北师大版（2019）数学必修第一册：6.4.2《分层随机抽样的均值与方差》学案

本资料分享自千人教师QQ群323031380期待你的加入与分享本资料分享自千人教师QQ群323031380期待你的加入与分享分层抽样的均值与方差【学习目标】理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法，会分析实际问题.【学习重难点】分层抽样的均值与方差.【学习过程】一、问题导学1．分层抽样的平均数如何计算？2．分层抽样的方差如何计算？二、合作探究分层抽样的均值与方差：[典例]甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从甲、乙生产的零件中分别抽取40件、60件，甲的平均尺寸为10，方差为20，乙的平均尺寸为12，方差为40.那么全部100件产品的平均尺寸和方差分别是多少？[解]甲机床生产的零件的平均尺寸、方差分别为eq\x\to(x)甲＝10，seq\o\al(2,甲)＝20，乙机床生产的零件的平均尺寸、方差分别为eq\x\to(x)乙＝12，seq\o\al(2,乙)＝40，所以100件产品的平均尺寸eq\x\to(x)＝eq\f(40\x\to(x)甲＋60\x\to(x)乙,40＋60)＝eq\f(400＋720,100)＝11．2，所以100件产品的方差s2＝eq\f(1,40＋60)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(40s\o\al(2,甲)＋60s\o\al(2,乙)＋\f(40×60,40＋60)(10－12)2))＝eq\f(1,100)×[(40×20＋60×40)＋24×4]＝32.96．【规律方法】1．求分层随机抽样的平均数的步骤（1）求样本中不同层的平均数；（2）应用分层随机抽样的平均数公式进行求解．2．求分层随机抽样的方差的步骤（1）求样本中不同层的平均数；（2）求样本中不同层的方差；（3）应用分层随机抽样的方差公式进行求解.【跟踪训练】甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？解：由题意可知eq\x\to(x)甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为eq\f(1,1＋4)＝eq\f(1,5)，eq\x\to(x)乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为eq\f(4,1＋4)＝eq\f(4,5)，则甲、乙两队全部队员的平均体重为eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×60＋eq\f(4,5)×70＝68kg，甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝eq\f(1,1＋4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((200＋4×300)＋\f(1×4,1＋4)(60－70)2))＝296．【学习小结】分层抽样的数字特征（以分两层抽样的情况为例）：假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为eq\o(y,\s\up6(－))，方差为t2．则eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,x)i，s2＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i，t2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2．.如果记样本均值为eq\o(a,\s\up6(－))，样本方差为b2，则：eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(1,m＋n)(eq\i\su(i＝1,m,)xi+eq\i\su(i＝1,n,y)i)＝eq\f(meq\o(x,\s\up6(－))＋neq\o(y,\s\up6(－)),m＋n)，b2＝eq\f(m[s2＋（eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(a,\s\up6(－))）2]＋n[t2＋（eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(a,\s\up6(－))）2],m＋n)＝eq\f(1,m＋n)[(ms2＋nt2)＋eq\f(mn,m＋n)(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(y,\s\up6(－)))2]．【精炼反馈】在对树人中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，采用分层抽样的方法，抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，你能由这些数据计算出样本的方差，并对高一年级全体学生身高的方差作出估计吗？解：把样本中男生的身高记为x1，x2，…，x23，其平均数记为eq\o(x,\s\up6(－))，方差记为seq\o\al(2,x)；把样本中女生的身高记为y1，y2，…，y27，其平均数记为eq\o(y,\s\up6(－))，方差记为seq\o\al(2,y)，把样本的平均数记为eq\o(a,\s\up6(－))，方差记为s2．则eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(23×170.6＋27×160.6,23＋27)＝165.2，s2＝eq\f(23×[seq\o\al(2,x)＋（eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(a,\s\up6(－))）2]＋27×[seq\o\al(2,y)＋（eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(a,\s\up6(－)