2023年自考类计算机类(工学类)离散数学历年高频考题带答案难题附详解

2023年自考类计算机类(工学类)离散数学历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.构造下列推理的证明。

如果他训练刻苦，他必赢得比赛；如果他赢得比赛，他必得到总理的接见；总理没有接见他；所以他训练不刻苦。2.设图G=〈V，E〉，则下列结论成立的是______

A．deg(v)=|E|

B．deg(v)=2|E|

C．

D．3.设图G=〈V，E〉为有向图，V={v1，v2，v3，v4}，若G的邻接矩阵，则deg-(v2)=______，deg+=(v4)=______。4.设P、Q为两个命题，吸收律可表示为______。5.在全体正整数集Z+中规定∩，∪为：对任意的a，b∈Z+，

a∪b=[a，b]，即求a，b的最小公倍数；

a∩b=(a，b)，即求a，b的最大公约数；

则运算∩，∪满足结合律，交换律和吸收律，于是〈Z+，∩，∪〉是一个格。试判断下列集合是否是〈Z+，∩，∪〉的子格。

(1)A={1，2，3，9，12，72}；

(2)A={1，2，3，12，18}；

(3)A={5，52，53，…，5n}；

(4)T=2Z+={2k|k∈Z+}。6.设集合A有n个元素，集合B有m个元素，且，求的元素个数。7.下列语句是真命题的是______A.2既是偶数，也是素数B.自然数中存在最大素数C.今天天气真好呀D.π是有理数8.使公式成立的条件是______不含有y，______不含有x。9.设P={x(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x}，则下列选项正确的是______

A．

B．

C．

D．Q=P10.树中结点的最大层数定义为树的______，最大层数加1为树的______。11.在Klein四元群G={e，a，b，c}中，______是1阶元，______是2阶元。12.谓词公式中，变元y属于______A.约束变元B.既是自由变元，也是约束变元C.自由变元D.既不是自由变元，也不是约束变元13.设G=(a)是循环群，则G的生成元是______。14.设R={＜1，1＞，＜2，1＞，＜3，2＞，＜4，3＞}，求幂Rn，n=2，3，…15.设A={1，2，4}，A上的二无关系R的关系图如下图，则R具有的性质是______

A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性16.下列等价式不正确的是______

A．

B．

C．

D．17.设是环，则下列选项正确的是______

A．是Abel群

B．是可分配的

C．是可分配的

D．〈A，x〉是半群18.求下图的最小生成树。

19.设〈{a，b，c}，*〉为代数系统，*运算如下：

则零元为______A.没有B.aC.bD.c20.设R={〈3，1〉，〈2，3〉，〈5，3〉，〈3，4〉}是集合A={1，2，3，4，5}上的关系，则domR=______，ranR=______。21.n个结点的完全图记为Kn，那么当______时，Kn是平面图；当______时，Kn是非平面图。22.写出下图所示格的所有6元子格。

23.用矩阵的方法求下图中顶点v2、v5之间长度为2的路径的数目。

24.证明：整数集Z上的小于等于关系“≤”是一个偏序关系。25.若回路中，除起点与终点外，______均不相同，______也均不相同，则此回路称为初级回路。26.设X={0，1}，幂集为ρ(X)，下列关于代数系统〈ρ(X)，∩〉的陈述正确的是______

A．{0}是幺元

B．{1}是幺元

C．{0，1}是幺元

D．是幺元27.在简单无向图G=＜V，E＞中，如果V中的每个顶点都与其余的所有顶点邻接，则该图称为______A.正则图B.完全图C.强连通图D.连通图28.公式的约束变元为______，自由变元为______。29.n个结点的完全图记为Kn，那么当______时，Kn是平面图；当______时，Kn是非平面图。30.已知集合为A的幂集，

A．{〈a，a〉}

B．

C．

D．31.设S={φ，{1}，(1，2)}，则其幂集的元素个数为______。32.设A={1，2，3，4，5，8，12，24}，R为A上整除关系，试画出〈A，R〉的哈斯图，并求出A的最大元、最小元、极大元、极小元。33.设A={1，2，3，4，5，6}，为A上的整除关系，则A的最小元为______A.1B.3C.4D.634.命题公式P→(P∨Q)的主析取范式是______A.∑(0，1，2，3)B.∑(0，1，2)C.∑(0，2，3)D.035.下列既是哈密顿图又是欧拉图的是______

