2023年研究生类研究生入学考试专业课电气与电子信息-信号与线性系统历年高频考题带答案难题附详解

2023年研究生类研究生入学考试专业课电气与电子信息-信号与线性系统历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.频谱函数x(jω)=δ(ω-2)+δ((ω+2)的傅里叶逆变换x(t)=______。2.积分式等于______。A.1B.0C.-1D.-23.已知某一连续时间线性时不变系统对信号x(t)的零状态响应为则该系统函数H(s)=______。

A．4X(s)·e-2s

B．4s·e-2s

C．

D．4X(s)4.如图(a)所示信号f(t)的傅里叶变换F(jω)=R(ω)+jX(ω)，则如图(b)所示信号y(t)的傅里叶变换Y(jω)为______。

A．

B．2R(ω)

C．iX(ω)

D．R(ω)5.如时间实函数f(t)的频谱函数F(jω)=R(ω)+jX(ω)，试证明f(t)的偶分量的频谱函数为R(ω)，奇分量的频谱函数为jX(ω)。6.计算下列序列的3点离散余弦变换。

(1)f(k)={15，20，32}

(2)f(k)={1，3，5}

(3)f(k)={11，13，15}7.写出图所示序列的函数表达式。

8.试用窗函数法设计一个截止频率为2kHz的线性相位FIR低通滤波器，假设抽样频率为12kHz，FIR滤波器的长度N＝10。在设计任务中，分别采用三角窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗函数设计出相应的滤波器。9.已知一离散时间LTI系统的系统函数为试画出该系统的并联型实现框图。10.求如图所示零阶保持电路的频响函数H(jω)。

零阶保持电路11.已知一离散时间因果LTI系统的系统函数为分别画出该系统的级联型和并联型模拟框图。12.已知一离散时间因果LTI系统H(z)的零极点图如图所示，且已知h[0]=3。求系统函数H(z)和系统的差分方程。

零极点图13.已知双边z变换求逆变换x[n]。14.描述如图所示RC电路的微分方程为求方程的齐次解。

所用的RC电路图15.如图所示信号由两个冲激组成，其傅里叶变换是______。

A．

B．2cos(ωτ)

C．

D．2sin(ωτ)16.证明卷积和的移序特性，即若e(k)*h(k)=y(k)，则

e(k-k1)*h(k-k2)=y(k-k1-k2)17.由N段阻值为R的均匀导线连接成正多边形，顶点分别为A1，A2，…，AN，多边形中点O也以相同导线与各顶点连接。设O点电压为零，A1点外加电压为1V，证明任意相邻两顶点Ak与Ak-1间的电流可用下式表示：

式中18.写出图中输入i(t)和输出u1(t)及u2(t)之间关系的线性微分方程，并求转移算子。

19.某离散时间LTI系统的差分方程描述为

y[n]+3y[n-1]+2y[n-2]=3x[n]

起始状态y[-1]=0，y[-2]=1。试求该系统的零输入响应。20.求图中电路的系统函数。21.一线性时不变系统具有非零的初始状态，已知当激励为e(t)时，系统全响应为r1(t)=e-t+2cos(πt)，t＞0；当初始状态不变，激励为2e(t)时，系统全响应为r2(t)=3cos(πt)，t＞0。求在同样初始状态条件下，当激励为3e(t)时系统的全响应。22.已知x(t)的波形如图所示，则x(5-2t)的波形为______。

A．

B．

C．

D．23.如果x[n]为一实偶信号且其z变换X(z)为有理函数，现已知z=z0和z=p0分别为x[n]的z变换的其中一个零点和极点。试再求出X(z)的另一个零点和极点。24.象函数的拉普拉斯逆变换x(t)为______。25.象函数的原函数为______。A.(e-2t-e-t)u(t)B.(e2t-et)u(t)C.(e-t-e-2t)u(t)D.(et-e2t)u(t)26.序列的z变换为______。

A．

B．

C．

D．27.某一个离散时间系统的差分方程为

y[n]+a2y[n-1]+a1y[n-2]+a0y[n-3]=x[n]

列写出该系统的状态方程和输出方程。28.29.已知f1(t)=ε(t+1)，f2(t)=ε(t+2)-ε(t-2)，设f(t)=f1(t)*f2(t)，则f(-1)=______。A.0B.1C.2D.330.给出信号流图如图(a)所示，采用流图代数的原则，将信号流图进行化简。

