正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理正弦定理和余弦定理是解三角形的基本定理。正弦定理指出，在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为△ABC外接圆半径）。根据正弦定理，可以得到a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC。同时，sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R，因此可以得到a:b:c=sinA:sinB:sinC。余弦定理则是描述了三角形中边与角之间的关系，其中a²=b²+c²-2bccosA，b²=c²+a²-2cacosB，c²=a²+b²-2abcosC。在使用正弦定理和余弦定理解三角形时，需要注意判断解的个数和角的类型。如果一个三角形有一个锐角，那么它就是锐角三角形，如果有一个直角，那么它就是直角三角形，如果有一个钝角，那么它就是钝角三角形。对于锐角三角形，可以使用余弦定理求解角度和边长；对于直角三角形，可以使用勾股定理求解边长；对于钝角三角形，可能会有无解或者有两个解的情况。除了正弦定理和余弦定理，还有一些常用的三角形面积公式，如S=ah/2，S=bcsinA/2，S=p(p-a)(p-b)(p-c)/2，其中p=(a+b+c)/2。针对一些典型问题，可以使用正弦定理和余弦定理进行求解。例如，已知a、b和角B，可以使用正弦定理求解角A；已知a、b和角C，可以使用余弦定理求解边c。同时，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形。但是，需要注意sinA>sinB的充分不必要条件是A>B，而a²+b²<c²是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件。对于具体问题的求解，需要根据已知条件选择合适的公式进行代入计算。例如，在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8，则可以使用余弦定理求解角B，进而求解角A和角C。而在△ABC中，若a=18，b=24，A=45°，则可以使用正弦定理求解边c，进而判断三角形是否有解。所以sinB=sinA=sin45°=1/√2。因为a<b，所以B有两个解。在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2A=sinA，bc=2，则△ABC的面积为1/2×b×c×sinA=1/2×2×√2/2×√2/2=1/2。在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=120°。解法为：根据2bcosB=acosC+ccosA得到cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，再根据余弦定理得到cosB=1/2，所以B=120°。在△ABC中，B=π/3，BC边上的高等于BC，则cosA=1/2。解法为：根据正弦定理得到a=4/3，根据余弦定理得到b^2=13/9，再根据高公式得到c=2/3，所以cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=1/2。在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinB+sinA(sinC-cosC)=3/10，a=2，c=2，则C=4π/3。解法为：根据已知得到sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=3/10，整理得到sinC(sinA+cosA)=3/10，因为sinC≠0，所以sinA+cosA=3/10sinC，再根据余弦定理得到cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=-1/2，所以sinA=√3/2，cosA=-1/2，从而得到sinC=2/√5，cosC=-1/√5，所以C=4π/3。1.正、余弦定理的选用在解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。2.三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。[通关练习]1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2a，bsinB-asinA=asinC，则cosB为()解析：选B。由bsinB-asinA=asinC，且c=2a，得b=2a，所以cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=-1/4。2.已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若(2a+c)cosB+bcosC=1，则角B的大小为()解析：选C。法一：因为(2a+c)cosB+bcosC=1，所以(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=2sinAcosB+sin(B+C)=2sinAcosB+sinA=1，因为sinA≠0，所以cosB=-1/2，又B为△ABC的内角，所以B=2π/3。法二：因为(2a+c)cosB+bcosC=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)+(b^2+a^2-c^2)/(2ab)=1，所以b^2=a^2+c^2+ac，所以cosB=-ac/(2b^2)=-1/2，所以B=2π/3。3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=3，∠B=2∠A，cosA=3/5，则b=________。解析：在△ABC中，由cosA=3/5，得sinA=4/5。又∠B=2∠A，所以sinB=2sinAcosA=24/25。由正弦定理得b=2a(sinB/2)=3.6。剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落,然后再小幅度的改写每段话。利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(1)设$\triangleABC$的内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$b\cosC+c\cosB=a\sinA$，则$\triangleABC$的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定(2)（优质试题·山西怀仁月考）若$a^2+b^2-c^2=ab$，且$2\cosA\sinB=\sinC$，那么$\triangleABC$一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【解析】(1)由正弦定理得$\sinB\cosC+\cosB\sinC=\sin2A$，则$\sin(B+C)=\sin2A$，由三角形内角和，得$\sin(B+C)=\sinA=\sin2A$，即$\sinA=\dfrac{1}{2}$，所以$\angleA=30^\circ$，即$\triangleABC$为直角三角形．