协方差相关系数和大数定律

§3.3协方差和相关系数问题

对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布

对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系,问题是用一个怎样的数去反映这种联系.

数反映了随机变量X,Y之间的某种关系

为X,Y的协方差.协方差和相关系数的定义定义称无量纲的量为X,Y的相关系数.若称X,Y不相关.称

若

(X,Y)为离散型，若

(X,Y)为连续型，协方差和相关系数的计算

求cov(X,Y),

XY10pqXP10pqYP例1

已知

X,Y的联合分布为XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解10pqXYP例2

设u~U(0,2

),X=cosu,Y=cos(u+),

是给定的常数，求

XY解若若有线性关系若不相关，但不独立，没有线性关系，但有函数关系协方差的性质

协方差和相关系数的性质

相关系数的性质

即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为如例1中

X,Y的联合分布为XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1已求得,则必有其中

X,Y不相关X,Y相互独立X,Y不相关若(X,Y)服从二维正态分布，X,Y相互独立X,Y不相关例3

设X,Y相互独立,且E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=

2,U=aX+bY,V=aX-bY,a,b为常数，且都不为零，求

UV解由而故

a,b取何值时,U与V不相关？此时,U与V是否独立？继续讨论若a=b，

UV=0,则U,V不相关.——X的k

阶(原点)矩——X的k

阶中心矩--X的二阶中心矩--X的方差——X的1阶(原点)矩——X的期望矩和中心矩

§3.4随机变量的另几个数字特征设连续型随机变量X的分布函数为定义下

分位数的数，为此分布的下

分位数.F(x)，概率密度为f(x),

则称满足条件：x

•设连续型随机变量X的分布函数为定义上

分位数的数，为此分布的上

分位数.F(x)，概率密度为f(x),

则称满足条件：x

•

设X是只取非负值的随机变量，且有数学期望E(X)，则有

§3.5切比雪夫不等式与大数定理马尔可夫（Markov）不等式

设随机变量X具有数学期望E(X)和方差D(X)，则有切比雪夫（Chebyshev）不等式或当

2

D(X)

无实际意义,大数定律的思想：

概率论中用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的一系列定理统称为大数定律大数定律

定义：若存在常数a，使对于任何有

则称随机变量序列依概率收敛于a。1.切比雪夫(Chebyshev)大数定律相互独立，设r.v.序列则有或且：各有数学期望和方差当

n

足够大时,算术平均值几乎是一常数.当n充分大时，独立r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术均值数学期望近似代替可被Chebyshev大数定律的意义2.贝努里（Bernoulli）大数定律设

nA

是n

次独立重复试验中事件A发生的次数,p

是每次试验中A发生的概率,则有或在概率的统计定义中,事件A

发生的频率“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率是指：频率与

p

有较大偏差是小概率事件,因而在n

足够大时,可以用频率近似代替p.这种稳定称为依概率稳定.贝努里(Bernoulli)大数定律的意义3.辛钦(Khinchin)大数定律相互独立，设r.v.序列则有或具有相