2021年度精算师考试金融数学课本知识精粹

第一篇：利息理论

第一章：利息基本概念

优⑺

oo-------

a(t)

1、有关利息力：＜a⑺=J'

J；A{n)6tdt=A(n)-A(0)

j(m)4(p)

2、(i+——)m=i+i=-]=(i-dy}=(i------yp=/

mvp

r.

单利率下的利息力：b,二—二

2'1+it

3、j

但贴现下的利息力：3=—

['ti-id

|■严格单利法（英国法）

4、投资期的确定常规单利法（欧洲大陆法）

银行家规则（欧洲货币法）

5、等时间法：/=上一

%

k=l

第二章年金

(Xy\—1+1)Cl~n\~d—ri+1

1n\n-l\

1、＜

5月—S—](1+i)S川=S--i—1

In\zi+ll

Vd'n\—Clm+n\—。浣1

3、零头付款问题：（1）上浮式（2）常规（3）扣减式

4：变利率年金（1）各付款期间段利率不同

（2）各付款所根据利率不同

5、付款频率与计息频率不同年金

（1）付款频率低于计息频率年金

现值:曳

期末付年金:叼…….永续年金现值:二-

终值:随领

<「

现值生

期初付年金:的・・・・・・・・永续年金现值:」

终值:包,囹

（2）付款频率高于计息频率年金

I

现值:碎）二

乂加）.泳续年金现值:占

期末付年金:

终值：s，二耳二I

一••（/）|-Vn

现值:阂=~M~

永续年金现值:，

期初付年金:

..（⑼(1+i)"—1

终值:焉二

乂加）

（3）持续年金（注意：与永续年金区别）

»nl-vn

vdt—

o8

(1+，)”—1

$引=二（1+，）14=

S

6、基本年金变化

(1)各年付款额为等差数列

々-I-nV一

匕=pa^+Q-^~.—（现值）

n

a-1—nvn—a-^

（0%=na^\--—

期末付虹式年金：%=(/a)万+M'(£>a)村=%•叼

期末付平顶虹式年金：匕)=(/。).+丫"(Da)/=%。5叔

(2)各年付款额为等比数列

](1+左)〃,V左：％不存在

%=一七=，=左：％=占不存在

i>k:%存在

7、更普通变化年金：

(1)在(⑷肃基本上，付款频率不大于计息频率形式

(2)在(⑷温基本上，付款频率不不大于计息频率形式

每个计息期内的m次付款额保持不变（/〃严\二写上

<

每个计息期内的m次付款额保持不变（尸％产'二当篝

（3）持续变化年金：

①：有n个计息期，利率为i,在t时刻付款率为t,其现值为

斯—nv

（/叫:二丁

②：有n个计息期，利率为i,在t时刻付款率为了⑺，其现值为

v（0）=jof^dt

第三章收益率

i、收益率（内部收益率）由v（°）=£,6二°可求出

r=0

2、收益率唯一性：

（1）若在。〜n期间内存在一时刻t,t之后期间里钞票流向是一

致，t之前期内钞票流向也一致，并且这两个流向方向相

反，则收益率唯一。

(2)若在O-nT内各发生钞票流时刻，投资(涉及支出及回收,

总称投资)积累额不不大于0,则该钞票流唯一。

3、再投资收益率：

(1)情形一：在时刻0投资1单位，t时刻积累值：1+啊

(2)情形二：在原则金中，t时刻积累值：

s-y-n

n+/(Zs1)—=n+i--------

〃一1j

4、基金收益率：A：期初基金资本量B：期末基金本息和

I：投资期内基金所得收入Cz：t时刻钞票流(O<r<l)

C：在此期间钞票流之和c=Zc，

t

(1)i«---------------

A+ZG(IT)

/

21

(2)at(钞票流在0T期间内均匀分布)

A+B-l

(3)z®--------(其中％=5>(G/C))

