乘法公式和整式的除法

乘法公式和整式的除法一、教学内容：1、多项式与多项式相乘时常用到的两个公式：平方差公式、完全平方公式．2、同底数幂的除法法则．3、单项式除以单项式和多项式除以单项式．二、知识要点：1、平方差公式：(a+b)(a—b)=a2—b2两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差．注意：(1)公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．(2)右边是左边因式中的两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)．(3)公式中的a与b可以是单个的数，也可以是单项式或多项式.(4)只有对于形如两数的和与这两数的差相乘时，才可以用平方差公式．2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加(或减)它们的积的2倍．注意：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2和(&—匕)2=a2—2ab+b2都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．(2)公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的完全平方，二者仅一个“符号”的不同；右边都是二次三项式，当中有两项是公式左边二项中每一项的平方，第三项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅是一个“符号”的不同．(3)公式中的a与b可以是数，也可以是单项式或多项式.(4)在运用公式时要注意保持前后“符号”的一致性．3、乘法公式和面积之间的关系如图(1),(a+b)(a—b)=；如图(2),(a+b)2=；如图(3),(a—b)2=.4、同底数幂的除法的运算性质：am^an=am-n(aW0,m、n都是正整数，并且m>n).同底数幂相除，底数不变，指数相减．注意：(1)因为零不能作除数，所以底数不能为0．(2)底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式．5、零指数幂因为am：am=1,又因为am:amuam-mua。.所以ao=1.其中aW0.即：任何不等于0的数的零次幂都等于1．6、单项式除以单项式单项式相除：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.如：一4am2：2m=[(—4)：2]・a・(m2：m)步骤：(1)把系数相除，所得结果作为商的系数．(2)把同底数幂相除，所得结果作为商的因式．(3)把只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．7、多项式除以单项式：(am+bm)：m=am；m+bm；m=a+b.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．其实质就是把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算．计算时不要漏除，同时注意运算符号．三、重点、难点：重点是乘法公式和整式除法的运算法则，难点是在运算过程中如何准确的应用乘法公式．【典型例题】例1、(1)计算：(3a—2b)(3a+2b),(2)(2008年福建南平)先化简，再求值：(a+b)(a—b)+b(b—2),其中a=—1,b=1.分析：(1)是两个数的和乘以两个数的差的形式．可直接应用公式写出结果．(2)的前一部分直接用平方差公式计算,再化简求值．解：(1)(3a—2b)(3a+2b)=(3a)2—(2b)2=9a2—4b2,(2)(a+b)(a—b)+b(b—2)=a2—b2+b2—2b=a2—2b,当a=—1,b=1时，原式=a2—2b=-1.评析：利用平方差公式计算直接写出结果时,“平方”是一个整体的平方,不但字母要平方，系数也必须同时平方，要防止出现这样的错误：(3a+2b)(3a—2b)=3a2—2b2.例2、计算：(1)(3a+b)2；(2)(—x+3y)2；(3)9992；(4)(b＋c)(—b—c).分析：此题可利用完全平方公式计算,(1)题是两数和的平方,应选用和的完全平方公式，其中3a是公式中的a,b是公式中的b；⑵题(一x+3y)2=(3y—x)2=(x—3y)2；所以选用差的完全平方公式；(3)题关键是化成两数差的平方；(4)题中(一b—c)=—(b+c),原式=—(b+c)2.解：(1)(3a+b)2=(3a)2+2•3a•b+b2=9a2+6ab+b2(2)(－x＋3y)2二(3y—x)2=(3y)2—2•3y•x+x2=9y2—6xy+x2(3)9992=(1000—1)2=10002—2X1000X1+1=1000000—2000+1=998001(4)(b＋c)(—b—c)=—(b+c)2=—(b2+2bc+c2)=—b2—2bc—c2评析：通过例题可以发现：当所给的二项式中两项符号相同时，一般选用“和”的完全平方公式，如：(1)(3a+b)2和(4)(b+c)(—b—c)；当二项式中两项符号相反时，一般选用“差”的完全平方公式.如：(2)(—x+3y)2.例3、(1)(2007年南京)计算x3：x的结果是 ()A.x4 B.x3 C.x2 D.3(2)(2007年重庆)计算6m3：(—3改)的结果是()A.—3m B.—2m C.2mD.3m(3)(2007年宁夏)计算：(9a2b—6ab2)：(3ab)=.分析：(1)x3：x=x3T=x2,故选C；(2)6m3：(—3改)=[6：(—3)]m3—2=—2m,故选B；(3)(9a2b—6ab2)：(3ab)=9a2b：3ab—6ab2：3ab=3a—2b解：(1)C(2)B(3)3a—2b评析：整式的除法归根结底是要转化成同底数幂的除法．例4、已知16x2—2(m—1)xy+49y2是一个完全平方式，求m的值.