链条悬挂部分拉回桌面至少要作的功为xdx1mgl.l/5mglA5003-5电子质量为9.11028g,速率为310ms-1.问：电子的动能是多少？电7子从静止到获得这样大的动能需要对它作多少功？1解：电子的动能2m获得这样大的动能需要对它作的功等于电子动能的增量4.1010J,162电子从静止到AE4.101016J.k3-6一质量为0.20kg的球，系在长为2m的绳索上，绳索的另一端系在天花板上.把小球移开，使绳索与铅直方向成30角，然后从静止放开.求:(1)在绳o索从30角到0角的过程中，重力和张力所作的功.(2)物体在最低位置时的动能.(3)在最低位置时绳子上的拉力(1)张力始终与运动方向垂直,不作功和速率.解：.重力作功为AmgR1cos30＝0.525J.(2)以最低处为势能零点，在整个过程中只有重力作功，机械能守恒，1最低位置时的动能Em20.525J,k22Ek=2.29（m/s）.m因此,速率(3)设在最低位置时绳子上的拉力为T,则有2Tmgm,R2于是得Tmgm=5.42N.R3-7一乒乓球自高于桌面70cm处自由下落，质量为2.5g，试计算在此过程中即为重力势能的增量:落至桌面后又跳起50cm高，如果球的它损失的机械能.解：在此过程中它损失的机械能Emg(hh)4.90103J.213-8弹性系数为100Nm1的弹簧垂直地放在地板上，一个25g的物体放在.若把弹簧压缩5.0cm然后物体从弹簧的顶端，但没有系在弹簧上静止被释放出来,问此物体抛出的高度比原弹簧高多少？解：设物体放在弹簧顶端时弹簧被向下压缩了y且静止,则有0kymg,0mg即y02.451m0.3k取物体从静止被释放时的位置为重力势能的零点.物体弹起的过程中只有保守力作功，机械能守恒.设物体高度比原弹簧高h,则有抛出的12,2mghyykyy00h1k1kyyy1yy1yy0.51m.2mg即2mg0003-9设两个粒子之间的相互作用力是排斥力,大小是Fk/r2,k为常数.设试求两粒子相互作用的势能函数.力为零的地方，势能为零，解法1:设两粒子相互作用的势能函数为V(r).显而易见,,在r处力为零故令V()0.根据教材第40页的公式(3-3-8)式,取参考点势能V()0,则V(r)＝Fdrkdrr2k.rrr解法2：由于FdV,dr得V()V(r)dVFdr.rrr注意下面的写法是错误的由于V()0,得V(r)＝Fdrkdrr2k.rr:kdrk.rV(r)＝rFdrr0r203-10如果一物体从高为h处静止下落.试以(1)时间为自变量，(2)高度为自变量，画出它的动能和势能图线.并证明两曲线中动能和势能之和相等.解：(1)以时间为自变量.物体下落过程中速率为gt,高度为yh1gt2,211故动能E(t)2m＝2mg2t2,2k势能E(t)mgy＝mgh－12mg2t2,p动能和势能之和为E(t)Et()mgh.kp1得22g(hy),则动能yhgt2(2)以高度为自变量.由21E(t)mmg(h,)yk22势能E(t)mgy,p动能和势能之和为E(t)Et()mgh.kp显然两曲线中动能和势能之和均为mgh.3-11设质点在力F4i3j（N）的作用下，由原点运动到(1)如果质点是问力作多少功？(2)如果质点沿x轴从原点运动到x=8m、y=0处，然y轴的路径运动到终了位及总功为多少？(3)如果质点先沿y轴运动到x轴的说明这个力是保守力还是非保守力？x=8m、y=6m处.沿直线从原点运动到终了位置，先后再沿平行于置，问力在每段路程上所作的功以x=0、y=6m处，然后再沿平行于路径运动到终了位置，问力在每段路程上所作的功以及总功为多少？比较上述结果，解：(1)r＝xi＋yj＝xi＋43xj,Ar2Fdr＝50J.r1FdrFdr2(2)A＝A1+A2＝+xy2x1y1(4i3j)jdy6＝8(4i3j)idx＋00＝4dx＋863dy00＝32J＋18J＝50J.x2FdrFdr(3)A＝A1+A2＝＋y2yx11＝68(4i3j)jdy＋(4i3j)idx00＝3dy＋4dx6800＝18J＋32J＝50J.,该力作功与路径无关，是保守力3-12一斜面高1.0m长为2.0m.把一质量为10kg的物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦系数为0.1.