张军数字信号处理chap6数字滤波器的基本结构-end

第六章数字滤波器根本结构

第一节

数字滤波器结构的表示方法

数字滤波器的作用是对输入信号起到数字滤波的作用；DF是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。数字滤波实际上是一种运算过程，其功能是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。因此数字滤波器本身就是一台数字式的处理设备。不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不同。

一、什么是数字滤波器数字滤波器一般可以用两种方法实现：一种是根据描述数字滤波器的数学模型或信号流图，用数字硬件装配成一台专门的设备，构成专用的信号处理机；另一种方法就是直接利用通用计算机，将所需要的运算编成程序让计算机来执行，这也就是用软件来实现数字滤波器。由第1章已经知道，一个输入序列x(n)，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为将上式两边经过傅里叶变换，可得式中，Y(ejω)、X(ejω)分别为输出序列和输入序列的频谱函数，H(ejω)是系统的频率响应函数。b=1;a=[1,-0.9];%y(n)-0.9y(n-1)=x(n)，即H(Z)=1/(1-0.9z)x=[ones(1,10),zeros(1,40)];y=filter(b,a,x);N=64;X=fft(x,N);Y=fft(y,N);可以看出，输入序列的频谱X(ejω)经过滤波后，变为X(ejω)H(ejω)。如果|H(ejω)|的值在某些频率上是比较小的，那么输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适中选择H(ejω)，使得滤波后的X(ejω)H(ejω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如下图。〔系统的频率响应H(ejω)是以2π为周期的。)图

数字滤波器的理想幅频特性二、数字滤波器的工作原理h(n)x(n)y(n)=x(n)*h(n)那么LSI系统的输出为：三、数字滤波器表示方法有两种表示方法：方框图表示法；流图表示法.数字滤波器中,信号只有延时，乘以常数和相加三种运算。所以DF结构中有三个根本运算单元：单位延时，乘常数的乘法器，加法器。

数字滤波器是离散时间系统，所处理的信号是离散时间信号。一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入、输出服从N阶差分方程(6-1)那么其系统函数，即滤波器的系统函数为(6-2)为了用专用硬件或软件实现对输入信号的处理，需要把式〔6-1〕或式(6-2)变换成一种算法。对于同一个系统函数H(z)，对输入信号的处理可实现的算法有很多种，每一种算法对应于一种不同的运算结构。例如：

(6-3)观察式(6-3)可知，对应于每一种不同的运算结构，我们都可以用三种根本的运算单元：乘法器、加法器和单位延时器来实现。这三种根本运算单元的常用流图表示方法如图6-1所示。图6-1三种根本运算的方框图及信号流图表示把上述三个根本单元互联，可构成不同数字网络或运算结构，也有方框图表示法和流图表示法。单位延时系数乘相加图6-2一阶系统的方框图及信号流图表示

图6-3二阶系统的方框图及信号流图表示

可通过流图或方框图看出系统的运算步骤和运算结构。以后我们用流图来分析数字滤波器结构。四、数字滤波器的分类滤波器的种类很多，分类方法也不同。1.从功能上分；低通、带通、高通、带阻。2.从实现方法上分:FIR、IIR3.从设计方法上来分：Chebyshev(切比雪夫〕,Butterworth〔巴特沃斯〕4.从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器1、经典滤波器假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的频带。当x(n〕经过一个线性系统〔即滤波器〕后即可将欲去除的成分有效地去除。但如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将无能为力。wc|H(ejw)||X(ejw)|wwc有用无用|Y(ejw)|wwc2.现代滤波器它主要研究内容是从含有噪声的数据记录〔又称时间序列〕中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征〔如自相关函数、功率谱等〕导出一套最正确估值算法，然后用硬件或软件予以实现。现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。本课程主要讲经典滤波器。3.模拟滤波器和数字滤波器经典滤波器从功能上分又可分为：低通滤波器〔LPAF/LPDF):Lowpassanalogfilter带通滤波器(BPAF/BPDF):Bandpassanalogfilter高通滤波器(HPAF/HPDF):Highpassanalogfilter带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstopanalogfilter即它们每一种又可分为：数字(Digital)和模拟(Analog)滤波器。4.模拟滤波器的理想幅频特性LPAFHPAFBPAFBSAF5.数字滤波器的理想幅频特性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如下图。〔系统的频率响应H(ejω)是以2π为周期的。)LPDFHPDFBPDFBSDF五、研究DF实现结构意义1.滤波器的根本特性〔如有限长冲激响应FIR与无限长冲激响应IIR〕决定了结构上有不同的特点。2.不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响复杂性，后者影响运算速度。3.有限精度〔有限字长〕实现情况下，不同运算结构的误差及稳定性不同。4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于模块化实现，便于时分复用。六、本章介绍主要的内容1.介绍IIR滤波器实现的根本结构。2.介绍FIR滤波器实现的根本结构。第二节