31.若一个离散时间LTI系统用二阶差分方程描述如下

假定其输入起始状态为y[-1]=1和y[-2]=-2。计算系统的输出值y[1]。32.图(a)为一反馈系统框图，(b)为其在K＞0时作出的ω≥0部分的开环转移函数的复轨迹。如K可取负值，试用奈奎斯特判据确定系统稳定的K值范围，并通过罗斯-霍维茨判据校核。

33.已知X(z)=e1/z，计算x[n]。34.已知离散时间LTI系统的系统函数为

求当输入时系统的强迫响应yF[n]。35.已知对称矩形脉冲信号的傅里叶变换为求矩形脉冲信号f(t)=f1(t+T)+f1(t)+f1(t-T)(T≠τ)的频谱函数F(jω)。36.利用DFT的卷积性质求题中各对序列的4点循环卷积。

(1)f1(k)={4，2，10，5}，f2(k)={3，7，9，11}

(2)f1(k){1，2，3，4}，f2(k)={1，1，1，1}

(3)f1(k){1，1，1，1}，f2(k)={1，1，1}

(4)f1(k){1，2，3，4}，f2(k)={0，1，0}37.分别求图(a)、(b)、(c)所示网络的下列转移算子：

(1)i1对f(t)；(2)i2对f(t)；(3)u0对f(t)。38.已知则的傅里叶变换为______。

A．-2X(j2ω)

B．2X(j2ω)

C．

D．39.写出描述如图所示系统的微分方程。40.H(s)的零点和极点中仅______决定了h(t)的函数形式。41.已知图所示电路的初始状态为零，求下列两种情况下流过AB的电流i(t)。

(1)激励为电流源iS(t)=ε(t)A；

(2)激励改为电压源eS(t)=ε(t)V。42.已知F1(jω)=FT{f(t)}，利用傅里叶变换的性质求F2(jω)=FT{f(6-2t)}。43.已知周期信号f(t)的幅度|Fk|、相位φk分别如图所示，求该周期信号f(t)的表达式。

44.已知系统函数如下，判断该系统是否为因果系统?

45.写出如图所示各波形信号的函数表达式。

46.已知ROC为|z|＜1，求x[n]。47.某离散时间LTI系统的系统函数为H(z)，唯一决定该系统单位样值响应h[n]函数形式的是______。A.H(z)的零点B.H(z)的极点C.系统的输入序列D.系统的输入序列与H(z)的极点48.已知某离散时间LTI系统的响应y[n]=(-2)-nu[n]+δ[n]+u[n]，其稳态响应分量为______。A.(-2)-nu[n]B.δ[n]C.δ[n]+u[n]D.u[n]49.求图(a)、(b)所示系统的系统函数并粗略绘其频率响应。

50.如图所示，x(t)为原始信号，y(t)为变换信号，y(t)的表达式是______。

A．x(-t+1)

B．

C．x(-2t+1)

D．x(t+1)第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：2.参考答案：C3.参考答案：B4.参考答案：B5.参考答案：证明对于实函数f(t)来说，其频谱函数的实部为偶函数，虚部为奇函数，即

R(ω)=R(-ω)，X(ω)=-X(-ω)

f(t)的偶分量

其频谱函数

f(t)的奇分量

其频谱函数6.参考答案：解

当N=3时，CN矩阵等于

(1)

故

(2)

故

(3)

故7.参考答案：解

(a)由图(a)可知该序列在0≤k≤4时值为2，故可利用单位阶跃序列表示为

f(k)=2[ε(k)-ε(k-5)]

(b)由图(b)可知该序列是一个以为首项，以为公差的等差右边序列，故其函数表达式为

(c)由图(c)可知该序列在-3≤k≤-1时值为1，在1≤k≤3时值为-1，故利用单位阶跃序列可表示为

f(k)=[ε(-k-1)-ε(-k-4)]-[ε(k-1)-ε(k-4)]

(d)由图(d)可知该序列在区间[-3，-1]上值满足表达式8+2k，在区间[1，3]上满足表达式8-2k，且k=0时值为6，故其函数表达式为

f(k)=(8+2k)[ε(-k-1)-ε(-k-4)]

+6δ(k)+(8-2k)[ε(k-1)-ε(k-4)]

或f(k)=(8+2k)[ε(-k-1)-ε(-k-4)]

-2δ(k)+(8-2k)[ε(k)-ε(k-4)]

或f(k)=(8+2k)[ε(-k)-ε(-k-4)]-10δ(k)

+(8-2k)[ε(k)-ε(k-4)]8.参考答案：解

求出目标系统的单位函数响应

如果采用三角窗，则

hd(k)=h(k)·ω(k)

其中

故得

hd(k)={0，-0.0101，0.0283，0.1415，0.2831，0.2831，0.1415，0.0283，-0.0101，0}

如果采用汉宁窗，则

hd(k)=h(k)·ω(k)