若物体在斜面最低点时的速率为零，可见.在最高点时的速率为0.2ms-1,问沿斜面需用多大的力推物体才行？解：由题可知斜面倾角30，令斜面高h=1.0m,长度l=2.0m,物体末速率为0.2ms-1.根据动能定理,有Flmghmgcoslm2,12Fm2/2mghmgcosl=57.6N.于是得lFkmx1m题3-12图3-13如图3-13所示，一质量为m的物体，m题3-13图在与水平面成角的光滑斜面上系于弹性系数为k的弹簧一端，弹簧另一端固定.设物体在弹簧未伸长时的动能为E，弹簧的质量可以忽略不计，试证物体在弹簧伸长为x时的速度可由下式k1121得到:m2Emgxsinkx2.2k1证明：取物体与弹簧为系统，光滑斜面，只有重力和弹力作功，机械能守恒.以弹簧未伸长处为势能零点，则该处机械能为E,则有k112m2mgxsin1k2＝xE2k111kx22Emgxsink1故m223-14如图3-14所示，质量为0.1kg的木块，k20.0Nm1m在一个水平面上和一个倔强系数为的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由静止位置压缩0.4m.摩擦系数为0.25.问在题3-14图速率为多少？假设木块与水平面间的开始碰撞时木块的解：设开始碰撞时木块的速率为，碰撞后非保守力只有摩擦力f＝mg作功,则有可解得：＝5.83（ms-1）3-15有一物体与斜面之间的fx＝m2－1kx2.122摩擦系数为0.2，斜面的倾角为45.设物体以10ms-1的速率沿斜面上滑，率又为多少？解：非保守力只有摩擦力f＝mgcos作功，根据机械能定理,有求物体能达到的高度.当该物体返回最低点时，其速设物体达到的高度h，以斜面最低点为重力势能零点，1mgcoshcscmm.gh202解得：h=4.25m.同理,物体返回最低点时,有mgcoshcscmgh1m.228.16ms.-1可得3-16如图3-16所示，自动卸货矿车满m，斜面倾角为30，斜车重的1/4.当车下滑距离车压弹簧一起向下运动，到达最大A载时的质量为面对车的阻力为l为l时，压缩量时自动卸货，然后借助弹簧作用回到初位置重新货装.问：要完成这个过程,空载时车的质量为多大？题3-16图解：设空载时车的质量为m，弹簧最大压缩量阻l,非保守力只有斜面对车的0力f＝mg/4作功.以弹簧最大压缩量处为势能零点，根据机械能定理,有14mg(ll)mg(ll)sin1kl2,(1)2000mgkl.0(2)1得m＝m.3习题4.设球与平面碰撞时间为4-1一质量为率沿反方向运动m，速率为的球与一平面垂直碰撞，碰撞后小球以原先的速t,问球与平面碰撞时，球对平面作用的平均冲力为多少？解：设平均冲力为F，由质点动量定理I＝Ft=PF=P/t=.2m/t4-2质量为5.6g的子弹水平射入一静止在水平面上木块和平面间的摩擦系数为0.2.子弹射入木块后，木块向前移动了50cm，求子,质量为2kg的木块内，弹的初速.1解：设子弹的初速度为，射入后子弹与木块一起以初速度运动。取木块0和子弹为系统，射入过程在水平方向动量守恒:1m(Mm).(1)0子弹射入木块后与木块一起作末速度为零的匀减速运动,阻力为(Mm)g(Mm),a(2)22aS0.(3)221由以上1.三式可解得：＝501ms04-3在冲击摆实验中，质量为9.6g的子弹射入质量为5kg的砂箱，砂箱摆高10cm，求子弹的初速.解：解：子弹进入沙箱和沙箱上摆是同时进行的，但为了便于分析，可把这个实际过程看作两个先后进行的过程：先是子弹进入沙箱，沙箱保持静止,然后沙箱带着子弹以某个共同初速度开始上摆.第一个过程是子弹与沙箱发生完全非弹碰性撞，系统动量守恒.设子弹进入摆的初速率为，沙箱的初速率为，0沙箱上有(mm)m.0在第二个过程中，只有重力做功，系统机械能守恒.取沙箱初位置为重力势能零(mm)gh12(mm)2..点，有mmm0联立以上两式，得.2gh＝730.6ms14-4质量为m的物体，以速率沿x轴正向运动，运动中突然射出一块物体，012沿y轴正向运动，求余下部分的速度.0其质量为m,并以速率3解：设余下部分的速度为=i＋j,射出物体过程在x和y轴方向动量xy2mm,30x均守恒:3x0可得：＝,＝－.20y=1.5ij.00故余下部分的速度为4-5质量为2.0kg的木块系在一弹簧的末端，静止在光滑的平面上，弹簧的弹性系数为200Nm1，如图所示.