A．

B．

C．

D．36.设G是连通平面图，有v个顶点，e条边，且其平面表示中共有r个面，则e=______A.v+r+2B.r-v+2C.r+v-2D.v-r+237.下列数组中，能构成无向图的顶点度数的数组是______A.(1，1，2，3)B.(2，2，2，2)C.(3，2，3，4，5)D.(0，1，3，3)38.请写出表示德摩根律的两个命题公式等价定理______，______。39.设X={1，2，4，5，10，20}，R是X上的整除关系，则R是X上的偏序关系，其最大元是______，极小元是______。40.设A={0，1，2，3}，A上的关系R={＜0，1＞，＜0，2＞，＜0，3＞，＜1，2＞，＜1，3＞，＜2，3＞}，若Rm={＜0，3＞}，，则最小m=______，最小n=______。41.设Z+是正整数集，R是实数集，f：Z+→R，f(n)=log2n，则______A.仅是入射B.仅是满射C.是双射D.不是函数42.含n个命题变元的任一命题公式的指派个数是______A.nB.n2C.2nD.22n43.求命题公式的主析取范式。44.设A、B、C是集合，若A∩B=A∩C，～A∩B=～A∩C，证明：B=C。45.证明：边e是图G的一条割边，当且仅当图G中不存在包含边e的简单回路。46.设V=＜S，*＞是代数系统，*是集合S上的二元运算，若运算*是封闭的，且满足______，则称V为半群。47.构造下列命题的推理证明：

有些人喜欢所有的花，但人们都不喜欢杂草，所以花不是杂草。48.对公式中的自由变元代入可写为______。49.对实数的普通加法和乘法，______是加法的幂等元，______是乘法的幂等元。50.已知，计算A∪B，A♁B，A的幂集。第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：设p：他训练刻苦，

q：他赢得比赛，

r：他得到总理的接见。

前提：p→q，q→r，﹁r

结论：﹁p

证明：

(1)﹁r

P规则

(2)q→r

P规则

(3)﹁q

T(1)(2)I

(4)p→q

P规则

(5)﹁p

T(3)(4)I2.参考答案：D3.参考答案：2；1[考点]本题主要考查的知识点为有向图中顶点的出度和入度。[解析]由G的邻接矩阵A，可得G的图如下，

由图可知，deg-(v2)=2，deg-(v4)=1。4.参考答案：5.参考答案：(1)，(2)中的A虽然都是Z+的子集，(1)中2，3∈A，但是2∪3=[2，3]=6A，(2)中2，3∈A，但2∪3=[2、3]=6A，所以(1)和(2)对运算∪都不封闭，因此不是〈Z+，∩，∪〉的子格。(3)中A是Z+的子集，且对运算∪，∩封闭，因此是〈Z+，∩，∪〉的子格。

对于(4)，因为2n∪2m=[2n，2m]∈T，(m，n∈Z+)，2n∩2m=(2n，2m)∈T，所以T是格〈Z+，∩，∪〉的子格。6.参考答案：集合A中有n个元素，则中含有2n个元素；集合B中有m个元素，则中含2m个元素。

因为，所以，故中的元素的个数为2n+2m=2。7.参考答案：A8.参考答案：A(x)；B(y)9.参考答案：C[考点]本题主要考查的知识点为集合与集的关系表示。[解析]P={x|(x+1)2≤4)={x|-3≤x≤1}，Q={x|x2+16≥5x)=R。，故选C。10.参考答案：深度；高度11.参考答案：e；a、b、c12.参考答案：B13.参考答案：a、a-114.参考答案：由已知R={＜1，1＞，＜2，1＞，＜3，2＞，＜4，3＞}，得到