(2)法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得$\dfrac{\sinC}{c}=\dfrac{\sinB}{b}$，由$2\cosA\sinB=\sinC$，有$\cosA=\dfrac{b}{2c}$.由余弦定理得$\cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，所以$\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{b}{2c}$，即$b^2+c^2-a^2=ab$.又由余弦定理得$\cosC=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，所以$\cosC=\dfrac{b}{2a}$，又因为$0^\circ<C<180^\circ$，所以$2ab>b^2$，即$2a>b$.所以$a^2+b^2-c^2=ab$，$2a>b$，即$a^2+b^2-c^2>0$，所以$\triangleABC$为锐角三角形．法二：利用角的关系来判断：因为$A+B+C=180^\circ$，所以$\sinC=\sin(A+B)$，又因为$2\cosA\sinB=\sinC$，所以$2\cosA\sinB=\sinA\cosB+\cosA\sinB$，所以$\sin(A-B)=0$.又因为$A$与$B$均为$\triangleABC$的内角，所以$A=B$，又由$a^2+b^2-c^2=ab$，所以$a^2+b^2-c^2-ab=0$，即$(a-b)^2=c^2$.又因为$0^\circ<C<180^\circ$，所以$2ab>b^2$，即$2a>b$.所以$(a-b)^2=c^2$，$2a>b$，即$a=b$，又因为$a^2+b^2-c^2=ab$，所以$b^2+c^2-a^2=ab$，即$b^2=ac$，所以$\triangleABC$为等腰直角三角形．【答案】(1)A(2)C若将本例(1)条件改为“$2\sinA\cosB=\sinC$”，试判断$\triangleABC$的形状．判定三角形形状的两种常用途径：要判定三角形的形状，有两种常用的途径。第一种是将边角关系化为角度关系，通过角度关系来判断三角形的形状。第二种是将角度关系化为边角关系，通过边角关系来判断三角形的形状。在化为角度关系时，需要注意使用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；在化为边角关系时，需要注意使用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系。通关练习：1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA<0，则△ABC为钝角三角形。解析：选择A。已知cosA<0，由正弦定理得sinC<sinBcosA，所以sin(A+B)<sinBcosA，即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0，所以cosBsinA<0。又因为sinA>0，于是有cosB<0。故B为钝角，所以△ABC是钝角三角形。2.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC。(1)求角A的大小；(2)若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状。解：(1)由题意知，根据正弦定理得2a^2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a^2=b^2+c^2+bc。由余弦定理得a^2=b^2+c^2-2bccosA，故cosA=-1/2，A=120°。(2)由a^2=b^2+c^2+bc得sin^2A=sin^2B+sin^2C+sinBsinC/4。又sinB+sinC=1，故sinB=sinC=1/2。因为60°<B<90°，60°<C<90°，故B=C。所以△ABC是等腰钝角三角形。与三角形面积有关的问题：求解与三角形面积有关的问题是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题。高考对正、余弦定理应用的考查有以下三个命题角度：(1)求三角形的面积；(2)已知三角形的面积解三角形；(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题。典例引领：角度一求三角形的面积。1.利用三角形面积公式和三角函数公式解题；2.利用三角形的特殊性质，如等腰三角形、直角三角形等，简化计算；3.利用三角形的不等式，如三角形两边之和大于第三边等，确定数值范围；4.利用三角形的几何意义，如高、中线、角平分线等，求解问题；5.利用三角形的相似性质，如相似三角形的面积比等于边长比的平方等，求解问题；6.利用三角形的面积最大或最小的性质，求解问题。1.求三角形的面积。一般情况下，使用面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，根据已知的角度使用相应的公式计算。2.已知三角形的面积，求解三角形。与面积有关的问题，一般需要使用正弦定理或余弦定理进行边和角度的互换。3.求解有关三角形面积或周长的最值（范围）问题。一般可以转化为一个角度的三角函数，利用三角函数的有界性求解，或者使用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解。【通关练习】1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面积为1＋2，则b的最小值为2。2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋B/C)＝8sin2，(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b。解析：1.由a＝bcosC＋csinB及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，即sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB，得sinCcosB＝sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB＝1。因为B∈(0，π)，所以B＝π/4。由S△ABC＝acsinB＝1＋2，得ac＝22＋4。又b2＝a2＋c2－2accosB≥2ac－2ac＝(2－2)(4＋22)＝4，当且仅当a＝c时等号成立，所以b≥2，b的最小值为2。2.(1)由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2，故sinB＝4(1－cosB)。