一质量为10g的子弹射进木块后，木块把弹mo簧压缩了5cm，求子弹的速率.M题4-7图子弹的速率，由题意m＝10g＝0.01kg,M=2kg，k＝200Nm1.射0题4-6图解：设入过程在水平方向动量守恒:1m(Mm).(1)(2)0射入后子弹与木块一起以初速度运动，机械能守恒:112(Mm)21kx2,21其中，x＝5cm＝0.05m.由以上两式可得：0.＝100.2ms14-6如图所示，质量为1.0kg的钢球系在定.把绳拉到水平位置后，块作完全弹性碰撞，解：由题意m＝1kg,M=5kg，R＝0.8m.以碰撞处为长为0.80m的绳子一端，另一端固再把球由静止释放，球在最低点与质量为5.0kg的钢问碰撞后钢球能达到多高？势能零点，下落过程机1械能守恒mgR＝m2.(1)21完全弹性碰撞过程中动量和动能都守恒:3mmM,(2)(3)1212m2m21M.1232212碰撞后小球上升过程中机械能守恒:1m2mg.h(4)2钢球上升高度2由以上4式可得h=0.356m.B球速率为.碰撞4-7两个质量不同的球A与B相互碰撞,A球原来静止，解：设A球原来位置为原点；后，B球速率为/2,方向与原来路线垂直，求碰撞后B球速率方向为x轴正向，碰撞后B球速率A球的运动方向.为/2，方向为y轴方向.设碰撞后A球速度=i＋j,碰撞过程在x和y轴xymm,12x方向动量均守恒:0m/2m.y12m1,m12m2可得：即,mxy2mim1j.2m2=1m21x轴夹角为tg12634.速度与24-8地球的质量约为3.18107s.求1/2年里太阳引力对地球所作的功和地球所受的冲量1.510m.6.01024kg，近似地绕太阳作匀速圆周运动，周期（即一年）约为.地球与太阳之间的距离为11解：由题意T=3.18107s，M=6.01024kg。1/2年里，太阳引力与运动方向始终垂直，零,而冲量故太阳引力对地球所作的功为I＝P＝MV＝2MV＝2MR＝2MR2＝3.561029NsT4-9在一质量为上连接一绳梯，在绳梯的中间站着一个质量为m的气球m12的人.开始时，气球与人均相对地球静止不动.如果人以速率相对绳梯往上爬，气球将向哪个方向运动，其速率多大？解：以向上为正向，取人与气球及绳梯为系统，动量守恒：22mm0.(1)11相对运动，相对速度为，则.(2)21由以上两式可得气球速度：m1.1mm12m的人手里拿着一个质量为的物体.此人以与水平面成m124-10质量为角的速率向前跳去0.当它达到最高点时，他将物体以相对人为u的水平速率向后抛出.问:由于人抛出物体，他跳的距离增加了多少？假设人可视为质点.解：设出发点为原点，水平前进方向为x轴正向，向上为y轴正向.设从出发点到最高点时间为t,则1sin,t1(1)0g到最高点时人与物体的共同速度为cos，物体抛出前后水平方向动量守恒:02(mm)cosmm(2)(3)12011u.21题给相对速度为-u,即m将(3)代入(2,得)cosu.mm21012由于在垂直方向上速度不变，人下落时间不变,仍为t，他跳的距离增加了1musin1xcost.20(mm)g11024-11一作斜抛运动的物体在最高点炸裂为质量相等的两块,最高点距离地面为19.6m.爆炸后1秒钟，距离为100m.第二块落在距抛出点多坐标原点，水平前进方向为x正向，向上为意H=19.6m.设从抛出到最高点的t，则第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点远的地面上?不计空气阻力.解：取抛出点为y轴正向.由题飞行时间为有1H1gt,2212H即2s.爆炸时，物体分为两块,mmm/2.第一块m落到爆炸点t1g1211H正下方的地面上，故,gt21t21y11gH其中t1s,因此,114.7m/s.21y,且爆炸后m的0,故有11x爆炸前后动量守恒22xmm,x22y0mm.11y100100m/s,2x即22xt12y14.7m/s.1y设第二块爆炸后飞行时间为t,则有/2Ht1gt2,22y22t4s.