精算学原理二

精算学原理

第二篇寿险精算数学第一章生存分布与生命表§1.1死亡年龄的概率1.1.1连续型死亡年龄的有关概率对于一个刚出生的婴儿来说，其死亡年龄是一个连续型随机变量，用表示这个随机变量的分布函数，则（1.1.1）这里，通常假设假设随机变量的分布函数是可导的，且用表示随机变量的密度函数，则或（1.1.2)这时，其均值与方差分别是1.1.2离散型死亡年龄的有关概率若将新生婴儿的死亡年龄取整数值（即取周岁数）并用字母表示，则，那么，离散型随机变量的概率分布律可表述为死亡年龄（K）0123…….概率（q）…….其中，这时，其分布函数、均值和方差分别是§1.2生存分布1.2.1生存函数假设某一新生婴儿群体的死亡年龄的分布函数为，则称为生存函数，即（1.2.1）由于通常假设，则从分布函数的性质，我们可得出生存函数的一些直观性的性质：①②③是单调递减的函数是一个右连续的函数。关于生存函数的一般图形X年龄0人的生命是有限的，通常人的寿险不会超过某一特定年龄。也就是说，存在一个正数，当时，当，这时，称正数为极限年龄。

例如，某一群体人的生存服从生存函数新生婴儿在年龄岁与岁之间死亡的概率是类似地，新生婴儿在岁时仍活着的条件下，于年龄岁与岁之间死亡的条件概率是条件概率是类似地，新生婴儿在岁时仍活着的条件下，于年龄岁与岁之间死亡的条件概率是新生婴儿在岁活着的条件下，未来仍生存的时间（活生存期）是，那么称为新生婴儿在岁时的未来寿险，简称的未来寿命（或未来余命），并用符号表示。即新生婴儿在时仍生存的条件下，有1.2.2连续型未来寿命的生存分布用概率来反映生存者的未来寿命是精算学中的一项基本内容。我们用精算函数符号记

符号可解释为（x）将在t年内死亡的概率。从概率论的角度来说，是关于随机变量的分布函数；从精算学的角度来说，是关于的生存函数。特别地，当年龄时，，即0岁新生儿的未来寿命就是刚出生婴儿的死亡年龄，且（（x）将在1年内死亡）将至少活到x+1岁）（x）生存t年后，在岁与岁之间死亡这一事件的概率，可用精算函数符号表示，即特别地，当，符号可简写成与生存函数之间的关系，，由于（x）的未来寿命，隐含着新生婴儿在x岁时仍生存这一前提条件，所以事件与是同一事件，从而随机变量的分布函数为1.2.3离散型未来寿命的生存分布设K（x）表示（x）未来寿命的周年数或（x）在未来生存的整年数，即则随机变量的概率分布律又可表示为由于连续型变量，有故练习1、设生存函数，试计算（1）年龄为0岁的婴儿在16岁到36岁之间的死亡概率；（2）年龄在16岁的人将生存到36岁的概率。2.设X的分布函数为，试计算：（1）年龄为20岁的人在40岁之前的死亡概率；（2）年龄为20岁的人在30岁到40岁之间的死亡概率。3、设生存函数，试计算（1）分布函数与密度函数；（2）（3）（4）与及4、若年龄为20岁的人再67.83岁时死亡，试求T(20)与K(20)1.3死力死力的定义及性质所谓死力，是指在到达岁的人当中，在此一瞬间里死亡的人所占的比率。死力也称瞬间死亡率或死亡密度，用表示则对上式从到进行积分，得或特别地，当时，上式转化为从而随机变量的分布函数与密度函数分别是和的分布函数与密度函数分别是和例1.3.1设死力试求：（1）随机变量的分布函数与密度函数；（2）随机变量的分布函数与密度函数；（3）（4）解：死力具有如下性质：（1）当时，（2）对于任意，都有（3）是死力，则0.010.020.030.04104080年龄练习1、设是生存函数，函数，且试求：（1）生存函数及极限年龄；（2）（3）年龄为0岁的婴儿在岁到岁之间的死亡概率。2、设生存函数，试求及3、设，试求、、1.5生命表1.5.1生命表函数1、生存人数（）与死亡人数（）表示考虑的零岁新生婴儿的初始数目表示数目为个零岁新生婴儿能活到岁的期望人数当时，简写成，则表示个零岁新生婴儿在岁与岁之间死亡的期望人数的的数值表，如下表1.5.2、生命表的传统形式将生命表定义为对应于某些表1.5.1xS(x)01.0000010.99723520.99538130.99407340.9931131090.000011100.00000例1.5.1由上表计算：（1）0岁的人在3岁前死亡的概率；（2）1岁的人生存到4岁的概率。解：表1.5.2（表格生存模型）010000049931119972429953810913994071100生命表的传统形式与表1.5.2有以下两方面的差异：（1）该模型不使用的概率值，通常将的概率值乘以100000，使之成为整数（2）取=100000，令称=100000为生命表基数，就表示岁仍然生存的人数。定义如下函数显然，表示所研究的群体在岁到岁之间死亡的人数。并且于是还可得式中，表示岁的人生存到岁的条件生存概率。当时，有例1.5.1根据表1.5.1，求（1）在2岁与4岁之间的死亡人数；（2）1岁的人生存到4岁的概率。解：1.2.1由推导的其他函数（1）死力由于