注意：上述求收益率办法也叫投资额加权收益率

5、时间加权收益率

i=(l+i1)(l+i2)-\i+im)-l

6、投资组合法：计算出一种基于整个基金所得平均收益率，然后依

照每个资金账户所占比列与投资时间长度分派基金收益

投资年法：按最初投资时间和投资所持续时间，以及与各时间相

C（l+i：）（l+g）…（1+£）……k<m

联系利率，积累值为：

C（l+i：）（l+与）…（1+成）（1+产+*〉…（1+产）..…k>m

为投资年法年数，即若投资时间未满m年，运用投资年法计算收益；

若超过某些按投资组合法计算收益率。在y年投资第t年收益率记为

7、股息贴现模型

(1)每期末支付股息°,假定该股票收益率为r,则它理论价格为：

念（1+r）"

(2)每期末支付股息以公比(1+g)呈等比增长，假定该股票收益率

为则它理论价格为：p=a

第四章债务偿还

1、分期偿还表（原则年金，贷款额因，年利率i,每期末还款额为1）

时刻每次还款额每次还款中所包每次还款中所未偿还贷款余额

tR,含的自增利息L包含的本金p,B,

0%

11

211-产1/**1

■11■■

■11

1n-t+1产"

t11-V1%

(■1।(11

■■■■

n-\1l-v2

n11-VV0

总计n〃一因

第k期偿还款中利息某些记为4；本金某些为必

nk+i

4=1—L+ipk=v~

2、持续偿还分期偿还表

时刻的余额｛=a——I_

苒=砧（1+犷

，时亥IJ偿还的本金禾IJ息

pt=l-I=l-3Br

3、偿还频率与计息频率不同分期偿还表

(1)若偿还期计息k次(偿还频率不大于计息频率)

时刻还款还款额中的利息部分还款额中的本贷款余额

S额RsIv金部分p,B,

0卬与

n

k1%/SR=1-vRrk=M'BO-PA=%/S浦

2k1\-vn-kvnka~^2k\/sk\

■I1(I

a■aa■

tk1产(f-l)Aa^/sk\

■Ii1

■a(■■

n-k11-*

n11-vk0

总计n!k〃/我-%/$浦%/与

（2）若每计息期偿还哮款m次（偿还频率不不大于计息频率）

表（4-4）4"）的分期偿还表

时刻还款额还款额中的利息部还款额中的本金贷款余额

SRs分Is部分PsBs

0

产)1

\/m\1m—B=-(l-vn)Rl/m一~—v，i稣-E，产保

m()mm

1n~—|n——

2/tni/m—(1-V吟——vm

mm

(■■।(

■■■a■

1n---1〃-巴m

tlm\/m-(1-vw)——Va(砌

mm

(i■(■

■■■■■

1-

n~\/m\/m—(1-v™)——

mm

1-1-

n\/m—(l-vw)—0

mm

总计n〃-第第

4、偿债基金表

每次总支利息基金偿债基金

基金利息收入净贷款

时刻出额支付存款余额

SFI,余额NB

Lz+DL/DSFB,;

0L=Dsd

1Lz+DLiD0DSfijL-DSj]j

2Lz+DLzDDS

jD5jl.=D[(l+/-)-1]2\jL-Ds用

2

3Li+DUDD[(l+/)-l]Ds用L-Ds布

(■■II■

■■■■•I•

tLi+DUDDKi-vT'-i]Ds方L-Ds方

■*■■■■(

(1

■I

nLz+DuDDKHyT'-l]Ds兀=LL-D阳广0

总计〃(Li+D)nLi〃DD(5^.-ri)=L-nD

第五章债券及其定价理论

1、债券价格

P：债券的价格N:债券的面值C：债券的赎回值

r:票利率Nr：票息额g:修正票息率g=Nr/C(N;C时，g=r)

i:收益率n:票息到期支付次数K=Cv〃

G:基础金额G=Nr/i

%：所得税率

(1)所得税后债券价格：

n

基本公式:p=Nr(l-tl)an+Cv

溢价、折价公式：p-c=[Nr(lTj-。吟

,基础金额公式：P=G(1-0)+[C-G(1-匚)]v〃

Makeham公式：p=K+迎匕红(C—K)

、i

(2)所得税、资本增益税后(当购买价格低于赎回值)债券价格：

P=p-t2(c-p)vJp二一^---------

1-鹏/c

(3)如果债券购买时间不是付息日，则债券全价(如)

