2021年度现代控制理论三习题库

信息工程学院当代控制理论课程习题清单

3学分，48学课程归属授课专业

学分、学时自动化系自动化大三

时（系、专业）年级

总章节或

6授课周数16教师教龄2

总单元

命题教师课程负责人教学副院长

签名签名签名

课程目的：

自动控制领域科学研究办法，已经由最早典型控制中以输入输出模型为主，发展为现今

当代控制中以状态空间模型为主。因而，“当代控制理论”是从事自动化专业必备知识。”当

代控制理论”教学目的是使学生牢固树立线性系统中状态空间概念、进一步理解系统稳定性

这一控制学科最为重要概念，掌握能控与能观、状态反馈与状态预计等核心办法。通过本课

程学习，使学生做到各章概念融会贯通，解题办法灵活运用，分析解决实际问题。从宏观角

度把握课程体系构造，建立起当代控制理论基本框架。重要培养学生如下三个方面能力：

1、分析建模能力

依照系统工作原理或实验数据，建立合理数学模型。

2、认知和理解能力

理解与掌握能控性、能观测性与系统设计关系，系统矩阵与稳定性关系，输出反馈与状

态反馈关系。

3、设计实行能力

依照系统不可变某些及给出综合性性能指标，设计出满足控制系统规定状态反馈矩阵，

并画出模仿电路图。

第一章（单元）：

绪论

本章节（单元）教学目的：

重要简介控制理论产生背景及当代控制理论研究重要内容,使学生对当代控制理论发展

及其所研究重要问题有一种初步理解，并且复习、补充关于《线性代数》内容。

重点内容：逆矩阵、线性无关与线性有关定义、非齐次方程求解、哈密顿定理、定号性

理论等。

1.系统数学描述可分为哪两种类型？

预习题

2.自然界存在两类系统：静态系统和动态系统，有何区别？

1.当代控制理论研究重要内容是什么？

复习题2.当代控制理论研究对象？

3.当代控制理论所使用数学工具备哪些？

4.当代控制理论问题解决办法是什么？

练习题1.控制一种动态系统几种基本环节是什么？

第二章（单元）：

控制系统状态空间表达式

本章节（单元）教学目的：

对的理解线性系统数学描述，状态空间基本概念，纯熟掌握状态空间表达式，线性变换，

线性定常系统状态方程求解办法。

重点内容：状态空间表达式建立，状态转移矩阵和状态方程求解，线性变换基本性质，

传递函数矩阵定义。规定纯熟掌握通过传递函数、微分方程和构造图建立电路、机电系统状

态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当原则型。难点：状态变量

选用非唯一性，多输入多输出状态空间表达式建立。

1.当代控制理论中状态空间模型与典型控制理论中传递函数有何区别？

2状.态、状态空间概念？

预习题3.状态方程规范形式有何特点？

4.状态变量和状态矢量定义？

5.如何建立状态空间模型？

6.如何从状态空间表达式求传递函数？

（x=AxBu

1.如何写出SISO系统状态空间表达式相应传递函数阵表达式ly=Cx+Du

2.若已知系统模仿构造图，如何建立其状态空间表达式？

3.求下列矩阵特性矢量

r1-ioi

A=202

-10-52

4.（判断）状态变量选用品有非惟一性。

5.（判断）系统状态变量个数不是惟一，可任意选用。

6.（判断）通过恰当选取状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输

出关系系统，表达为状态空间描述。

7.（判断）传递函数仅合用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定

复习题常系统中应用，也可以在时变系统中应用.