R2=={＜1，1＞，＜2，1＞，＜3，1＞，＜4，2＞}，

R3=={＜1，1＞，＜2，1＞，＜3，1＞，＜4，1＞}，

R4=={＜1，1＞，＜2，1＞，＜3，1＞，＜4，1＞}=R3，对任意的n≥4，均有Rn=R3。15.参考答案：D[考点]本题主要考查的知识点为二无关系的性质。[解析]由图可知，图中每个结点都没有环，故R不是自反的；结点1与4之间只有一个有向边，故R不是对称的；结点4到结点2有边，结点2到结点1也有边，但结点4到结点1没有边，故R不是传递的；排除A、B、C项，故选D。16.参考答案：A[考点]本题主要考查的知识点为等价关系。[解析]反之不行，故选A。17.参考答案：C[考点]本题主要考查的知识点为环。[解析]由环的定义可知，若是环，则〈A，*〉是Abel群，是半群，是可分配的，因此可排除A、B、D项，选C。18.参考答案：取e1=(v1，v2)=(v3，v4)，e2=(v1，v5)，e3=(v4，v5)=(v5，v6)，则题中所给图的最小生成树

如下图所示：

19.参考答案：D[考点]本题主要考查的知识点为代数系统中的零元。[解析]由*运算表可知，a*c=c，b*c=c，c*c=c，而c*a=c，c*b=c，所以c为零元。20.参考答案：{2，3，5}；{1，3，4}21.参考答案：n≤4；n≥522.参考答案：题图所示格的6元子格为{a，c，d，e，f，g)，{a，b，d，e，f，g}。23.参考答案：由图可知其邻接矩阵为

，

由A的2次幂可知，v2、v5之间长度为2的路径的数目为1。24.参考答案：①，则有a≤a，所以关系“≤”具有自反性。

②，a≤b且b≤a，则a=b，所以关系“≤”具有反对称性。

③，a≤b且b≤c，则a≤c，所以关系“≤”具有传递性。

综上所述，关系“≤”是一个偏序关系。25.参考答案：其余顶点；所有边26.参考答案：C[考点]本题主要考查的知识点为幺元。[解析]，{0}∩{0，1}={0，1}∩{0}={0}，{1}∩{0，1}={0，1}∩{1}={1}，故{0，1}是幺元。27.参考答案：B28.参考答案：x，z；y29.参考答案：n≤4；n≥530.参考答案：D[考点]本题主要考查的知识点为集合的幂集及笛卡儿积。[解析]因为A={a}，所以故应选D。31.参考答案：8[解析]有23=8个元素。32.参考答案：哈斯图如下图所示，它的最大元不存在；极大元为5，24；最小元为1；极小元为1。

33.参考答案：A[解析]A={1，2，3，4，5，6}，则其哈斯图为，则其最小元是1。34.参考答案：A[考点]本题主要考查的知识点为主析取范式。

[解析]P→(P∨Q)

35.参考答案：A36.参考答案：C37.参考答案：B[考点]本题主要考查的知识点为无向图的顶点度数。[解析]无向图的顶点度数总和必为偶数且为其边的2倍，故选B。38.参考答案：39.参考答案：20；1[考点]本题主要考查的知识点为偏序集的最大元、极小元。[解析]偏序集如下图：

由图可知，R的最大元是20，极小元是1。40.参考答案：3；4[考点]本题主要考查的知识点为关系的幂。[解析]。41.参考答案：A[考点]本题主要考查的知识点为函数、入射、满射、双射。[解析]若x1≠x2，则log2x1≠log2x2，所以f(n)=log2n是入射的；但f(n)=log2n不是Z+到R的满射。例如，但不存在x∈Z+，使得。故f仅是入射函数。42.参考答案：C43.参考答案：

即该公式的主析取范式为0。44.参考答案：(A∩B)∪(～A∩B)=(A∩C)∪(～A∩C)，

(A∪～A)∩B=(A∪～A)∩C，

E∩B=E∩C，

B=C。45.参考答案：(1)充分性。设图G的边e=(u，v)不包含在G的任一条简单回路中，则u，v之间除e外无任何通路，否则，若u，v之间存在另一条通路，那么加上边e就形成一条回路，这与题意矛盾。因此，去掉边e，则G不连通，故e为G