NrNrNr+C

tP二-----1----；—

(1+炉(1+i严n-1+w

2、溢价与折价

本金调节：溢价摊销或折价积累

期次7西TC自心、利息收入本金调节账面值

0gl+p=l+(g_i)%

1g41+(gT)%]l+(gT』

2g心+(g-』](g-Ml+(g-&

•••«

tg小+年一加中]l+(g-)aR

•••«

n-lg41+(gT)%](g-"l+(g-，)/

ng汨+(g-%](g—)M1

共计ngng-p(g_i)%=〃

3、票息支付周期内债券估价

债券平价：Bt+k扣除应计票息后买价称为市价：B3k

公式：弘=矶+四〃或琮「麻岫

B晨=6(1+讨

(1)理论法3Nr=NJ"”—-1

ki

BM=6(1+讨-Nr_]

Il~rKIx/I•

现「4(1+切

(2)实务法:<N4=kM

B3k=BtQ+ki)—kNr

“刊(i+，y

⑶混合法:<N〃=kM

k

B^k=Bt(l+i)-kNr

4、收益率拟定

由p=C+C（g-i）a^八卷可导出

kk

g--S—

n

,H+1或4/2)

1H--------k7l+—k

2n2

4、可赎回债券计算收益率时』<g（溢价发行）：赎回日尽可能早

〉g（折价发行）：赎回日尽可能晚

5、系列债券:

团tno加机

系列债券的价格£0工&谑*9K）

t=it=iit=it=i

g=NrlC

其中：2人:所有现金流现值之和

t=l

£c,：所有现金流之和

t=l

第二篇利率期限构造

第六章：利率期限构造理论

(1+加产

1、远期利率:（1+兀）二

(1+X)

2、Macaulay久期与修正久期：

，N

久期D.=必x%.

<Z=1

修正久期Dm0d=D〃/(l+y)

其中叼=":第欣现金流的现值在现金流总和中所占的比例

P(i+y)"

N

Z=1

3、Macaulay凸度与修正凸度：

CD

凸度〜

,修正凸度j°d三宫号”

有效久期：D=P+-P.

E2Pq

4、<

P++P「2po

有效凸度：，=

Po(»

其中p。、p.、p.表示债券期初价格、收益率在

初始收益率基础上增加和减少△时对应的价格

第七章随机利率模型

1、时刻银行账户的价值»=e4同

2、随机折现因子。(f,T)=，4,出)

3、连续复利收益率

T):T时刻到期的零息债券1单位面值在时刻的价格

R(/,T)：连续复利收益率

[BO,T)=产皿

4、远期单利耳(t,T,S)与远期复利月(t,T,S),t时刻期限为[T,S]

片(t,T,S)=^—(^^-1)

S-T

月(t,T,S)=-^—

，S-TB(t,S)

5、远期瞬时利爵&T)=-四竿⑷

r7

零息债券价格：8(仃)=//")疝

V1"

连续复利收益率:R"T)=—[f[t,u)du

6、Holee模型的应用

短期利率满足：fl+l=+a£\/Xt

随机变量£在〃出现时取+1，在d出现时取-1

7、随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程

drt=u(t,rt)dt+a(t,rt)dWt

<,(dBSB,，、1d2B2/、L,SB,、皿

dBD=--+—-«(/,/；)+——-7-cr(f,()dt+--<y(^t,r)dW

otdt2drJdtll

其中漂移项cr(Z,/;)：波动项Wl：标准布朗运动

B=BG,T)=B(t,T,,三)

8、利率风险市场价格(4)

用两种不同到期日的零息债券构造无风险资产组合n

然后选择适当的头寸中使得n的风险为零

n=B(f,T,r)+T,r)

[t2tI

dB(t,Tx,r,)dB(t,T2,r,)

I-UV(⑺

drdr

2

甘1/T、1/38SB,、1dB2/、)

其中m(t,T)=--+—vcr-(Z,/;)

Byotdt2drJ

贝/，丁)=[孚6亿/)

Bdt

9、Wzsic或模型及其下的债券定价

模型：drf=a(u-rt)dt+cydWt...a、〃、o■为正的常数

a,a,a(u)