分析：由完全平方式特征可得a=4x,b=7y,且±2ab=—2(m—1)xy,所以m应有两个值．解：由题意可知：一2(m—1)xy=±2・(4x)・(7y)m—1=±28•.m^29或m^27评析：完全平方式有两种形式，用a2+b2±2ab解求ab项系数习题时应注意系数可为±2,不仅仅为2．1例5、计算：(1)(—xy)i2：(—xy)5；(2)(x—2y)4：(2y—x)3；(3)(—3)30：(3)0：(3)29.分析：此题主要运用同底数幂的除法法则进行运算,一定要注意法则的运用,如(1)题底数为一xy,且要注意符号.(2)和(3)题都需先把底数化成同底数如x—2y=—(2y—x).解：(1)(—xy)i2：(—xy)5=(—xy)12—5=(—xy)7=—X7y7；(2)(x—2y)4：(2y—x)3=(2y—x)4：(2y—x)3=(2y—x)4—3=2y—x；111(3)(—3)30^(3)0^(3)29=(3)30^(3)0：(3)291=(3)30—0—291=3评析：进行同底数幂的除法运算时，其底数必须相同，指数相减，此外，还应注意以下几点：(1)符号的处置，指数的奇偶性确定符号的性质；(2)底数为多项式时不要随意计算，如(a—b)ii=aii—bii这是极易出现的错误.例6、先化简再求值．［(x—y)2+(x+y)(x—y)］：2x,其中x=3,y=—1.5.分析：(x—y)2与(x+y)(x—y)可运用乘法的完全平方公式与平方差公式展开，然后合并同类项.解：［(x—y)2+(x+y)(x—y)］：2x=(x2—2xy+y2+x2—y2)：2x=(2x2—2xy)：2x=x—y当x=3,y=—1.5时，原式=3一(—1.5)=4.5.【方法总结】1、在整式除法的学习中要注意转化的思想方法，例如，多项式与单项式相除的法则，第一步是转化为单项式与单项式相除，第二步则是转化为有理数的除法与同底数幂的除法.2、注意乘法公式与面积之间的内在联系，进而感受几何与代数内在的统一性.【模拟试题】(答题时间：60分钟)一、选择题TOC\o"1-5"\h\z1、(2008年哈尔滨)下列运算中，正确的是( )A.x2+x2=x4 B.x2：x=x2 C.x3—x2=x D.x•x2=x32、(2008年山东)下列计算结果正确的是( )A.—2x2y3•2xy=-2x3y4 B.3x2y—5xy2=-2x2yC.28x4y2：7x3y=4xy D.(—3a—2)(3a—2)=9a2—43、在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是 ( )A.(x＋y)(—x—y) B.(a2—b)(a2＋b2)C.(2x—3y)(2y＋3x) D.(—3a＋4b)(—3a—4b)4、(2008年广东汕头)下列式子中是完全平方式的是 ( )A.a2＋ab＋b2 B.a2＋2a＋2C.a2—2b＋b2 D.a2＋2a＋15、(2007年黄冈)下列计算正确的是( )A.a3+a2=2a5B. (—A.a3+a2=2a5(a+b)(a+b)2=a2+b2a6：a2=a3*6、下列算式：①a3n：an=a3②b3n—bn=b2n,③(3—n)0=1,④(Pn+1)3：P2n•P2=Pn+1中，正确的算式有()A.1A.1个 B.2个C.3个 D.4个7、( )3D.2(a—b)2=12,则0.2+b2的D.4D.500D.7、( )3D.2(a—b)2=12,则0.2+b2的D.4D.500D.62TOC\o"1-5"\h\zA.—1 B.1 C.3*8、(2008年全国数学竞赛广东初赛)已知(&+匕)2=8,值为( )A.10 B.8 C.20100029、计算2522—2482的结果为( )1A.2 B.1000 C.500069 9**10、若1—x+x2=0,那么x的值等于 ()A.—3 B.3 C.—6、填空题11、(1)a5：a2= (2)(—a)3：(—a)=.12、(1)(x+3)(x—3)= ,(2)(3x+y)(y—3x)= ．13、(2008年济南)当x=3,y=1时，代数式(x+y)(x—y)+y2的值是.*14、(—m+2)2= ,(x—2y—3)(x+2y—3)=[( )—2y][( )+2y]=( )2—4y2．15、利用乘法公式计算：1993X2001=.3*16、(3m—2n)(2m+n)= ．三、解答题17、计算下列各题：(1)(x3y2)5：(x3y2)3;(2)(x+y)10：(—x—y)7：(x+y)2；(3)(1—2a)(1+2a)(1+4a2)(1+16a4)．18、运用乘法公式进行简便计算：(1)103X97；(2)4012；(3)20082—2009X2007．19、先化简再求值：8(2x—1)2—(3x—1)(1+3x)+5x(x—1),其中x=—9；**20、(2007年山东淄博)根据以下10个乘积,回答问题：11X29；12X28；13X27；14X26；15X25；16X24；17X23；18X22；19X21；20X20．(1)试将以上各乘积分别写成一个“口2—。2"(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；(3)试由(1)、(2)猜测一个一般性的结论．(不要求证明)【试题答案】、选择题1、D2、C3、D4、D5、B6、A7、C8、A9、D10、B、填空题11、（1）a3（2）a212、x2－9，y2－9x213、914、m2－4m＋4，x－3，x－3，x－315、39999116116、原式=2 (3m—2n)1(3m+2n) =2(9m2—)=三、解答题17、(1)X6y4(2)—x—y(3)1—256a818、(1)原式=(100+3)(100—3)=10000—9=9991(2)原式=(400+1)2=4002+800+1=160801(3)原式=20082—(2008+1)(2008—1)=20082—20082+1=119、原式=4x2—4x+1—(9x2—1)+5x2—5x=4x2—4x+1—9X2+1+5