IIRDF的根本结构一、IIRDF特点1.单位冲激响应h(n)是无限长的n→∞2.系统函数H(z)在有限Z平面〔0<|Z|<∞)有极点存在。3.结构上存在输出到输入的反响，也即结构上是递归型的。二、IIRDF根本结构IIRDF类型有：直接型、级联型、并联型。直接型结构：直接I型、直接II型〔典范型〕。1、IIRDF系统函数及差分方程

一个N阶IIRDF的系统函数可表示为：以下我们讨论M<=N情况。那么这一系统差分方程为：

从这个差分方程表达式可以看出，系统的输出y(n)由两部分构成：第一部分 是一个对输入x(n)的M阶延时链结构，每阶延时抽头后加权相加，构成一个横向结构网络。第二部分 是一个对输出y(n)的N阶延时链的横向结构网络，是由输出到输入的反馈网络。由这两部分相加构成输出，从图上可以看出，直接Ⅰ型结构需要（N＋M）个延时器和（N＋M

＋1）个乘法器。2、直接I型

〔1)直接I型流图图6-4直接Ⅰ型结构

第一个网络实现系统的零点，第二个网络实现系统的极点。(2)结构的特点此结构的特点为：(1)两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二个有反响的N节延时网络实现极点。(2)共需(N+M)级延时单元(3)系数ai,bi不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制。(4)极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度〔有限字长〕运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。3、直接II型〔正准型/典范型〕

〔1)直接II型原理将上面直接型结构的两局部看成两个独立的网络〔即两个子系统〕。原理：一个线性时不变系统，假设交换其级联子系统的次序，系统函数不变。把此原理应用于直接I型结构。即：〔1〕交换两个级联网络的次序〔2〕合并两个具有相同输入的延时支路。得到另一种结构即直接II型。(2)直接II型的结构流图过程

1--对调x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bM-1bMZ-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1第一局部第二局部对调x(n)y(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bM-1bMZ-1Z-1对调(3)直接II型的结构流图过程

2--合并x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bM+1bMZ-1Z-1合并x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2bM+1bMy(n)y(n)

由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链，可以合并为一条即可。这就是直接II型的结构流图。(4)直接II型特点直接II型结构特点：(1)两个网络级联。第一个有反响的N节延时网络实现极点；第二个横向结构M节延时网络实现零点。(2)实现N阶滤波器〔一般N>=M)只需N级延时单元，所需延时单元最少。故称典范型。(3)同直接I型一样，具有直接型实现的一般缺点。例子IIRDF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。例子IIRDF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)代为Z-1的有理式；x(n)8-411Z-1Z-1y(n)5/4-3/4Z-1Z-1Z-11/8Z-1-25/4Z-1Z-1Z-1-3/41/8-411-28y(n)x(n)注意反响局部系数符号4、级联型结构

(1)系统函数因式分解一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示即系统函数的分子、分母进行因式分解：(2)系统函数系数分析(3)根本二阶节的级联结构(4)滤波器的根本二阶节所以，滤波器就可以用假设干个二阶网络级联起来构成。这每一个二阶网络也称滤波器的根本二阶节〔即滤波器的二阶节〕。一个根本二阶节的系统函数的形式为：一般用直接II型〔正准型、典范型表示〕x(n)β1ia2iZ-1Z-1a1iβ2iy(n)(5)用二阶节级联表示的滤波器系统整个滤波器那么是多个二阶节级联x(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2My(n)…...A例子设IIR数字滤波器系统函数为：1Z-1111Z-1Z-111y(n)x(n)(6)级联结构的特点从级联结构中看出：它的每一个根本节只关系到滤波器的某一对极点和一对零点。调整β1i,β2i,只单独调整滤波器第I对零点，而不影响其它零点。同样，调整a1i,a2i,……只单独调整滤波器第I对极点，而不影响其它极点。级联结构特点：(a)每个二阶节系数单独控制一对零点或一对极点，有利于调整滤波器频率响应性能。(b)分子分母中二阶因子可以配合成各种根本二阶节的方式，而各二阶根本节的排列次序也可以不同，它们都能代表同一个系统函数H(z)。但是，当用二进制表示时，只能采用有限位长，其所带来的误差，对各种实现方案是不一样的。因而对于配合与排列次序，都存在着最优化的问题。5、并联型