上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1（舍去），cosB＝15/17。(2)由cosB＝15/17得sinB＝8/17，故S△ABC＝acsinB＝ac。又S△ABC＝2，则ac＝17/21。由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2×17/21×(1＋15/17)＝4，所以b＝2。全国名校高考数学复习优质学案汇编（理科，附详解）化为角的关系利用公式将表达式中的角转化为边，进而利用正弦定理和余弦定理转化角的正弦值和余弦值。例如，对于三角形ABC，根据余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA，可以联系已知条件，利用方程思想求解三角形的边和角。同时，可以利用重要不等式b^2+c^2≥2bc，得到a^2≥2bc-2bccosA，进而探求边或角的范围问题。易错防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，需要注意分类讨论，因为有时可能出现一解、两解或无解。在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。求边、角、面积等范围问题对于三角形的范围问题，可以利用已知条件和重要不等式探求边或角的范围。例如，当出现b+c或bc等结构时，可以利用重要不等式b^2+c^2≥2bc推导出a^2≥2bc-2bccosA，进而探求边或角的范围。同时，对于等式两边是角的齐次形式a^2+b^2-c^2=λab，也可以利用相关的公式和定理求解范围问题。例2(1)将表达式中的角利用公式转化为边，出现角化边角的正弦值用正弦定理转化，出现角的余弦值由余弦定理转化。例如，根据余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA，可以联系已知条件，利用方程思想进行求解三角形的边。同时，可以利用重要不等式b^2+c^2≥2bc，得到a^2≥2bc-2bccosA，进而探求边或角的范围问题。例2(2)在锐角三角形中，利用正弦定理和余弦定理求解角和边的问题。例如，根据正弦定理3sinBcosC=sinC-3sinCcosB，可以求解sinC∶sinA的比值。根据余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA，可以求解三角形的边。注意分类讨论，避免漏解。例3-3利用已知条件和重要不等式探求边或角的范围。例如，根据已知条件S△ABC=22和sinA=1/3，可以利用余弦定理求解b的值。同时，可以利用重要不等式b^2+c^2≥2bc，得到a^2≥2bc-2bccosA，进而探求边或角的范围问题。所以c＝1.由面积公式sinC＝2S/ab，代入已知条件得sinC＝2sinAsinB，再利用正弦定理得sinC＝2sinA(1-sinA)，解得sinA＝1/2或sinA＝1/3，对应角A分别为30度和19.47度，由三角形内角和可得角C为150度或160.53度，但因为角C必须小于180度，所以角C的值为150度。2．(优质试题·安徽江南十校联考)设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C＝3∶4∶5，则S2的值为()A.12πB.24πC.2πD.4π解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，又A∶B∶C＝3∶4∶5，所以A＝π/5，B＝3π/10，C＝π/2.由正弦定理可得，a＝(2/3)c，b＝(8/15)c，R＝c/(2sinC).所以S1＝(1/2)absinC＝(1/2)(2/3)c(8/15)c(sinC)＝(4/45)c^2sinC，S2＝πR^2＝π(c^2/(4sin^2C)).所以S2/S1＝(π/4)(45/16)＝(45/64)π，故选A.3．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．解析：在△ABD中，设BD＝x，则BA^2＝BD^2＋AD^2－2BD·AD·cos∠BDA，即14^2＝x^2＋10^2－2·10x·(1/2)，整理得x^2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．在△BCD中，由正弦定理：sin∠DBC/sin∠BCD＝BD/BC，即sin(135°－60°)/sin135°＝16/BC，所以BC＝16sin45°(1+√2)＝16(1+√2)，故答案为16(1+√2)．5.(优质试题·洛阳市第一次统一考试)如图，平面四边形ABDC中，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，AB＝AD＝2，BC＝1，则四边形ABDC的面积为________．解析：在△ABC中，∠CAB＝∠CBD＝60°，所以△ABC为等边三角形，BC＝AB＝2.在△ADC中，∠DAC＝30°，所以△ADC为30°-60°-90°三角形，AD＝2，CD＝√3.所以四边形ABDC的面积为(1/2)(2+2)(√3)＝2√3.(1)已知$\angleABC=75^\circ$,$AB=10$,$AC\parallelBD$，求$CD$的长度。解：由已知，易得$\angleACB=45^\circ$。在$\triangleABC$中，$\dfrac{10}{CB}=\dfrac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ}$，解得$CB=\dfrac{5\sqrt{6}}{2}$。因为$AC\parallelBD$，所以$\angleADB=\angleCAD=30^\circ$，$\angleCBD=\angleACB=45^\circ$。在$\triangleABD$中，$\angleADB=30^\circ=\angleBAD$，所以$DB=AB=10$。在$\triangleBCD$中，$CD=\sqrt{CB^2+DB^2-2CB\cdotDB\cos45^\circ}=\dfrac{5\sqrt{6}}{2}-\dfrac{5\sqrt{2}}{2}=\dfrac{5\sqrt{6}-5\sqrt{2}}{2}$。(2)已知$BC=10$，求$AC+AB$的取值范围。解：由余弦定理，$AC^2+AB^2-2\cdotAC\cdotAB\cos60^\circ=BC^2=100$，化简得$AC\cdotAB\leq\dfrac{(AC+AB)^2-100}{4}$。又因为$\dfrac{(AC+AB)^2-100}{4}=3\cdotAC\cdotAB$，所以$AC\cdotAB\leq3\cdotAC\cdotAB$，即$1\leqAC\cdotAB$。所以$AC+AB=\sqrt{AC^2+AB^2+2\cdotAC\cdotAB\cos60^\circ}\leq\sqrt{4\cdotAC\cdotAB}\leq2\sqrt{AC\cdotAB}$。又因为$AC\cdotAB\leq\dfrac{(AC+AB)^2-100}{4}