其中

故得

hd(k)={0，-0.0053，0.0263，0.1592，0.3088，0.3088，0.1592，0.0263，-0.0053，0}

如果采用汉明窗，则

hd(k)=h(k)·w(k)

其中

故得

hd(k)={-0.0057，-0.0085，0.0293，0.1635，0.3096，0.3096，0.1635，0.0293，-0.0085，-0.0057}

如果采用布莱克曼窗，则

hd(k)=h(k)·ω(k)

其中

故得

hd(k)={0，-0.0023，0.0164，0.1337，0.3028，0.3028，0.1337，0.0164，-0.0023，0}9.参考答案：[解]当系统函数出现重极点时，在并联型实现中，为减少单位延时器的使用数量，可以采用一阶项的级联来实现高阶项。由此实现的模拟框图如图所示，H(z)中项是通过两个一阶系统的串联来实现的，即由的串联来实现。这样实现这个三阶系统仍然只需3个单位延时器。本题若单独设计三阶系统H(z)中的三个并联部分，则共需要使用4个单位延时器。

系统的并联型实现10.参考答案：[解]先求出系统的单位响应h(t)，再求频响函数H(jω)。

当零阶保持电路的输入x(t)=δ(t)时，有

ω(t)=δ(t)-δ(t-T)

从而可写出系统的单位冲激响应为

对上式求傅里叶变换，得

11.参考答案：级联型

首先，对H(z)进行整理，表示为

上式表明，可以通过两个一阶子系统H1(z)和H2(z)的级联来实现一个二阶系统H(z)，如下图(a)所示。每个子系统又可以用直接Ⅱ型实现，如下图(b)所示。

系统的级联型实现

(2)并联型

将H(z)作部分分式展开，得

上式表明可以通过三个低阶子系统H3(z)、H4(z)和H5(z)的并联来实现一个二阶系统H(z)，如下图(a)所示。每个子系统可以用直接Ⅱ型实现，如下图(b)所示。

系统的并联型实现12.参考答案：[解]由零极点图可得

根据初值定理

已知h[0]=3，求得K=3。于是系统函数为

由于

对上式交叉相乘，得

对上式作逆变换，得系统的差分方程为

13.参考答案：[解]X(z)可以表示为

的部分分式展开形式为

于是，得

本题没有给定ROC，因此需要根据极点位置来讨论。X(z)有两个极点，因此存在三种可能的ROC，如图所示。

三种收敛域

(1)对于图(a)，ROC为|z|＞2，它位于以极点的最大模为半径的圆外且包含∞，根据前面讨论的ROC性质可知逆变换对应于因果信号。因此

(2)对于图(b)，收敛域为因此，它的逆变换为双边信号，其中展开式中第一项对应的逆变换为因果信号。

展开式中第二项(极点z=2)对应的逆变换为反因果信号。

由此，得逆变换为

(3)对于图(c)，收敛域为因此所有项对应于反因果信号。

14.参考答案：[解]先写出齐次方程

根据前面的分析知齐次解的形式为yn(t)=A1eα1t，其中α1是特征方程

RCα1+1=0

的根。解得从而得到该系统的齐次解为

15.参考答案：B16.参考答案：证

由卷积和的定义得

令j-k1=x，则

17.参考答案：证明

设顶点Ak(k=1，2，…，N)的电位为Ek，导线OAk的电阻为r。

由图，对顶点Ak，由KCL，有

I(k)=Ik+I(k+1)

①

又

代入式①得

整理得

由图知，，于是，故最终得差分方程

再回到需证明的结论上来，由双曲正弦、双曲余弦函数的积化和、差公式2sinhA·sinhB=cosh(A+B)-cosh(A-B)，知

将其与进行对比，可设想

于是

这里，即

将式③、④、⑤代入式②的左边，得

左边

将式⑥代入上式，同时考虑到

cosh(N-2k-4)θ+cosh(N-2k)θ=2cosh(N-2k-2)θ·cosh2θ

从而有左边

说明式③中的Ek是方程②的解，从而证明了任意相邻两顶点Ak与Ak-1间的电流为

18.参考答案：解根据题图，可写出节点电流方程

由①式得

对②式微分得

将③式代入④式得

即

由②式得

将⑥式代入①式得

即

对⑦式再微分一次，得

根据⑤式和⑧式可得转移算子

19.参考答案：[解]根据系统的差分方程可写出特征方程为

α2+3α+2=0

解得特征根为α1=-2，α2=-1。因此可设系统的零输入响应形式为

yzi[n]=Azi1(-2)n+Azi2(-1)n

根据起始状态，有

解得Azi1=-4，Azi2=2。所以该系统的零输入响应为

yzi[n]=[-4(-2)n+2(-1)n]u[n]

