15弯曲设备选型浙江大学资料

第１章工程力学基础1.5梁的平面弯曲上一页下一页卧式容器车床工程实例1.5.1弯曲的实例与概念1.5.1弯曲的实例与概念弯曲变形是工程上最常见的一种基本变形受力特点:所受载荷和支反力都垂直于杆件轴线。变形特点:杆件的轴线因变形由直线变成了曲线。下一页梁工程中以弯曲变形为主的杆件称为上一页下一页纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面。平面弯曲：梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的平面曲线。梁轴线纵向对称面弯曲的概念横截面对称轴R1R2Pqm上一页下一页梁的计算简图一、结构的简化用梁的轴线来代替实际的梁，折杆或曲杆用中心线代替。二、外载的简化：集中载荷P、分布载荷q、集中力偶m三、支座的分类根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，一般可以简化为三种基本形式：1.固定铰支座2.滑动铰支座3.固定端支座上一页下一页支座反力仅利用静力平衡方程便可全部求出的梁，称为静定梁，主要有以下三种形式：1.简支梁2.外伸梁3.悬臂梁

梁弯曲时横截面上一般存在两个内力素：剪力Q、弯矩M上一页下一页1.5.2内力——剪力和弯矩下一页剪力与弯矩符号确定规则：上一页下一页根据变形确定内力符号剪力Q弯矩MQ>0Q<0M>0M<0左上右下左下右上下凹上凸上一页下一页

求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的内力(剪力和弯矩)。例题1上一页下一页解(1)求反力(2)求内力上一页下一页推论：梁任意横截面上的剪力，数值上等于该截面一侧所有外力的代数和。梁任意截面上的弯矩，数值上等于该截面一侧所有外力对该截面力矩的代数和。上一页下一页1.5.3剪力图和弯矩图

在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置的不同而变化。若以梁的轴线为x轴，坐标x表示横截面的位置，则可将梁各横截面上的剪力和弯矩表示为坐标x的函数，即剪力方程弯矩方程

根据这两个方程，画出剪力和弯矩沿梁轴线变化的图线，这样的图形称作剪力图和弯矩图。

利用剪力图和弯矩图很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁危险截面的位置。上一页下一页例2解上一页下一页例3解上一页下一页上一页下一页例4解上一页下一页例5解AB上一页下一页剪力图和弯矩图的规律

（1）若梁上某段无均布载荷，则剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。

（2）若梁上某段有均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。

（4）若梁上有集中力偶，则在集中力偶作用处，剪力图无变化，而弯矩图有突变，突变值即为该处集中力偶的力偶矩。

（3）若梁上有集中力，则在集中力作用处，剪力图有突变，突变值即为该处集中力的大小，弯矩图在此处有转折。

（5）在剪力Q=0的地方，弯矩取极值。上一页下一页载荷集度q(x)、剪力Q和弯矩M的微分关系上一页下一页一、试作出下图所示梁的剪力图和弯矩图。小测验上一页下一页纯弯曲横力弯曲1.5.4纯弯曲时梁横截面上的正应力

CD段各横截面剪力为0，弯矩为常量，这种情况下的弯曲称为纯弯曲。

AC、DB两段横截面上既有剪力又有弯矩，称为横力弯曲。上一页下一页

在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能合成弯矩M，只有切向内力元素dQ=τdA才能合成剪力Q。

横力弯曲时，梁横截面上既有弯矩M，又有剪力Q。

横力弯曲梁上既有正应力σ、又有剪应力τ横力弯曲梁上的应力即上一页下一页分析纯弯曲梁上的正应力应从三方面考虑变形几何关系物理关系静力学关系上一页下一页1.变形几何关系观察矩形截面梁纯弯变形现象上一页下一页变形现象（1）所有纵向线(aa和bb)变成弧线(和)，靠近上部的缩短，下部伸长。

（2）所有横向线(mm和nn)仍保持为直线，相对旋转一定角度后，仍垂直于弧线(和)。假设一：弯曲变形的平面假设

变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线。上一页下一页

根据实验，还可作出纵向纤维之间互不挤压的假设，得各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。

梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴假设二：纵向纤维互不挤压假设上一页下一页中性层中性轴

