变分原理与变分法

变分原理与变分法1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动等矛盾/统一的协调体；对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。Examples:①光线最短路径传播；②光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron）；③光线折射遵循时间最短的途径（Fermat）；BABAv1v1v2v2CECESummary:实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{J:}Examples:①矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域‖A‖1=；；②函数的积分：函数空间数域Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。Discussion：①判定下列那些是泛函：；；3x+5y=2；E、JconstsE、Jconstsq(x)q(x)x物理问题中的泛函举例xx=0,x=0,固支；x=l,自由i.梁的弯曲应变能：ii.弹性地基贮存的能量：iii.外力位能：iv.系统总的势能：泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w(x),使系统势能泛函取最小值。②最速降线问题问题：已知空间两点A和B,A高于B，要求在两点间连接一条曲线，使得有重物从A沿此曲线自由下滑时，从A到B所需时间最短（忽略摩擦力）。作法：i.通过A和B作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B点坐标(a,b),设曲线为y=y(x),并已知：x=0,y=0；x=a,y=bii.建立泛函：1.2.1定积分的驻值（变分）问题目的：通过简单泛函的极值分析，获得建立变分法的基本概念、计算步骤（把变分解转化成微分方程）问题：在自变量x的区间[a，b]内决定一个函数y(x)，使它满足边界条件：，并使泛函：取极值。计算方法1：先用变分观点解释G.H曲线的增量yβHDBCαAG abxabxxdx设想已取得了一条曲线GACH方程为：y=y(x)在GACH附近另取一条曲线GBDH，令该曲线无限接近GACH，其方程为：是一个无穷小量，称为自变函数的变分（若x不变，即为曲线纵坐标的增量）（注意与函数微分的区别，这里函数的变分仍然是一个函数）相应两条曲线，获得两个泛函值：基本引理：证：推广：另一条认识的思路：DHβyx：DHβyxBCA：BCAGα：Gαba：badxdx＝因为是的连续可导函数（工程上一般如此），故很小时，也很小，即取等式两端的一阶无穷小量，即：（可以从Tailor展开式去理解）称为泛函V的一阶变分，简称变分，即泛函的一阶变分是泛函增量中的一阶小量部分（把自变函数的变分作为一阶小量）所以，变分的运算服从无穷小量的运算规则。计算方法2：（把求泛函的极值转化成求普通函数的极值）记：(固定)当在y0上取极值，则相应于的泛函值现在成为普通的函数极值条件：（先不管该条件，现仅研究其导数计算）上两式中出现，和并不能独立变化，可设法把项转换成只与有关的项。取分步积分：取：代入一阶变分式：要选定的函数满足边界条件，所以：，计算若方括号内的函数在区间内不为0，则可任选使大于零或小于零，即使V不能获得极值，故需方括号的项为零。即：（Euler方程）此即与泛函驻值等价的微分方程。或：令由变分基本定理：任意连续函数，方括号中函数连续。Example最速降线问题：（注不显含x）代入Euler方程，并乘以函数Q可得：由于(F中不显含x)，上式中只要令,把上式配成全微分形式：这是因为：()（代回原Euler方程，即得全微分）

由全微分方程代入F的具体表达式：令：上式积分得：注意