而第二块落在地面上的位置距抛出点的距离为所以2x100t500m.2x24-12上题中，若爆炸后第一块沿原来的轨道返回出发点,问：（1）第二块将沿怎样的方向飞行？（2）到达地面时的速率是多少？（3）第两块能否一和第二同时到达地面？2H相同,从抛出点到最高点的飞行时间仍为t2s,且g1mmm/2.爆炸后解：与上题,因第一块m沿原来的轨道返回出发点，故爆炸后m的11121x,0.又因爆炸前后动量守恒，故有x1y22xmmm,x1x0m22y.,即3150m/s0,故爆炸后2y两块都作平抛运动,并同时到达地面.2xx2y设第二块落地时的速度分量为和,其中150m/s,而可由2x2y2x2x关系式H2求出.所以,第二块到达地面的速率为2y2g22gH＝2x2.151.3ms122x22y4-13如图所示，m和m用质量可略去不计的刚性细杆相连接,m和m分1212别为10kg和6kg.开始时它们静止在xy平面上.它们受到如图所示的外力作用，F8iN,F6jN.试求（1）它们质心的坐标与时间的函数：（2）系统总动量12与时间的函数.yF23mm2xoF4m题4-13图题4-14图解：(1)设初始时刻的质心位置为x,y,则有(根据教材62页(5-3-3)式)004mmm2133m15x0y0,mm8.21212＝m对式子miCii(即教材62页(5-3-6)式)两边求时间的一阶导数,得mddCdt＝mi,idti即FF.Cii这表明刚体质心所受合力等于刚体中各质点所受合力的矢量和,刚体中,或者说各质点所受合力的矢量和就是刚体质心所受合力.所以，由题给条件可知，质心加速度的两个分量是d2xCdt2F10.5m/s2，mm12d2yCdt2Fmm0.375m/s2。212对以上两式积分,得质心速度的两个分量:0.t5,Cx0.37t.5Cy再积分一次,得质心坐标的两个分量:x(1.50.t225m;)Cy(1.8750.1875t2)m;Cj)=8i6j)t(Ns).Cy动量mm(i+Cx(2)质心P124-14如图所示，一质量为的m平板车从传输砂子的漏斗下面经过，单位时1dm砂落在平板车上.若使平板车维持恒定的速率，应给平板车多大的拉力摩擦略去不计.间内有的dt？设平板车与铁轨间的dmdtdmtFt,得Fdtp解：由于.4-15一质量均匀的柔软细绳竖直悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上.如果把绳的上端放开,试证明，在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳重量的三倍.证：把链条看成无穷多个小段，链条下落时，这些小段连续撞击地面.由于高度为h时，dhdmmdhL链条均匀，长度为的小段的质量为/。当链条上端下落撞击地面的是原来距地面高h的那个小段.此小段即将撞击地面前的下落速率为2gh，撞击地面后静止，动量的增量为dm.设地面对小段的冲力为，则FFgdmdtdm,有Fdtd忽略上式左边的二阶小量，得.m所以，小段对地面的冲力为dmFFdt＝＝m.mdh2mgh2＝LdtLLmghh时，长度为h的一段链条已在地面上，它对地面的压力是，L3mgh又因为上端下落故链条对地面的作用力为.L4-16一火箭竖直向上发射,每秒钟排出的m是火箭最初的质量.火箭排出的气体相对于火箭的速率为510ms-1,求发3射10s后火箭的气体质量恒为510mkg,其中200速度和高度.解：(1)利用书上的公式(4-3-3)得mmtummmmt(2)ulnulnln1tm000,m00所以,上升高度为4-17一初质量为500103kg的火箭喷出气体的速度为2.0103ms-1.（1）每秒喷出多少气体，才能使火箭最初的向上加速度为4.9ms2?（2）若火箭的质量比为6，求火箭的最后速率.ddtdmdt解：(1)因为mamFu,得00(2)uln63.58103m/s4-18如图所示，一个带孔的木块静止于无摩擦的水平面上，孔里是一个弹性系数为的轻弹簧.一k质量为的钢球以水平速度射入小孔中，求弹簧m的最大压缩量.木块质量为M.