模型的解为：r,=rQe-+u(l-e-)+(y^e-'-dWll

零息债券的价格：=

1.,一打

其中：T=T=---------

a

/\i/丸。。。、-2av\。

〃《)=/?«)(〃-------7)一®-----^)了+(Z11-)—

aaa72ra4a

9、CIR模型及其下的债券定价

模型：drt=a(u-rt)dt+(j^dWt...a、小b为正的常数

该模型下风险的市场价格为：〃£,/；)=娅

第三篇金融衍生工具定价理论

第八章金融衍生工具简介

fe”

1、远期的定价<F=S°eC力....q：连续复利率

F=(So—I)e"…….I-.离散红利

2、时刻持有远期合约的价值：(0<t<T)

£=(£_玲)

'中间收入/：f,=F,er(T-,)-(S-I)e"

如果有中间收入V0

提供红利q"=耳e-9八"

3、远期利率平价公式

，、『：本币和外币的利率（假定借款利率=贷款利率）

E：外币的以本币标价的即期汇率（E本币/外币）

外币远期的价格为/（/，丁）

=FWO=（一般不超过一年故采用单利）

sti+zr

若:名言〉黑:（持有本币所得利息低于外币，持有外币有利）

4、远期利率合同

（1）结算时金额：A=N反町

1+SxT

其中：S：目的利率；F：远期价格，T：远期期限

（2）远期价格尸

满足：（1+以）（1+ftl+TT）=[l+rt+T（t+T）]

5、期货合约盈亏：A=nN（）|Zz+1-Z,|

期货合约保证金账户盈亏代数和为：N0|S,-Z0|

无论盈亏都只需交N（）Z（）

6、利率期货

（1）短期利率期货：（欧洲美元期货、定价、套期保值、周期3个月）

①若果价格变动一种基点（小数点后第二位变动一种数，如

94.79.94.80或94.78）,则一份合约买方或卖方将支付25远。

对于本金100万而言，一种季度每个基点价值为：

100万x0.01%x'=25（美元）

4

②远期利率/满足（1+科）（1+0.25/）=（1+M）nf=4x也一端

1+4丁

③套期保值原理（N：被保资产金额D：保质期限S存款利率变动

基点n：合约份数）

面值90

(2)长期利率期货

①国债期货：

点数价值：价格波动一种最小值时，一份合约买卖双方盈亏金额

②转换因子：指如果名义债券平价发行，那么一单位面值该债券

价格。如：若名义债券票息率为半年4%,某实际债券票息率为半年3%,

剩余期限为2年，则付息日转换因子为：

100+3

CF=[--—+—+—+4]/100

(1+4%)(1+4%)2(1+4%)3(1+4%)4

(3)交割债券选取(最便宜交割债券)

卖方在债券现货市场上可以以P+A价格买到债券(P:债券净价,

A:应计利息)；在期货交割时卖方将收到买方钞票CFxZ+A(Z:债

券期货价格)，同步支付债券。显然A不影响卖方成本，卖方净交割

成本为：P-CFxZ

(4)国债定价类似于:F=(S0-I)e".

例题：假设某国债期货党CTD债券票息率为12%；CF=1.4.

假定在270天后交割，债券每半年计息一次；当前时刻距上次付息以

过了60天，利息力为r=0.1;债券报价为120；可按如下办法计算期

货价格Z：

解：(1)债券全价=净价+应计利息之和(每100元面值利息)

120+—x6=121.978

182

(2)计算期货钞票价格：

卫XOJ冽加

(121.978-6xe365)xe365=125.095

(3)计算以CTD债券为基本资产期货价格:

148

125.095-6x一=120.242

183

(4)运用转换因子CF计算国债期货价格：

120242

Z=—：—=85.887

1.4

(5)国债期货套期保值原理

基点价值Mn：收益率变动一种基点所引起债券价格变化。

如：面值为10万美元、期限为3年，票利率为10.75%,若当

前市场利率为10%,则该债券加u为:

310750100000_§10750100000

bpv=0+(i+io%)3)-tr(n-io.oi%y+(i+io.oi%)3

z=l(1+10%)'

