固体能带理论总结

1复杂的多体问题大量离子和电子彼此相互作用组成系统简化绝热近似认为离子与电子不交换能量多电子问题单电子问题量子力学处理晶体中电子问题的思路简化自洽场法

考虑其余电子的平均场作用第1页/共45页多粒子系统多电子系统单电子系统即：每个电子在由正离子产生的和其他电子的平均电荷分布的势场中运动.1.绝热近似：由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运动跟不上电子的运动。所以在考虑电子的运动时，认为原子实不动。2.单电子近似：一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动。又称hartree-Fock自洽场近似。能带理论基本假设第2页/共45页3.周期场近似：单电子近似的结果：周期性势场（周期为一个晶格常数，平移对称性）Schrodingereq.Bloch波:

在周期性势场中运动的电子气波函数由如下形式：其中u具有晶格的周期性，即原子实和电子所形成的势场是周期性的。第3页/共45页布洛赫定理在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。布洛赫波函数具有如下特点：在此范围内k共有N个值(N为晶体原胞数)。第4页/共45页由Bloch定理可得两个重要结论：

〈1〉Bloch定理表明周期势场中电子的本征函数有Bloch函数的形式，是一个被周期势场调幅了的平面波，平面波的振幅具有周期势场的周期性，这与自由电子的波函数不同，自由电子的波函数是一个平面波。

2〉Bloch波函数是周期势场中电子的本征函数，这个波在晶体空间是自由（均匀）传播的，既不随时间和空间而衰减，也不会在传播过程中突然改变形态，即不会由一个Bloch波变成另一个Bloch波。

第5页/共45页晶体中电子：自由电子：孤立原子：

如果晶体中电子的运动完全自由，

在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，是两者的组合。

由于晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有

的形式。周期函数反映了电子与晶格相互作用的强弱。

若电子完全被束缚在某个原子周围，第6页/共45页Bloch函数中，行进波因子描述晶体中电子的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期函数因子则描述电子的原子内运动，取决于原子内电子的势场。

如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子

的能量取分立的能级；

晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动，因

此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带

相间组成的能带结构。

若电子只有共有化运动（自由电子情况），电子的

能量连续取值（严格讲电子能量应是准连续的）。第7页/共45页

电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成能带的必要条件。

需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有能带结构。第8页/共45页1.模型：

假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0代替V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。近自由电子近似2.势场:。第9页/共45页3.波函数和能量第10页/共45页(1)在k=n

/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为；(2)在k=n

/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线；(3)在k远离n

/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。利用以上特点，可以画出近自由电子近似的能带图。4.结论:第11页/共45页Ek’(0)Ek(0)E－E＋TnTn由于周期场的微扰，E(k)函数在布里渊区边界k=

n/a处出现不连续，能量的突变为：称为能隙，即禁带宽度，这是周期场作用的结果。第12页/共45页电子能带的三种图示法(a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带；(b)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有能带)；(c)周期区图：在每一个布里渊区周期性地画出所有能带(强调任一特定的波矢k的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述)。每个布里渊区中波矢k可取N个值，而能带序号越小，能带宽度越小，故能带序号越小，能态密度越大。5.能带图第13页/共45页晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场的作用，其他原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子态作为零级近似。2.势场紧束缚近似1.模型3.波函数4.能量表达式：5.能带宽度：第14页/共45页从上式可以得到所谓的中心方程因此用一组代数方程取代了原来的微分方程。该方程组的方程数目巨大，看起来难以求解，但实际上常常只要解少数几个就足够了

将波函数和势函数的傅里叶展开式代入波动方程，得中心方程第15页/共45页能隙的起因第16页/共45页能隙的起因

对于一维点阵（点阵常数为a），电子的波函数若k远离Bz边界时（即时），电子波不受

Bragg反射，从各原子散射的波没有确定的位相关系，对入射波的传播无什么影响，与x-ray在晶体中的传播是相同的。第17页/共45页但当时，如，此时平面波

满足Bragg条件，波程差为2a，相位差为2π，从相邻的原子反射的波有相同的位相，发生相长干涉，产生向反方向传播的波，这个波同样受到其近邻原子的Bragg反射，再一次反向，这样就形成了向相反方向传播的两列行进波，平衡时两波叠加形成驻波。第18页/共45页有两种形态的驻波：