下面讨论零状态响应yzs[n]的求解方法。yzs[n]是在不考虑起始时刻系统储能的作用下，由系统外加输入信号单独作用下的响应，它满足方程

及起始状态y[-k]=0(k=1，…，N)。如果系统特征方程有N个不同的特征根αk(k=1，2，…，N)，则yzs[n]的一般形式为

式中D[n]为特解，Azsk为待定常系数。可以看到，零状态响应是由一部分自由响应和强迫响应组成的。20.参考答案：解

(a)由图(a)所示电路图可得系统的转移导纳函数

即

(b)由图(b)所示电路图可得系统的输入阻抗函数

即21.参考答案：解设系统的零输入响应为rzi(t)，当激励为e(t)时的零状态响应为rzs(t)，则有

联立解得

所以，激励为3e(t)时系统的全响应为

r3(t)=rzi(t)+3rzs(t)=4cos(πt)-e-t，t＞022.参考答案：C23.参考答案：[解]由于x[n]为一实偶信号，则

x[n]=x[-n]

由时域反转性质，得

X(z)=X(z-1)

由此可知，去也必是X(z)的零点和极点。24.参考答案：sintu(t)-sin(t-τ)u(t-τ)；25.参考答案：B26.参考答案：D27.参考答案：[解]根据差分理论，当已知起始状态y[-3]，y[-2]，y[-1]及，n≥0时的输入x[n]就可确定系统未来的状态，由此得到启示，可选取状态变量为

q1[n]=y[n-3]

q2[n]=y[n-2]

q3[n]=y[n-1]

于是有状态方程

q1[n+1]=y[n-2]=q2[n]

q2[n+1]=y[n-1]=q3[n]

q3[n+1]=y[n]=-a0y[n-3]-a1y[n-2]-a2y[n-1]+x[n]

=-a0q1[n]-a1q2[n]-a2q3[n]+x[n]

输出方程为

y[n]=q3[n+1]=-a0q1[n]-a1q2[n]-a2q3[n]+x[n]

将状态方程写成矢量矩阵形式有

28.参考答案：1-e-jωt0；29.参考答案：C30.参考答案：[解]流图的化简依次如图(b)、(c)、(d)所示。

第一步，消去节点x3和x4，得到图(b)。

第二步，消去节点x2，得到图(c)。

第三步，消去节点x1，得到图(d)。

信号流图化简过程31.参考答案：[解]将差分方程整理为

要求y[1]，可用迭代法，先求出y[0]，再求y[1]。

所以用迭代法求得32.参考答案：解

反馈系统的闭环转移函数

当s在s平面中沿jω轴从-j∞变到j∞时，按照F(jω)=1+G(jω)H(jω)，可在F(jω)平面中作出相应的复轨迹，此轨迹是s平面中jω轴映射到F(jω)平面的曲线，称之为奈奎斯特图。

奈奎斯特判据：若F(s)=1+G(s)H(s)在右半s平面有n：个零点和np个极点，则当ω由-∞变到∞时，在G(jω)H(jω)平面中的奈奎斯特图按顺时针方向围绕-1+j0点nz-np次；若nz＜np，则按逆时针方向围绕-1+j0点np-nz次。

为判断系统是否稳定，需考察系统函数分母多项式F(s)=1+G(s)H(s)在右半s平面是否有零点，利用上述奈奎斯特图的方法，还需了解F(s)在右半s平面的极点情况，事情比较麻烦。然而在一般情况下，系统未接入反馈时，此即开环特性是稳定的，这时G(s)H(s)没有极点在右半s平面，随之，F(s)也没有极点在右半s平面，即np=0，于是可得出在开环特性稳定条件下的奈奎斯特判据：

当ω由-∞变到∞时，在G(jω)H(jω)平面中的奈奎斯特图按顺时针方向围绕-1+j0点的次数等于系统函数分母多项式F(s)=1+G(s)H(s)在右半s平面的零点数，即反馈系统闭环转移函数的极点数。因此，若在G(jω)H(jω)平面中的奈奎斯特图不包含-1+j0点，则系统稳定，否则系统不稳定。