7、看涨看跌期权平价公式

c,+Ke-r(T-'}=p,+S,

其中c,:t时刻看涨期权价格K：看涨期权执行价格

p,：t时刻看跌期权价格S：t时刻基本资产价格

8、期权价值影响因素

(1)基本资产价格S：对看涨期权S,越大，价格越高

对看跌期权S越大，价格越低

(2)执行价格K：对看涨期权K：越大，价格越高

对看跌期权K：越大，价格越低

(3)到期期限T：对美式而言，T越长，价格越高

对欧式而言，不一定

(4)无风险率r：r越高，价格越高

(5)基本资产价格波动率J：G越大，期权价格越高。

9、期权价格界

看涨期权：S,-Ke-o<c,<5,

(1)欧式期权:

看跌期权：-S,<p,<Ke-g)

.看涨期权：S,-Ke-"T)<qWS,

(2)美式期权:

看跌期权：K-S,4p,4K

利率互换的定价(1)：运用债券组合给利率互换定价(cont.3)

符号假定

•用注：互换合约中固定利率债券的价值；%：互换合约中浮动利率债券的价值;

•<:距第i次现金流交换的时间(l<i<n)；L:利率互换合约中的名义本金；

■

按Esc退出全屏模式。

画把固定利率债券在未来的所有现金回在每一个付息日，浮动利率债券的价

流都贴现到当前时刻，则该债券的值等于其面值L.假设下一支付日应

价值为：支付利息额为K(这是已知的),

则在下一次付息前的一刻，浮动利率

债券的价值为为=L+K,则今天浮

动利率债券的价值为：

Bf]=(L+k*)ef

1=1

回对B公司，该利率互换的价值为：V互尸物-%

10

利率互换的定价（1）：运用债券组合给利率互换定价（cont.4）

回［例3］:假设在一笔互换合约中，某一金融机构支付6个月期的LIBOR,同

时收取8%的年利率（半年计一次复利），名义本金为1亿美元。互换还有

1.25年的期限.3个月、9个月和15个月的LIBOR（连续复利率）分别为10

%,10.5%和11%.上一次利息支付日的6个月LIBOR为10.2%（半年计

一次复利）.求对该金融机构而言，利率互换合约的价值是多少？

回［解答］:在该例中，k=400万美元，k*=510万美元，利用上述公式可得：

25

B/.***uO.CMe-oLS+O.Ode^o/ws+l.CMe4"二=0.9824亿美元

A25

Bfl=（1+0.05\）e~°*0-=1.0251亿美元

因此，对该金融机构来说，该利率互换的价值为

V互换=Bm-BJJ=0.9824-1.0251=-0.0427亿美元

11、

S［例7］:假设美元和日元LIBOR的期限结构是平的，在日本是4%而在美国是

9%（都是连续复利），某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元，利

率为5%,同时付出美元，利率为8%。两种货币的本金分别为1000万美元和

12000（需日元.这笔互换还有3年的期限，即期汇率为1美元=110日元.求

该金融机构货币互换合约的价值？

a［解答］:如果以美元为本币，那么：

%=0.8”由+0.8］的+］0=9.644百万美元

BF=601阚+60°.必2+1260?心3=1230.55百万日元

则，该金融机构的货币互换合约的价值为

1230.55.，一chy*一

------------9n.644=1.543日力美兀

第九章金融衍生工具定价理论

1、单期二叉树期权定价模型

设当前为。期，期权合约基本资产（如股票）价格现行市场价格为

S,在下一期股票价格变动只存在两种也许成果：或者股票价格上升

至Su,或者股票价格下降至Sd,而上升或下降概率呈二次分布状。

在这里下标号u和d表达变量数值上升或下降为原数值倍数，即u>l,

d<lo与此相对，股票看涨期权初始价值为C,在下一期（欧式期权

到期日）随着着股票价格上涨或下跌，该期权合约价格也有两种也许,

即要么上升至CU,要么下降至cd,作图。二叉树、节点、途径

［例8T］设股票现价6）为$100,3月看涨期权执行价格（K）为$110。

在U=1.3和d=0.9状况下，期权价值？

解

分析：

当前下•期

股票价格（Su）=$130

期权价值(Cu)=

股票价格（s）=$100max(su-k,0)=$20

期权价值（c）=?