题4-18图设弹簧的最大压缩量x，到达最大压缩量时小球和木块速度同为，根1据动量守恒守恒和机械能守恒定律,有解：(Mm)m.112kx221(Mm)2m1.221由以上两式得Mmxk(Mm)4-19如图所示，在无摩擦的水平面上有一个质量为m的容器，.OA其内壁为半径为R的光滑半球面，一质量为m的小球从内壁边缘A点处滑下.开始时容器与小球都B静止，当小球滑过容器内最低点B时所受题4-19图支持力多大？小球速度为，容器速度为，小1解：设当小球滑过容器内最低点B时，2球与容器系统在水平方向动量守恒:0.(1)(2)mm12小球下落，系统机械能守恒:mgR112.mm22212小球相对与容器作圆周运动，设小球滑过容器内最低点B时二者相对运动速度u.为,则有u(3)12小球滑过容器内最低点B时所受支持力为u2Fmgm.(4)R2m右以上4式可解得样Fmg3m习题55-1一汽车发动机曲轴的转速在12s内由每分钟1200转均匀地增加到每分钟7200转，求（1）角加速度；（2）在此时间内曲轴转了多少转？解：由题意可知dttd（1）角加速度=52.3(rad/s2)=8.3revs2(2)在此时间内曲轴转过的圈数是N1120tt=837.6rev.225-2一辆汽车以16.67ms-1的速度行驶，其车轮直径为0.76m.（1）求车轮绕轴转动的角速度；（2）如果使车轮在30转内匀减速地停止下来,角加速度多大？（3）在刹车期间，汽车前进了多远？1）车轴速度16.67ms-1，车轮绕轴转动的角速度0解：（(2)由t可得角加速度＝5.11rads2.01（3）由tt可得在刹车期间，汽车前进了sr＝71.6m22005-3一质点在半径为r的圆周上运动，在某一时刻其角加速度为，角速度12)ar为.试证明该时刻的线加速度为(42.2证：切向加速度ar，法向加速度artn1线加速度为ar(2)2.45-4一刚体由静止开始，绕一固定轴作匀角加速转动.由实验可测得刚体上某点的切向加速度为ta，法向加速度为a，试证明na/a2，为任意时间内nt转过的角度.解：，切向加速度法向加速度故ar，tar2，na/a/2.2nt5-5设某机器上的飞轮的转动惯量为63.6kgm2，角速度为31.4s1，在制动力矩的作用下，飞轮经过20s匀速停止转动，求角加速度和制动力矩.ddt解：角加速度＝31.4/20=1.57s2.由角动量原理得制动力矩tMdtJJ00M=99.9Nm.5-6一飞轮由一直径为30cm、厚度为2.0cm的圆盘和两个直径为10cm、长为8.0cm的圆柱体组成，设飞轮的密度为7.8103kgm3，求飞轮对转轴的转动惯量.解：设密度＝7.8103kgm3，圆盘半径为R，厚度为d,圆柱体半径为r，长度为l,则飞轮转动惯量J1MR221mr221RdR2rlr2＝0.136kgm2.22225-7如图所示，圆盘的质量为,半径为边缘并平行于过R.轴OO过盘的m盘心的转轴OO.求圆盘对OO轴的转动惯量.解：圆盘、圆柱（通过中心轴）的转动惯量J1mR2.2c由平行轴定理,求圆盘对OO轴的转动惯量.Jo＝Jc＋mR2=3MR2.225-8试证明质量为m、半径为R的均匀球体对直径的转动惯量5为mR2.如果以和球体相切的直线为轴,其转动惯量又为多少？m4证：均匀球体的体密度为，则半径为r厚度为dr的薄球壳质R33量dm4rdr,于是均匀球体对直径的转动惯量为2RJrdm=r24rdr==2mR2.225c0由平行轴定理,以和球体相切的直线为轴,其转动惯量为Jo＝Jc＋mR2=7MR2.5质量密度为，试证矩形板相对ab(a2b2),其中a为矩形板的长，b为它的转轴的转动惯量宽.125-9均匀矩形板的于垂直过板面几何中心的为证明：取方块面元dxdy，则dm＝dxdy，相对于垂直过板面几何中心的转轴的转动惯量为dya/2(xy)dx＝ab(a2b2).b/2Jrdm＝r2dxdy＝22212cb/2a/25-10一长为l的细杆两端附着质量分别为m和m两个小球，mm.此杆1212可绕其中点在竖直平面内转动.先把杆放置在水平位置，然后由静止释放，求（1）开始运动时杆的角加速度，（2）杆经过竖直位置时的角速度.不计细杆质量.解：对过中点与转动面垂直的转轴的转动惯量J＝mr2＝1l2(mm).4ii12i对过中点与转动面垂直的转轴的力矩为M＝rF＝1lg(mm)212由转动定律可得角加速度:再由MJ外2