因为奈奎斯特图中的ω从0到∞的部分与ω从0到-∞的部分在G(jω)H(jω)平面中关于实轴成镜像对称，所以K＞0时的奈奎斯特图如图(c)所示。

由图(c)可知，K＞0时的奈奎斯特图不包含-1+j0点，故此时系统稳定。又由图(a)可知，在该反馈系统中

开环频响特性为

根据上式可知，若K可取负值，则其奈奎斯特图可由K＞0时的奈奎斯特图绕原点顺时针方向旋转180°得到，如图(d)所示。

幅频特性

相频特性φ(ω)=-[arctanω)+arctan(ω/2)]

当，位于负实轴上，即

当，即K＞-2时，奈奎斯特图不包含-1+j0点，所以当K＞-2时系统稳定。

又由于系统函数

系统特征方程为s2+3s+K+2=0

R-H阵列：

据罗斯-霍维茨判据可知，要使系统稳定，须有

K+2＞0

故当K＞-2时，该网络稳定，其结果与上述用奈奎斯特判据得到的结果一致。33.参考答案：[解]由于

因此

得

当然，该题也可以利用z域微分性质来求解。具体步骤如下。

由于

则

由z域微分性质及移位性质，得

nx[n]=x[n-1]。

上式是一个x[n]的递归表示式。为求此递归式，需知初始值。根据初值定理，得

这样

结合上述两式，可得

34.参考答案：[解]输入信号的复频率为因此

这样系统的强迫响应

35.参考答案：[解]根据傅里叶变换的时移特性，可写出

如果对信号f(t)不仅进行了时移，还同时进行了尺度变换，则带有尺度变换的时移特性为

根据傅里叶变换的定义，可得傅里叶变换的频移特性

FT{f(t)ejω0t}=F(j(ω-ω0))

FT{f(t)e-jω0t}=F(j(ω+ω0))

频移特性表明信号在时域中与复因子ejω0t相乘，则在频域中将使整个频谱向右平移ω0。综合FT{f(t)ejω0t}=F(j(ω-ω0))和FT{f(t)e-jω0t}=F(j(ω+ω0))，并利用欧拉公式，可得到

36.参考答案：解

本题中涉及的循环卷积的长度及DFT、FDFT的长度均为4，故只需考虑W4方阵。以下计算均利用矩阵，W4方阵直接给出其值。

(1)f1(k)={4，2，10，5}，f2(k)={3，7，9，11}

先求F1(m)和F2(m)。

即

F1(m)=(21，-6+j3，7，6-j3}

F2(m)={30，-6+j4，-6，-6-j4}

则F(m)=F1(m)·F2(m)={630，24-j42，-42，24+j42}

通过IDFT，可得

即f1(k)与f2(k)的4点循环卷积结果为{159，189，135，147}。

(2)f1(k)={1，2，3，4}，f2(k)={1，1，1，1}

先求F1(m)和F2(m)。

即

F1(m)={10，-2+j2，-2，-2-j2}

F2(m)={4，0，0，0}

则F(m)=F1(m)·F2(m)={40，0，0，0}

通过IDFT，可得

即f1(k)与f2(k)的4点循环卷积结果为{10，10，10，10}。

(3)f1(k)={1，1，1，1}，f2(k)={1，1，1}

由第(2)小可知F1(m)={4，0，0，0}，而

即

F2m={3，-j，1，j}

则F(m)=F1(m)·F2(m)={12，0，0，0}

通过IDFT，可得

即f1(k)与f2(k)的4点循环卷积结果为{3，3，3，3}。

(4)f1(k)={1，2，3，4)，f2(k)={0，1，0)

由第(2)小题可知F1(m)={10，-2+j2，-2，-2-j2}，而

即

F2(m)={1，-j，-1，j}

则F(m)=F1(m)·F2(m)={10，2+j2，2，2-j2}

通过IDFT，可得

即f1(k)与f2(k)的4点循环卷积结果为{4，1，2，3}。37.参考答案：解(a)由图(a)可写出回路电压方程。

对两方程再微分一次，得

解之得

又

由此可得

(b)由图(b)可写出网络的节点方程。设节点1、2的电位分别为u1(t)、u2(t)，则有

对两方程再微分一次，得

解之得

又

由此可得

(c)对图(c)可由欧姆定律，得

由此可得

38.参考答案：B39.参考答案：

40.参考答案：极点；41.参考答案：解设上下两个电容上的电压分别为u1(t)和u2(t)，极性均为上正下负。

(1)当激励源为电流源时，根据图可得节点方程：

写成算子形式为

由此解得

系统转移算子为

则系统单位冲激响应为

于是在iS(t)=ε(t)A激励下的响应为

(2)当激励源为电压源时，根据图可得方程：

写成算子形式为

由此解得

系统转移算子为

则系统单位冲激响应