8.如果矩阵A有重特性值，并且独立特性向量个数不大于n,则只能化为

模态阵。

9.动态系统状态是一种可以拟定该系统______（构造，行为）信息集合。

这些信息对于拟定系统______（过去，将来）行为是充分且必要。

10.如果系统状态空间表达式中矩阵A,B,C,D中所有元素均为实常数时，

则称这样系统为__（线性定常，线性时变）系统。如果这些元素中

有些是时间t函数，则称系统为______（线性定常，线性时变）系统。

11.线性变换不变化系统______特性值，状态变量）。

12.线性变换不变化系统______（状态空间，传递函数矩阵）。

13.若矩阵An个特性值互异，则可通过线性变换将其化为_____（对角阵，

雅可比阵）。

14.状态变量是拟定系统状态______（最小，最大）一组变量。

15.以所选取一组状态变量为坐标轴而构成正交______（线性，非线性）空

间，称之为______（传递函数，状态空间）。

1.试求图1-27系统模仿构造图，并建立其状态空间表达式。

练习题

图1-27系统方块结构图

有电路如图所示，设输入为，输出为，试自选状态变量并列写出其状

态空间表达式。

有电路如图1-28所示。以电压必（。为输入量，求以电感中电流和电容

上电压作为状态变量状态方程，和以电阻R2上电压作为输出量输出方

程。

图1-28电路图

建立图P12所示系统状态空间表达式。

两输入％,u2,两输出切，当系统，其模仿构造图如图1-30所示,

试求其状态空间表达式和传递函数阵。

图1-30双输入■双输出系统模拟结构图

6.系统构造如图所示。以图中所标记玉、%、毛作为状态变量，推导其

状态空间表达式。其中，〃、y分别为系统输入、输出，《、。2、

均为标量。

--------------------------@-----------------------

⑶②⑦

7.试求图中所示电网络中，以电感右上支电流匹、/作为状态变量

状态空间表达式。这里〃是恒流源电流值，输出y是R,上支路电压。

8.已知系统微分方程》+/+4很+5y=3〃，试列写出状态空间表达式。

9.已知系统微分方程2y+3夕=&-“，试列写出状态空间表达式。

10.已知系统微分方程了+2/+3夕+5y=5i7+7〃，试列写出状态空间表

达式。

11.系统动态特性由下列微分方程描述

y+5y+7y+3y=u+3〃+2u

列写其相应状态空间表达式，并画出相应模仿构造图。

12.已知系统传递函数W(s)=—"S+D试求出系统约旦原则型实

S(S+2)(S+3)2

现，并画出相应模仿构造图

13.给定下列状态空间表达式

y=[o01

(1)画出其模仿构造图；(2)求系统传递函数

14.已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状

态变量图。

S3+5+1s?+2s+3

⑴g(s)=⑵g(s)

+6s2+11,V+6$3+2s~+3s+1

15.列写图所示系统状态空间表达式。

16.求下列矩阵特性矢量

010

A=302

-12-7-6

17.将下列状态空间表达式化成约旦原则型(并联分解)

-41--21「3r

x2=102x2+2711

3」

?3_1-1一*3__53_

飞

弘一'120"

x2

*011

18.试将下列状态方程化为对角原则形。

0

⑴

19.试将下列状态方程化为约当原则形。

X41-2一3r

比2102X2+27

%11

当-13__X3_53_

20.已知系统状态空间表达式为

--5-11\2

X=x+U

3-1J|_5

y=[12]X+4M

求其相应传递函数。

21.设离散系统差分方程为

y[k+2)+5y(k+1)+3y(左)=u(k+1)+2u(k)

求系统状态空间表达式。

22.已知两系统传递函数分别为WQ）和W2（s）

1111

叱(s)=S+1s+2吗(s)=s+35+4

5+11

00

s+2_一s+1

试求两子系统串联联结和并联连接时，系统传递函数阵，并讨论所得成果

23.已知如图1-22所示系统，其中子系统1、2传递函数阵分别为

11-

10

叱(s)=5+1SW(s)=

1201

0

5+2.

求系统闭环传递函数

24.已知差分方程为

y(k+2)+3y(k+1)+2y(&)=2a(Z+1)+3u(k)

试将其用离散状态空间表达式表达，并使驱动函数u系数b(即控制列阵)为

「11

b=

1

25.某机械位移系统，物体在外力/(£)作用下产生位移y(£)，当位移y(£)微

y1k

yCt)=——F(t)+-v(t)