可解释为由初始人群规模递减到岁的人群规模的递减因子通过一个简单的变量代换，式（2.1.8）可写成平均余命生命表中年龄达到岁的人数，其以后生存的平均年数称为岁时的完全平均余命，记作，则1.4.6随机变量与的方差公式故同理，对于随机变量的方差，我们有类似的公式例设随机变量的概率密度函数为计算：与解：依题意，则故运用式（1.4.23），可得练习1、设生存函数试计算和

2、设随机变量的分布函数为试计算与方差3、设死力，计算：第二章趸缴纯保费§2.1离散型的人寿保险模型所谓离散型的人寿保险模型，是指以离散型未来寿命为基础，保险金是在被保险人死亡所处的保单年度末支付而建立的各种人寿保险的数学模型。假设被保险人在投保（或签单）时的年龄为岁，其未来寿命整年数为，则其概率分布律为假设金额在处给付，给付数额为元，记为在处给付1个单位在签单时的利息贴现系数，为给付保险金额在签单时的现值。则期望值现值随机变量的期望值称为趸缴纯保费。趸缴意味着一次性缴付而不是按其他方式分期缴付。2.1.1死亡保险死亡保险分为年定期保险和终身人寿保险年定期保险，亦称为年期死亡保险。假设签约离散型的保险金额为1个单位的年定期保险，则现值函数是其趸缴纯保费用符号表示记其中，称为换算符号在式（2.1.2）中，用替代，可得其中，称为利力故例2.1.1设年龄为35岁的人投保离散型的保险金额为5000元的25年定期保险。求该保单的趸缴纯保费。解：根据式（2.1.3），则故该保单的趸缴纯保费特别地，当时，式（2.1.3）转化为在人寿保险中，纯保费通常称为自然纯保费，并用表示，即对于投保离散型的保额为1个单位的终身寿险，其趸缴纯保费（用符号表示）可在（2.1.2）中令而得若在式（2.1.5）的两边乘以，则得表明：保单签发时个年龄为岁的被保险人所支付的缴纯保费组成的基金总额等于按死亡预定流出资金的现值总额例2.1.2现有100个年龄为30岁的人，建立一笔基金，用于在他们每个成员死亡时给付其制定人1000原（给付时间是在死亡年度末）。经商定：这笔基金总额是按1990-1993年中国人寿保险业经验生命表（非养老金业务混合表）和年利率6%计算趸缴纯保费的。若这个基金实际运作的结果是：在第二年与第五年分别有1人死亡，第一年的年利率是6%，第二年和第三年的年利率是6.5%，第四年与第五年的年利率是7%。试问每个成员需要缴纳多少资金，并分析在第五年度末该基金按计划之初决定的期望值与实际基金之间的差异。每个成员需要缴纳的资金是则100个成员所建立的基金总额是在第五年度末该项基金按计划之初决定的期望值是用表示第年度末的基金值，则实际结果是所以，两者之间的差额是这一结果反映了五年间的投资与死亡的经验，一方面反映了实际投资收益超过了预期利率6%的年收益，而另一方面也反映了实际死亡人数2大大高于死亡人数0.4326练习：设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1000元的5年定期寿险保单，保险金额于被保险人死亡所处的保险年度末支付。试按附录中的生命表及年利率，计算：（1）该保单的缴纯保费；（2）该保单自35岁至39岁各年龄的自然保费之总额；（3）（1）与（2）的结果何以不同？2.1.2两全保险n年两全保险是有n年期生存保险和n年定期保险组成的，假设投保离散型的保额为1个单位的两全保险，则其有关函数是则其趸缴纯保费（用符号表示）是运用换算函数替代，可得例2.1.3设年龄为25岁的人购买离散型的保额为5000元的30年两全保险，试求改保单的趸缴纯保费（利率）解：根据式（2.1.11）和题意，则故该保单的缴纯保费是记表示n年期生存保险的缴纯保费，则练习：已知，年利率试计算：（1）（2）2.1.3延期寿险假设（x）投保离散型的保额为1个单位的年延期n年定期保险，则其有关函数是则其缴纯保费记作或则用换算函数替代，可得设现年30岁的人，购买一张保险金额为4500元的30年定期寿险保单，保险金额于死亡者所处的保单年度末支付，试用附录Ⅱ的换算表，计算该保单的趸缴纯保费。现年45岁的人，缴付趸缴纯保费5000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金额于死亡者所处的保单年度末支付，试求该保单的保险金额。现年36岁的人，购买了一张离散型的终身寿险保单，并规定：若被保险人在10年