建立Y、Z坐标系上一页下一页1212oobbdxyd

o

b

b

o

y

1221

取长为dx的一段梁，如左图所示，o-o为中性层，bb为距中性层为y的纵向纤维。

变形后中性层的曲率半径为

，相距为dx的两横截面夹角为d，如右图所示。则的线应变为：

对给定截面

为常数，反映弯曲的程度，上式表明横截面上某点的纵向应变与该点到中性轴的距离成正比。上一页下一页2.物理关系

由于纵向纤维间无挤压，可认为每一纵向纤维都只受到单向拉伸或压缩。所以，其应力-应变关系服从胡克定律，即

上式表明横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴等距的各点上正应力相等。

此时中性轴z的位置未定，曲率半径也未定上一页下一页3.静力学关系

纯弯曲梁截面上只有法向内力元素σdA，整个截面上的法向内力元素构成一个空间平行力系。

梁纯弯曲时横截面上没有轴向内力，这些内力元素的合力在x方向的分量为零，即

这里只有绕z轴的力矩M与绕z轴的外力偶矩m平衡，因此有上一页下一页Iz称为横截面对中性轴z的惯性矩上一页下一页中性轴过截面形心中性层的曲率公式：弯曲正应力计算公式：上一页下一页由正应力计算公式知横截面上正应力分布如图:

正应力沿截面高度线性分布，在中性轴上各点的应力为零，在中性轴两側，一侧受拉，一侧受压，离中性轴愈远处的正应力愈大。上一页下一页横截面上的最大正应力：当中性轴是横截面的对称轴时：Wz——抗弯截面模量上一页下一页极惯性矩上一页下一页解求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。

例6上一页下一页

求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。对于外径为D，内径为d的空心圆环形截面，其惯性矩为:例7解对于直径为d的实心圆截面，其惯性矩为:上一页下一页简单图形的惯性矩和抗弯截面模量上一页下一页1.5.5弯曲正应力的强度条件上式是在平面假设和纵向纤维互不挤压假设基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于梁的横截面高度5倍(即l>5h)时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中。对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。上一页下一页梁的正应力强度条件利用上式可以进行三方面的强度计算：①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核 梁的强度②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的 截面尺寸③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷上一页下一页

两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比P1／P2＝？例题8解上一页下一页

图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］=160MPa，试校核该梁的强度。

由弯矩图可见故该梁满足强度条件，安全解例题9上一页下一页

图示铸铁梁，许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=60MPa，Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。例题10上一页下一页C截面：B截面：上一页下一页1.5.6梁的弯曲变形概述一、工程实践中的弯曲变形问题

在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求弯曲变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。

但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弯曲变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。上一页下一页1.挠曲线二、弯曲变形的基本概念挠曲线

梁在载荷作用下，由于弯曲而变形，使它的轴线变成平面曲线，变形后的梁轴线称为挠曲线。上一页下一页2.挠度和转角规定：向上的挠度为正逆时针的转角为正挠曲线方程：转角方程：挠曲线的曲率为上一页下一页3.梁的挠曲线近似微分方程式则上一页下一页梁的挠曲线近似微分方程:用积分法求梁的变形：式中，积分常数C、D由边界条件和连续条件确定，如上一页下一页三、叠加法求梁变形

弹性范围内,梁的挠度和转角与载荷成正比。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。上一页下一页四、弯曲的刚度条件刚度条件：

[v]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。

梁的弯曲刚度主要用最大挠度和最大转角来控制:上一页下一页

图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[v]=l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷[P]，并校核强度。例题11上一页下一页解：由刚度条件上一页下一页1.5.7提高梁弯曲强度和刚度的措施

影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的载荷和支承情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状、跨度有关。所以，要想提高弯曲强度和刚度，就应从上述各种因素入手。一、合理安排梁上的受力二、选择合理的截面形状上一页下一页一、合理安排梁上的受力上一页下一页二、选择合理的截面形状

大部分钢