2007年高考数学试题分类汇编立体几何

获取更多小初高课件、试题、教学资料和中高考真题备考资源，请加微信：tsat168获取更多小初高课件、试题、教学资料和中高考真题备考资源，请加微信：tsat1682007年高考数学试题分类汇编立体几何一．选择题1．(2007安徽·文)设均为直线,其中在平面的（）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件2．(2007安徽·文)把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为（）(A) (B) (C) (D)3．(2007北京·文)平面平面的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线 Ｂ．存在一条直线Ｃ．存在两条平行直线Ｄ．存在两条异面直线4．(2007福建·文)如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．5．(2007广东·文)若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若，则B．若，则C.若，则D．若，则6．(2007湖北·文)在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且．则点到平面的距离为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．7．(2007天津·文)设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若与所成的角相等，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则ABCF8．(2007湖南·文)如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（）ABCFA．与垂直 B．与垂直C．与异面 D．与异面9．(2007江西·文)四面体的外接球球心在上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．10．(2007全国Ⅰ·文)如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．11．(2007全国Ⅱ·文)已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）A． B． C． D．12．(2007陕西·文)Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是（A）5 （B）6 （C）10 （D）12(2007四川·文)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是(A）BD∥平面CB1D1(B)AC1⊥BD(C)AC1⊥平面CB1D1(D)异面直线AD与CB所成的角为60°二．填空题13．(2007天津·文)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的表面积为．14．(2007全国Ⅰ·文)正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________．15．(2007全国Ⅱ·文)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm．16．(2007江西·文)如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点．有下列四个命题Ａ．点是的垂心Ｂ．垂直平面Ｃ．二面角的正切值为Ｄ．点到平面的距离为其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）三．解答题17．(2007广东·文)已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S解:由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD;(1)(2)该四棱锥有两个侧面VAD.VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为,另两个侧面VAB.VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为因此18．(2007北京·文)如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．（=1\*ROMANI）求证：平面平面；（=2\*ROMANII）求异面直线与所成角的大小．解法一：（=1\*ROMANI）由题意，，，是二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．（=2\*ROMANII）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角．在中，，，．又．在中，．异面直线与所成角的大小为．解法二：（=1\*ROMANI）同解法一．（=2\*ROMANII）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，．异面直线与所成角的大小为．19．(2007福建·文)如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．ABDC（Ⅰ）求证：平面ABDC（Ⅱ）求二面角的大小．解法一：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．ABCDOFG连结ABCDOFG的中点，，．在正方形中，，平面．（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．，为二面角的平面角．在中，由等面积法可求得，又，ABCABCDOzxy所以二面角的大小为．解法二：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．，，，．平面．（Ⅱ）设平面的法向量为．，．，，令得为平面的一个法向量．由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．，．二面角的大小为．20．(2007安徽·文)ＶAＣＤＢ如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．ＶAＣＤＢ（I）求证：平面平面；（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，，又底面．．于是平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．