(1)系统函数的局部分式展开将系统函数展成局部分式的形式：用并联的方式实现DF。“相加〞在电路中实现用并联。如果遇到某一系数为复数，那么一定有另一个为共轭复数，将它们合并为二阶实数的局部分式。(2)并联型根本二阶节结构并联型的根本二阶节的形式：其中：要求分子比分母小一阶x(n)β0a2Z-1Z-1a1β1y(n)(3)根本二阶节的并联结构AN1Z-1a1x(n)aN1a11Z-1Z-1A1β11y(n)A0...β01a21a1N2a2N2β0N2β1N2其实现结构为：Z-1Z-1Z-1(4)并联型特点(1)可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零点(因为只为各二阶节网络的零点，并非整个系统函数的零点)。(2)其误差最小。因为并联型各根本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。假设某一支路a1误差为1％，但总系统的误差仍可到达少1％。(因为分成a1,a2…...支路).注意：(1)为什么二阶节是最根本的？因为二阶节是实系数，而一阶节一般为复系数。(2)统一用二阶节表示，保持结构上的一致性，有利于时分多路复用。(3)级联结构与并联结构的根本二阶节是不同的。〔5〕例子其并联结构为：x(n)Z-1Z-114y(n)161-61Z-1〔5〕例子其并联结构为：x(n)Z-1Z-1-3/4y(n)1/2将网络中所有支路的方向颠倒，但保持支路增益不变，并将输入与输出也颠倒过来，以使得源节点变成汇节点，汇节点变成源节点，那么得到了系统的一种新的结构。这一过程，成为转置。转置流图与原流图有相同的系统函数。z-1y[n]x[n]az-1y[n]x[n]a转置按前向通道从左到右z-1y[n]x[n]a容易看出，转置前后，系统函数均为：6、转置形式直接I型与转置…………z-1z-1z-1z-1z-1z-1b0b1b2bM-1bMa1a2aN-1aNy[n]x[n]直接I型…………z-1z-1z-1z-1z-1z-1b0a1a2aN-1aNb1b2bM-1bMy[n]x[n]转置直接II型与转置转置直接II型………z-1z-1z-1b0a1a2aN-1aNb1b2bN-1bNy[n]x[n]………z-1z-1z-1b0b1b2bN-1bNa1a2aN-1aNy[n]x[n]关于转置形式的几个要点转置前后系统函数不变。转置前后的根本结构不变，信号流图中的支路、延迟环节个数和系数也都不变。信号流图的支路是有方向性的，这种方向性决定了信号的流向，以及各个环节的时间先后，因此结构的转置，必然引起实现上的不同。转置形式的主要意义，在于提供实现结构的多种可能。第三节

FIRDF的结构

〔有限长冲激响应滤波器〕一、FIRDF的特点(1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零。即h(n)是个有限长序列。(2)系统函数|H(z)|在|z|>0处收敛，极点全部在z=0处(即FIR一定为稳定系统)(3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反响。但有些结构中〔例如频率抽样结构〕也包含有反响的递归局部。二、FIR的系统函数及差分方程长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：三、FIR滤波器实现根本结构〔1〕FIR的横截型结构〔直接型〕〔2〕FIR的级联型结构〔3〕FIR的线性相位结构〔4〕FIR的快速卷积结构1.FIR直接型结构

〔卷积型、横截型〕

(1)流图h(0)h(1)h(2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)h(0)h(1)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)转置〔2〕框图Z-1Z-1Z-1Z-1…….x(n)h(0)h(1)h(2)h(N-1)y(n)2.级联型结构

〔1〕流图当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成二阶实系数因子的形成：即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结构实现。x(n)β11Z-1Z-1β21β12Z-1Z-1β22β1N/2Z-1Z-1β2N/2y(n)…...β01β02β0N/21〔2〕级联型结构特点由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多，很少用。由于这种结构的每一节控制一对零点，因而只能在需要控制传输零点时用。3.线性相位FIR型结构

〔1〕定义所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系。〔2〕线性相位FIRDF具有特性h(n)是因果的，为实数，且满足对称性。即满足约束条件：h(n)=±h(N-1-n)其中:h(n)为偶对称时，h(n)=h(N-1-n);h(n)为奇对称时，h(n)=-h(N-1-n);下面我们针对h(n)奇、偶进行讨论。〔3〕h(n)为偶对称，N=偶数时(a)FIR的线性相位的特性令n'=N-1-n代入用n=n'再用n=n',并应用