这是由自由电子的行波在Bz边界上的Bragg反射而形成的，两个驻波使电子聚积在不同的区域内。

第19页/共45页第20页/共45页

∵ρ（+）这种分布时的能量低，

ρ（-）分布时能量高，电子的平均能量是不同的，没有周期势场的Ｅ-k曲线是一条抛物线，在有周期势场存在时，在Bz边界上分裂成两个波函数，相应的能量也分成两个，一个E+、一个E-，可以证明，对的电子的能量与的电子的能量是不同的，这个能量差就是能隙，这个能隙就是所谓的禁带。第21页/共45页准经典近似在外场作用下，电子如何运动？如何描述？用量子理论：不方便；经典理论：困难.

准经典近似：描写波的物理量与描写粒子的量（速度、加速度、质量间）的关系.一、k态电子的速度一维三维第22页/共45页证：波包—以为中心，波矢在范围中的波函数迭加而成比线度小的多.所以可认为波包的波函数：第23页/共45页第24页/共45页几率：波包中心位置：波包运动速度：分量式：第25页/共45页二、动量定理：定义电子准动量：则：第26页/共45页牛顿第二定律：电子有效质量：证：其中第27页/共45页28运动方程

在时间间隔dt

内电场对一个电子所作的功比较上述两式，知由群速公式，得上式用合外力表示为第28页/共45页各向同性时：2.有效质量是二级张量第29页/共45页3.带顶有效质量为负，带底的有效质量为正由能量曲线的开口方向可以得到解释.时，电子从外场获得的能量大于交给晶体的能量时，电子从外场获得的能量小于交给晶体的能量电子吸收外场能量，使其波矢增加，当增加到一定程度，在从外场中吸收了能量的电子的波矢量刚好满足Bragge反射条件，使电子总的向前的动量减少.—对应于有效质量为负.第30页/共45页4.在同一能带中有和必定有的点，该点此时电子不是不受外力影响第31页/共45页而是外场引起变化，而不随变化例：对于简立方，s电子的能带表达式为：求：1.k态电子的速度2.能带宽度3.用级数展开方法求带顶、带底的4.由有效质量的定义求第32页/共45页解:（1）（2）能带宽度（3）a.带底第33页/共45页（4）由b.带顶第34页/共45页底顶第35页/共45页金属、半导体、绝缘体的能带结构空穴的概念固体能带理论的主要贡献在于它成功的解释了物质的导电机理，即说明了有的物质为什么能导电，有的物质为什么不导电.虽然同样有大量的电子存在.一、几个概念1.满带电子不导电第36页/共45页这证明k态电子与-k态的电子运动方向相反，大小相等.（1）无外场时，能带完全被电子占满，分布对称，虽然每个电子均有电流,但总的效果为0,因为彼此完全抵消.（2）有外场时，所有电子的波矢均向左移动但这种移动并未改变是电子的填充状态，因为从移出的电子从点移进来，整个能带仍是满的第37页/共45页在无外场时，电流为0，没有外场作用时，电流不为0，无外场时，分布对称，电流相互抵消.有外场时电子分布不对称，有净的剩余电流存在.2.不满带电子导电第38页/共45页二、用能带理论解释倒体、半导体、绝缘体1.导体能带特点：能带未被完全充满，或能带产生交迭(1).碱金属：11电子组态：3s能带未满，因为它可容纳2N个电子.(2).碱金属：各方向上的周期不一样，能带出现交迭，造成能带实际不满。禁带消失第39页/共45页2.绝缘体：价电子刚好填满整个价带，而更高的许可带与价带之间存在着一个很大的禁带，除非很强的电场，否则电子不会被激发到许可带上去而导电。3.半导体能带结构基本上与绝缘体相似，只是禁带较窄（一般在2.0eV以下）依靠热激发就可以使电子跃迁到许可带上去而导电.第40页/共45页41空穴

一个空穴在外加电场或磁场中的行为犹如它带有正电荷+e，理由如下

1.定义：满带顶部附近的空状态（如半导体中电子跃迁后留下的空位）第41页/共45页42

因为给定温度下电子和空穴的浓度之乘积是一不依赖于杂质浓度的常数，因此引入少量适当的杂质而使n

增大，那么必定会使p

较小该结果在实践中很重要：通过有控制地引入适当的杂质，可以减少非纯晶体内的总载流子浓度n+p。第42页/共45页