小变动时，系统动态方程为：mm

其中血为物体质量，卜为弹性系数，尸(。为外力。

1)求取以y(t)、y(t)为状态变量,以u(t)=F(t)为输入,y(t)为输出状

态方程和传递函数；

2)判断参数m,k对系统能控性和能观性有何影响。

26.考虑如下系统传递函数：

y(s)_S+6

U(s)52+55+6

试求该系统状态空间表达式能控原则形和可观测原则形。

27.考虑下列单输入单输出系统：

9+6/+111+6y=6M

试求该系统状态空间表达式对角线原则形。

28.考虑由下式定义系统：

x-Ax+Bu

y=Cx

式中

试将该系统状态空间表达式变换为能控原则形。

29.考虑由下式定义系统：

x=Ax+Bu

y^Cx

式中

试求其传递函数Y(s)/U(s)。

30.考虑下列矩阵：

0100

0010

A=

0001

1000

试求矩阵A特性值储局入3和右。再求变换矩阵P，使得

kAP=diag（4"2,4,乙）

31.试建立图示电路状态空间表达式。

32.试建立图示电路状态空间表达式。

33.试建立图示系统状态空间表达式。

5

34.已知系统微分方程，试列写出状态空间表达式。

2/+4夕+y="

35.已知系统微分方程，试列写出状态空间表达式。

y+5/+3y=ti+3u

36.已知系统微分方程，试列写出状态空间表达式。

•y+5/+3y=3u

37.设系统微分方程为y+5y+8y+6y=3M，求系统状态空间表达式。

38.设系统状态空间表达式为

010王0

X=001%一0U

-5-3-2x31

不一

B9

£

y=_22_

_%3一

求系统传递函数。

39.已知系统传递函数，试列写出状态空间表立士式，并画出状态变量图。

G(S)-

S(S+1)(S+3)

40.已知系统传递函数，试列写出状态空间表达式，并画出状态变量图。

§2+2$+3

仃⑸=3,

S+1

41.已知系统传递函数，试列写出状态空间表达式，并画出状态变量图。

G〜(s、)=10

s+5s~+4s+l

42.己知系统传递函数，试列写出状态空间表达式，并画出状态变量图。

G(s)=————

S(S+2)2(S+3)

43.试求图示机械系统传递函数矩阵。

44.己知系统状态空间表达式为试求系统传递函数矩阵。

第三章(单元)：

控制系统状态空间表达式解

本章节(单元)教学目的：

对的理解线性定常系统自由运动和受控运动概念，纯熟掌握矩阵指数计算办法，掌握离

散时间系统状态方程求解办法。

重点内容：状态转移矩阵定义、性质和计算办法，状态方程求解公式；线性定常系统状

态方程求解办法

1.线性定常持续系统在输入为零时，由初始状态引起运动称为运动

预习题

2.线性定常续系统状态方程解由哪两个某些构成？

3.线性变换基本性质涉及哪两个不变性？

1.写出线性定常持续系统齐次状态方程解矩阵指数表达式

x(t)=

2.写出线性定常持续系统非齐次状态方程解矩阵指数表达式

x(t)=e"x(O)+eA(t~T)Bu(r)dT

J0

复习题

3.系统状态变量与输入之间关系用一组一阶微分方程来描述数学模型称

之为______o

4.线定定常持续系统状态方程解由两某些相加构成，一某些是

____________________,第二某些是_____________________,

5.对于任意时刻t,系统输出不但和t关于，并且与t时刻此前累积关于，

此类系统称为______o

1.试求下列矩阵相应状态』传移矩阵。

「011

4=

0-1

2.试求下列矩阵相应状态4茂移矩阵。

4=

40

3.已知线性定常系统状态:空间表达式，求单位阶跃辑.入时状态方程解。

011「0])=T

X-x+ux(0[o]

-2-3jL1.

练习题4.已知线性定常系统状态:空间表达式，求单位阶跃物.入时状态方程解和

输出响应。

-01_「2]「「

X=x+ux(0)=y=[12卜

-5-6|_1

5.用三种办法计算如下矩[年指数函数。

(\n

A=

(41J

6.下列矩阵与否满足状态^传移矩阵条件，如果满足，试求与之相应A阵。

①⑺=

e~'-e~2'2e-2'-e''

7.下列矩阵与否满足状态转移矩阵条件，如果满足，试求与之相应A阵。

8.求下列状态空间表达式解:

01]「°一

x=x+u

0oj|_1_

y=(l,0)x

初始状态x(0)=；,输入“(r)时单位阶跃函数。

9.有系统如图2.2所示，试求离散化状态空间表达式。设采样周期分别为

T=0.1s和1s,而〃।和小为分段常数。

U2

5K/(s+l)]*@+»1/s

►2

图2.2系统构造图

10.用三种办法计算下列矩阵A矩阵指数函数建，

11.用三种办法计算下列矩阵A矩阵指数函数

'010'

A=001

-6-11-6

12.已知系统状态方程和初始条件为

'100"

x=010x,x(0)=

012

(1)试用拉氏变换法求其状态转移矩阵；

(2)试用化对角原则形法求其状态转移矩阵；

(3)试用化为有限项法求其状态转移矩阵；

(4)依照所给初始条件，求齐次状态方程解。

13.矩阵A是2x2常数矩阵，关于系统状态方程式文=Ax,有

1

x(0)=时,

-1

2

x(0)=［时，

试拟定这个系统状态转移矩阵①(f,0)和矩阵A。

14.已知系统£=Ax转移矩阵①。小)是

22

①亿外=2e~'-e~'2"(e-'-e~'j)试拟定矩阵A。

°[e-'-e-2'2e-2,-e-'_

15.计算下列矩阵矩阵指数函数e'。

"0r

A=

00

16.已知系统状态空间表达式为

'011「「

X—X+U

y=[i1上

(1)求系统单位阶跃响应；(2)求系统脉冲响应。

17.计算下列矩阵矩阵指数函数e'。

-20

A=

0-1

18.求下列系统在输入作用为：①脉冲函数：②单位阶跃函数：③单位

斜坡函数下状态响应。

19.求下列系统在输入作用为：①脉冲函数；②单位阶跃函数；③单位

斜坡函数下状态响应。

010

x=,(八x+〃

-ab-(a+b)J[1

20.计算下列矩阵矩阵指数函数e"。

F01]

A=

-10

21.线性时变系统文(。=4(。”(。系数矩阵如下。试求与之相应状态转移

矩阵

/、。1]/、「0。一

⑴A")=0t；⑵4(')=t0

22.计算下列矩阵矩阵指数函数

「12]

A=

01

23.己知线性定常系统状态空间表达式，求单位阶跃输入时状态方程解和输

出响应。

一。1]「2]「1]r1

文=(x+"x(0)=y=\\2]x

—J—OJ|_1

24.已知线性定常系统状态空间表达式，求单位阶跃输入时状态方程解。

■o11ro]rr

x-x+u.r(0)=

_-2-3J|_1J|_0_

25.计算下列矩阵矩阵指数函数eA，

--I10'

A=0-10

00-2

26.计算下列矩阵矩阵指数函数

'100'

A=010

012

27.计算下列矩阵矩阵指数函数

'010'

A=001

000

28.给定线性定常系统

x=Ax

式中

■or

A-

-3-2_

且初始条件为

r

X(O)=,

试求该齐次状态方程解x(/)。

29.已知系统方程如下

■o11rr

X-x+u

-6-5JL°_

y=[l-1卜

求输入和初值为如下值时状态响应和输出响应。

T

1)u(t)-0,x(0)=0；2)u(t)-1(/),x(0)=

1

3)«(/)=1(/),x(0)=]；4)«(/)=/•1(/),x(0)=

30.验证下列矩阵与否满足状态转移矩阵条件，若满足，求相应状态系数矩

阵A。

①(»=

-+e-3'~(e-'+e-3')

2

31.求定常控制系统状态响应

、

01’0、

W)=x(f)+w(r),r>0,x(0)=，〃⑺=l(r)

-1-2

yJ

32.对线性定常系统；t=Ar(f),已知

x(0)=1时x(f)=

—1

「21

x(0)=时x(r)二

—1

求系统矩阵A。

33.已知线性时变系统系统矩阵如下，计算状态转移矩阵①«,0)。

t010

1)AQ)=2)A(t)=

00t1

34.给定系统比=A(7)x和其随着方程2=-⑺z,其状态转移矩阵分别

用中(/Jo)和①«,幻表达，证明：①Q,7)①I«,，o)=/。

35.求解下列系统状态响应。

0011

x=x+u,无⑴=w(r)=l(/-l)

t02

36.已知如下离散时间系统，x(0)=[-l咪，必伏)是从单位斜坡函数t

采样得到，求系统状态响应。

0.50.125

x(k+1)=x(k)+[u(k)