连接，于是就是直线与平面所成的角．依题意，所以在中，；在中，，．，．故当时，直线与平面所成的角为．解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，，，．从而，即．同理，即．又，平面．又平面．平面平面．ADBCVxyzADBCVxyz则由．得可取，又，于是，即，．故交时，直线与平面所成的角为．解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，．从而，即．同理，即．又，平面．又平面，平面平面．（Ⅱ）设平面的一个法向量为，则由，得ADBCVxADBCVxy于是，即．故交时，即直线与平面所成角为．21．(2007湖南·文)如图3，已知直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为．（I）证明；（II）求二面角的大小．AABCQP解：（I）在平面内过点作于点，连结．因为，，所以，又因为，所以．而，所以，，从而，又，所以平面．因为平面，故．（II）解法一：由（I）知，，又，，，所以．过点作于点，连结，由三垂线定理知，．故是二面角的平面角．由（I）知，，所以是和平面所成的角，则，不妨设，则，．在中，，所以，于是在中，．故二面角的大小为．解法二：由（I）知，，，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，所以是和平面所成的角，则．不妨设，则，．ABCQPOABCQPOxyz所以．则相关各点的坐标分别是，，，．所以，．设是平面的一个法向量，由得取，得．易知是平面的一个法向量．设二面角的平面角为，由图可知，．所以．故二面角的大小为．22．(2007江苏)如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，（1）求证：四点共面；（4分）（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：面；（4分）（3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。（4分）23．(2007江西·文)右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．（1）设点是的中点，证明：平面；（2）求与平面所成的角的大小；（3）求此几何体的体积．（1）证明：作交于，连．则，因为是的中点，所以．则是平行四边形，因此有，平面，且平面则面．（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，，作于，因为平面平面，则面．连结，则就是与面所成的角．因为，，所以．与面所成的角为．（3）因为，所以．．．所求几何体的体积为．解法二：（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，因为是的中点，所以，，易知，是平面的一个法向量．由且平面知平面．（2）设与面所成的角为．求得，．设是平面的一个法向量，则由得，取得：．又因为所以，，则．所以与面所成的角为．（3）同解法一24．(2007全国Ⅰ·文)SCDAB四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，．SCDAB（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．解法一：（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．因为，所以，又，故为等腰直角三角形，，DBCADBCASE（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，故，由，，．又，作，垂足为，则平面，连结．为直线与平面所成的角．所以，直线与平面所成的角为．解法二：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．因为，所以．又，为等腰直角三角形，．如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，DBCADBCAS，又，所以，，．，，，，所以．（Ⅱ），.与的夹角记为，与平面所成的角记为，因为为平面的法向量，所以与互余．，，AEBCFSD所以，直线AEBCFSD25．(2007全国Ⅱ·文)如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．（1）证明平面；（2）设，求二面角的大小．解法一：（1）作交于点，则为的中点．连结，又，故为平行四边形．AEBCFSDHGAEBCFSDHGM所以平面．（2）不妨设，则为等腰直角三角形．取中点，连结，则．又平面，所以，而，所以面．取中点，连结，则．连结，则．故为二面角的平面角AAEBCAAEBCFSDGMyzx所以二面角的大小为．解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．设，则，．取的中点，则．平面平面，所以平面．（2）不妨设，则．中点又，，所以向量和的夹角等于二面角的平面角． ．所以二面角的大小为．26．(2007安徽·文)如图,在底面为直角梯形的四棱锥v,BC=6.(Ⅰ)求证:BD(Ⅱ)求二面角的大小.解法一：（Ⅰ）平面，平面．．AEDPCBAEDPCB，，，即．又．平面．（Ⅱ）连接．平面．，．为二面角的平面角．在中，，，，二面角的大小为．解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则，，，，，，，，AEDPCByzxAEDPCByzx又，面．（Ⅱ）设平面的法向量为，设平面的法向量为，则，，解得．，．二面角的大小为．27．(2007四川·文)如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°(Ⅰ)求证：AC⊥BM;(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小；（Ⅲ）求多面体PMABC的体积.解析：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．（Ⅰ）∵平面平面，，平面．∴平面又∵平面∴（Ⅱ）取的中点，则．连接、．∵平面平面，平面平面，．∴平面．∵，∴，从而平面．作于，连结，则由三垂线定理知．从而为二面角的平面角．∵直线与直线所成的角为60°，∴．在中，由勾股定理得．在中，．在中，．在中，故二面角的大小为（Ⅱ）如图以为原点建立空间直角坐标系．设，有，，．，由直线与直线所成的角为60°，得即，解得．∴，设平面的一个法向量为，则由，取，得取平面的一个法向量为则由图知二面角为锐二面角，故二面角的大小为．（Ⅲ）多面体就是四棱锥28。(2007天津·文)如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；（Ⅱ）证明平面；（Ⅲ）求二面角