股专价性《d)=$9%

max(Sd-k,0)=0

//I

资产当前成本与将来价值

资产组合目前的成本到即I（伤定足3个月后）的伶侑“T）

或价值（）产

VoST=$100{u=1.3)S$90(d=0.9)

买进6股股票-$100X5+$130X8+$90X6

卖出1份看涨+C（未知数）-$20

期权

合计C-S100X$130X6-$20一「

8

$130X8-$20=$90X8(风险中性假定)

8=0.5

股票上涨：VT=$130X0.5-$20=$45

股票下跌：VT=$90x0.5=$45

依照有效市场假设，在不冒风险状况下，人们在金融市场上只能赚得

无风险利率。换言之，资产组合在当前价值，是其在到期日价值($45)

按无风险利率进行贴现后现值。假定无风险利率为10%,并且按持续

复利进行贴现，那么：

V0=$45xe-10%x0-25=$43.89

43.89=100x0.5-c

C=50-43.89=$6.11

6.1.2单期二项式期权定价模型的通用公式

保值型资产组合的现值为:

按上分析:rt

(Sux«-Cu)e-,或者

股票上涨VT=S66-C

U(Sdx6-C/eE而11前资产成本：

股票下跌VT=SdX6-CdSxb-C：市场均衡时，：拧相等

lrt

Sux<>-Cu=Sdx<'>-Cd(Sdx6-Cd)e-=Sx8-C；

rt

C=Sx8-(Sdx«-Cd)e-;

iL二^、

△被称为套期保优比率.，它代表无

风险资产组合所要求的股票持有it-ci

量。设无风险利率为r,且

,T

d<r<u(一定成M，杏则后场失C=e-[qxclt+(l-q)cd]

衡，就会产生套利)

/ccun_->.

613期权定价与无风险套利

均衡价格下保值型资产组合只能赚得无风险利率

资产细合目前的成本到期日（假定是3个月后）的价值（VQ

或价值（V）

oST=$100(u=1.3)ST=$90(d=0.9)

买进0.5股股票-$50+$65+$45

0

卖出1份看涨期权+$6.11-$20

$45

按无风险利率借+$43.89-o

口N/

入资金i

资产组合的价值00o

假定价格为$5.00,在期权价格被低估的情况下

资产组合目前的成本到期日（假定是3个月后）的价值（VQ

或价值（V）

oST=$100(u=1.3)ST=$90(d=0.9)

卖出0.5股股票+$50-$65-$45

买进1份看涨期权-$5.00+$200

按无风险利率借-$45+$46.14+$46.14

入资金

资产组合的价值0$1.14$1.14

假定价格为$8.00,在期权价格被高估的情况下

资产组合目前的成本到期日（假定是3个月后）的价值（VQ

或价值（V）

oST=$100(u=1.3)ST=$90(d=0.9)

买进0.5股股票-$50+$65+$45

r---\IIL

卖出1份看涨期权+$8.00-$20x\.0

按无风险利率借+$42-$43.06-$43.06

入资金目”

资产组合的价值0$1.94$1.94

]l_J1

2、N期模型通用公式

C=e-rT£（l-qy-jm^suJdn-J-左,0）］

〃nI

P=7Tmax（心〃d-,0）］

J=O/!（"/）!

er-d

q~~

u—a

3、Black-Scholes模型

于什,St）=S,①（4）-Ke-n①双）

log斗+（〃+卜2）（T7）

其中：4=―-―7=7-------

o-yfT—t

6/2=4—CTyfT.t

4、希腊字母及其意义：

(1)、△=其…/•为衍生品德价格

西'

意义：△度量了基本资产价格波动对衍生品价格影响，因而A是

对基本资产价格敏感性度量。(基本资产自身A=l)可以通过资产组

合达到A中立状态，即A=0.

a2/_

(2)一前一版

意义：「度量了基本资产价格变化对A影响，即度量了衍生品价

格与基本资产价格之间凹凸性。若某个时刻基本资产处在△=(),当基

本资产价格发生变化时资产组合新加权A也许不为0.如果「〈0,则

资产价格上升将使得资产组合△<(),因而需要增长组合中有正△值资

产头寸以重新达到A=o。

⑶das

对于欧式看涨期权：V=

〃度量了基本资产价格波动性变化对衍生品价格影响。

(4)0=红

了dr

对于欧式看涨期权：夕=丁履一”①(《)