0.1250.5

37.己知线性定常离散系统差分方程如下:

y(左+2)+0.5y(左+1)+0.1^(女)="(左)

若设〃(％)=l,y(O)=l,y(l)=O,用递推法求出y伙)，左=2,3,……10。

38.设线性定常持续时间系统状态方程为

010

X+u,t>0

x20-2Xj1

取采样周期T=0.1s,试将该持续系统状态方程离散化。

39.已知线性定常离散时间系统状态方程为

11

--

28

-玉U)104(A)

11*2(攵)+0

--1%(%)

82

%(0)-1

々(0)3

设%(%)与%(左)是同步采样，场化)是来自斜坡函数r采样，而％伏)

是由指数函数6一'采样而来。试求该状态方程解。

40.已知如下离散时间系统，试求“(Q,使系统能在第二个采样时刻转移

到原点。

-10.51-0.3]

x(k+1)=x(k)+u(k)

00.1J0.4

第四章（单元）：

线性系统能控性和能观性

本章节（单元）教学目的：

对的理解定常和离散系统能控性与能观性基本概念与判据，纯熟掌握能控原则型与能观

原则型，对偶原理，规范分解，理解传递函数实现问题。

重点内容：能控、能观含义和定义，定常系统能控、能观各种判据，线性变换不变性。

难点：可达性和可检测性，格兰姆矩阵判据、PBH秩判据和约当规范型判据。

1.系统最小实现充要条件是什么？

预习题2.何谓系统最小实现？

3.何谓系统实现问题？

4.何为系统一致能控？

后_11m1.从传函角度阐明状态不完全能控和不完全能观系统因素。

2.系统能控性判据有哪些？

3.系统能观性判据有哪些？

1.化状态方程为对对角线原则形。

「-21I「0]

(1)X=X+U

L1-2」|_1J

2.化状态方程为对角线原则形。

「01］「°〕

X=X+U

|_-2-3」Ld

3.化矩阵A=12为约当原则形。

|_01J

始_，斯4.判断下列系统能控性。

练习题

用riiirx.1roi

民」Li。」上「［i」

5.判断下列系统能控性。

除J「0101「尤|］「1r

1

x2=001x2+01

上3—2—4—3xy—11-

6.判断下列系统能控性。

'x~\「-3101rX11「1-..

tWI

文2=0-30x2+00

x300-1x320L”」

7.判断下列系统状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d取值对能控性和能

观性与否关于，若关于，其取值条件如何？

图3.16系统模拟结构图

8.时不变系统

试用两种办法鉴别其能控性和能观性。

9.判下列系统状态能控性和输出能控性。

Iy=[0i]x

io.判下列系统状态能控性和输出能控性。

-3

X=0

0

「I

y=L

ii.判断下列系统能观测性。

春]』11%

0x2

1产

y=[i

x2

12.①已知系统29+2丁=露+“+2〃，试求其状态空间最小实现。

②设系统状态方程及输出方程为

-11o--o-

X=010x+1u;y=[001].Y

0-111

试鉴定系统能控性O

13.判断下歹U系统能观测性O

010XI-

x2二001x2

-3

-2-4X3_

-01-r

=x2

儿121

壬_

14.判断下列系统能观测性O

*043J

*2=02016：2

?3.0-25-204:3_

y二=[--130]J2

J

15.试拟定当p与q为什么值时下列系统不能控，为什么值时不能观测。

NJ-i12p

+ll

一年i0I卜L^J

y=b

E」

16.试证明如下系统

~20-1O-a

x2二4160+bii

?3.12-618_*3_c

无论a功，。取何值都不能控。

17.已知两个系统，和S2状态方程和输出方程分别为

°「01]「0一

S,：X=34%〃

y=[2ik

必=工2

若两个系统按如图P3.6所示办法串联，设串联后系统为S。

1）求图示串联系统S状态方程和输出方程。

2）分析系统§2和串联后系统S可控性、可观测性。

.卢—夕S?|^

18.拟定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观待定常数％和以

19.已知传递矩阵为

「仆「2（S+3）4（S+4）

⑻［（s+Us+2）

试求该系统最小实现。

20.将下列状态方程化为能控原则形

-21Ff

x+u

41

21.设系统传递函数是

y（s）s匚+__a_________________

“（s）s'+10.y*+27s+18

（1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观？

（2）当a取上述值时，求使系统完全能控状态空间表达式。

（3）当a取上述值时，求使系统完全能观状态空间表达式。

22.已知控制系统如图P4.4所示。

图P4.4系统构造图

1）写出以用，马为状态变量系统状态方程与输出方程。

2）试判断系统能控性和能观性。若不满足系统能控性和能观性条件,

问当&与K?取何值时，系统能控或能观。

3）求系统极点。

23.已知系统微分方程为：y+6y+lly+6y=6〃

试写出其对偶系统状态空间表达式及其传递函数。

24.系统传递函数为

+8

G(s)=2s

2?+12?+225+12

1）建立系统能控原则形实现。

2）建立系统能观测原则形实现。

25.已知系统传递函数为

s~+6>v+8

W(s/)+=4-^s：--+--3------

试求其能控原则型和能观原则型。

26.系统状态方程：

王

y=[def]X2

壬

试讨论下列问题：

1）能否通过选取a,b，c使系统状态完全可控？

2）能否通过选取d,e,/使系统状态完全可观?

27.将下列状态方程和输出方程化为能观原则形。

1-12

x=X+U

11

y=1l]x

28.给定下列状态空间方程，试鉴别其与否变换为能控和能观原则型。

■010'

X=-2-30x+1u

-11-3A

[O0l]x

y=

29.试将下列系统按能控性进行分解

-12-f

A=010,b=°,C=[1-11]

0-43JJ

30.试将下列系统按能观性进行构造分解

-12-f叫

A=010力=o，C=[1一11]

0-43JJ

31.试将下列系统按能控性和能观性进行构造分解

'10O-T

A=223,b=2,c=[i12]

-201.2]

32.求下列传递函数阵最小实现。

卬3I

33.设弓和心是两个能控且能观系统

「01],「0]r1

%：A[=_3_4'0=]'&=@i]

S2：A2=-2,b2=LC,=1

（1）试分析由z和4所构成串联系统能控性和能观性，并写出其传递函数;

（2）试分析由2和七所构成并联系统能控性和能观性，并写出其传递函数。

34.考虑由下式定义系统

X==Ax+Bu

y二-Cx

式中

--I-2-i\r2

A=0-11,3=0,C=U1OJ

10-1J[1

试判断该系统与否为状态能控和状态能观测。该系统是输出能控吗？

35.下列能控原则形

x=Ax+Bu

y=Cx

式中

■010-

A=001,B=0,C=[2091]

-6-11-6,1J

是状态能控和状态能观测吗？

36.考虑如下系统

x-Ax+Bu

y=Cx

式中

■oioiro-

A=001,8=1,C=c2c3]

-6-11-6j[o

除了明显地选取G=C2=。3=0外，试找出使该系统状态不能观测一

组C],c2和c3。

37.给定线性定常系统

x=Ax+Bu

式中

F-io11Fol

A=1-20,B=0,C=[l10]

[o。-3」[1」

试将该状态空间表达式化为能控原则形和能观测原则形。

38.给定线性定常系统

x=Ax+Bu

y=Cx

式中

F-1o1jFol

A=1-20,B=\]\,C=[111]

L°°-3JbJ

试将该状态方程化为能观测原则形。

第五章（单元）：

稳定性与李雅普诺夫办法

本章节（单元）教学目的：

对的理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定性概念，纯熟掌握李氏第一法，李氏第

二法，掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳定性分析办法。

重点内容：李雅普诺夫第一、第二法重要定义与定理，李雅普诺夫函数，线性定常系

统与非线性系统稳定性定理与鉴别，李雅普诺夫方程，渐近稳定性分析与鉴别。难点：李雅

普诺夫函数构造与选用，离散系统稳定性定理及稳定判据。

1.何谓平衡态？

预习题2.李氏稳定性理论讨论是动态系统各平衡态附近_______问题。

3.李氏函数具备什么性质？

4.李亚普诺夫意义下稳定含义？

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