P度量了无风险利率变化对衍生品价格影响。

⑸6=更

dt

对于欧式看涨期权：9=TKC"①@)-‘仙11)£^

。是衍生品时间价值变化度量参数，它度量了时间推移对衍生品价格

影响。

19

邙结五个希腊字母.df=0dsH—rds+vdcys+pdv+Odt

第四篇投资组合理论

第十章投资组合理论

1、度量风险办法：变异系数=3

22

收益率方差和原则差=p[r1-E(R)]+(1-p)[r2-£(r)]

2、风险溢价普通解释：当前投资超过无风险投资收益超额收益

3、财富效用函数(满足：t/'(w)>0;(/"<0)

常用几种形式：

线性效应函数。(卬)=卬

二次效应函数U(w)=-(a-,(w《a)

指数效应函数U(w)=-aeawXa>0)

对数效应函数U(卬)=log。+w),(w>

幕函数效应函数U(w)=",(卬>0,0<c<l)

4、Jensen不等式：如果U(w)是一种凹函数，J是一种具备有限均值

随机变量，则下式成立：

E(U(w+<[U(w)+E(^)]

当E©)=0,则E(U(w+^)<U(w)

5、投资效用函数

2

最惯用投资效用函数：U(wR+<jR)=uR-0.5AcrK

%外分别为盼望收益与收益率原则差，A>0：风险厌恶系数

6、风险厌恶度量：

Z(u(w+g)<u(w)

-E(U(卬+J=U(w)

E(U(w+J)>U(w)

绝对风险厌恶系数：A..=-以或

"U(w)

相对风险厌恶系数：凡,=一也也

U(w)

7、两风险资产组合

E(7?p)=wE(Z?J+(l-w)E(/?fi)

22

crj=(VWTA)+[(1-W)<TB]+2田1一枚)叫小夕.

8、一种风险资产A无风险资产

投资组合收益率Rp=(l-w)zy+WRA

投资组合盼望收益率：召(Rp)=(1-卬)。+wxE(RA)

投资组合原则差：bp=何T'

9、风险报酬率(Sharpe比率)

/"L反-七)一。

10、最优资产组合求解

投资在市场组合M上比列：叩="=卬吗一：

为Ab3

考虑两个风险资产A、B

则该风险组合预期收益和方差分别为：

£(()=叼£(()+(1-助E(()

"p=M1/ZA+(1—w)2b2^+2叼(1—%)COVAB

此时风险报酬率：4aLmax竺生二土

%，

____________[E(RA)—-]〃B-四]cove

22

[E(RA)-rf]cyB+[E(RB)-rf](TA-[E(RA)-rf+E(RB)-rf]covAB

第-一章CAPM和APT

1、风险市场价格：叫f

与

E(mw(RpT]

2、盼望一贝塔关系：cov(/?,.,/?,w)

具中％=---0~~」

bM

3、对任意风险资产组合P

E(1羊/呼。[E(尺fr]

N

其斜率为市场组合风险溢价£(6)-/>

4、CAPM另一种惯用形式:

+四+与(可忽略)

b；=笈%2M+(T；(可忽略)

5、资产估值：

E(RJ=E(P£°)-I

°1+E(R)

6、CAPM在业绩评估中应用

(1)：Jensen指数：J「="-仍+4比(此)-']}(越大越好)

(2)Treynor指数：q=勺土(越大越好)

(3)Sharpe指数：=殳3(越高越好)

*

7、套利定价模型(APT)

(1)单因素模型：&=四+济F+j

〃〃〃

资产组合收益率：Rp=f叱/+之卬血R”+之叱与

/=1/=1/=1

4这哨

/=!

b2(%)=£(W02(£,))2

1=1

(2)双因素模型：4=q+用6+为鸟+0

E(R芋a+0\21.EQ/)

生=0iV/P5；钠厂,■24中vWm

8、套利组合：

Wi+%+…+%=0.....套利组合是零成本的

,W凤+…v