土木工程力学第2章

01020304力的概念与力的基本性质力矩与力偶平衡与平衡定理受力分析与受力图目录0506平面力系的平衡条件物体系统的平衡问题01力的概念与力的基本性质第2章力学基础知识

第1节第1节力的概念与力的基本性质力就是物体间的相互机械作用，力不能脱离物体而单独存在。

机械作用：指使物体发生位置移动和形状改变的作用。只有物体间的相互机械作用才能产生力。有物体只是力存在的条件，而不是产生力的原因，只有物体间的相互机械作用才能产生力。由于力是物体间的相互作用，所以力一定是成对出现的，不可能只存在一个力。一、力的概念力的作用方式有两种：一种是两个物体相互接触时，它们之间相互产生力，例如吊车和构件之间的拉力；一种是物体与地球之间相互产生的吸引力，对物体来说，这种吸引力就是重力。第1节力的概念与力的基本性质作用与反作用定律

作用力与反作用力大小相等、方向相反、作用线共线，且作用在不同的两个物体上。该定律是一条普适定律，无论对于静态的相互作用，或是动态的相互作用都适用。力的三要素（1）力的大小：它反映了物体间相互作用的强弱程度。（2）力的作用方向：指物体在力的作用下运动的指向。沿该指向画出的直线称为力的作用线，力的方向包含力的作用线在空间的方位和指向。（3）力的作用点：物体相互作用处的接触点。实际上，力多是作用于物体的一定面积上。如果这个面积很小，则可抽象为一个点，这时作用力称为集中力；如果接触面积比较大，力在整个接触面上分布作用，这时的作用力称为分布力，通常用单位长度的力，表示沿长度方向上的分布力的强弱程度，称为荷载集度。

力是矢量

矢量的模表示力的大小；矢量的作用方位加上箭头表示力的方向；矢量的始端，或力的未端，表示力的作用点。第1节力的概念与力的基本性质二、力的作用效应1.力的作用效应：指物体在力的作用下发生运动和变形。（1）力的运动效应：力作用在物体上可产生两种运动效应。①若力的作用线，通过物体的重心，则力能使物体沿力的方向产生平行移动，简称平动。②若力的作用线不通过物体的重心，则力能使物体既产生平动又发生转动，称为平面运动。（2）力的变形效应当力作用在物体上时，不仅产生运动效应，还会产生变形效应，使物体产生形状和尺寸的改变。第1节力的概念与力的基本性质2.力的可传性

由实践可知，当力作用在刚体上时，只要保持力的大小和方向不变，可以将力的作用点沿力的作用线移动，而不改变刚体的运动效应。力的这一性质称为力的可传性。

力的可传性只适用于力的运动效应，不适用于力的变形效应。

若力系中各力的作用线不在同一平面内，称为空间力系。若力系中各力的作用线都在同一平面内，称为平面力系；平面力系又分为平面汇交力系、平面平行力系、平面一般力系和平面力偶系。力系：将作用在物体上两个或两个以上的一组力，称为力系。三、力系的概念第1节力的概念与力的基本性质如果某一力系对物体产生的效应，可以用另一个力系来代替，则这两个力系互称为等效力系。等效力系当一个力与另一个力系等效时，则该力称为这个力系的合力；而该力系中的每一个力称为分力；反过来，把一个力分解成两个力，称为力的分解。力的合成与分解四、力的合成与分解力的平行四边形法则02力矩与力偶第2章力学基础知识

第2节第2节力矩与力偶一、力对点之矩力矩：概念：用F与d的乘积，再冠以正负号来表示力使物体绕O点转动的效应，并称为力F对O点之力矩，简称力矩，以符号MO（F）表示，即MO（F）=±F·d矩心：O点，转动中心，简称矩心。力臂：矩心O到力作用线的垂直距离d。力矩的转向：通常规定，力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。在平面力系中，力矩可正、可负、可为零，因此，力矩为代数量。单位：牛顿·米（N·ｍ）或千牛顿·米（kN·ｍ）

例2-1例如图所示，半径为R的带轮绕O转动，如已知紧边带拉力为FT1，松边带拉力为FT2，刹块压紧力为F。试求各力对转轴O之矩。第2节力矩与力偶二、合力矩定理

如图所示，将作用于刚体平面上A点的力F，沿其作用线滑移到B点（B点为任意点O到力F作用线的垂足），不改变力F对刚体的效应（力的可传性）。在B点将力F沿坐标轴方向正交分解为两分力Fx、Fy，分别计算并讨论力F和分力Fx、Fy对O点力矩的关系。由此证明，合力对某点的力矩等于各分力对同一点力矩的代数和。该定理不仅适用于正交分解的两个分力系，对任何有合力的力系皆成立。若力系有N个力作用，则

合力矩定理第2节力矩与力偶二、合力矩定理在平面力系中，求力对某点之矩，一般采用以下两种方法：（1）用力和力臂的乘积求力矩。这种方法的关键是确定力臂d。需要注意的是，力臂d是矩心到力作用线的垂直距离。（2）用合力矩定理求力矩。工程实际中，有时求力臂d的几何关系很复杂，不易确定时，可将作用力正交分解为两个分力，然后应用合力矩定理求原力对矩心的力矩。

例2-2例已知力作用在平面板A点处，且知F=100kN，板的尺寸如下图所示。试计算力对O点之矩。第2节力矩与力偶三、力偶在力学中，将使物体产生转动效应的一对大小相等、方向相反、作用线平行的两个力，称为力偶。力偶是一个基本的力学量，并具有一些独特的性质，它既不能与一个力平衡，也不能合成为一个合力，只能使物体产生转动效应。力偶中两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用平面，两力作用线之间的距离d称为力偶臂，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。力偶对物体的转动效应，取决于力偶中的力与力偶臂的乘积，称为力偶矩，记作m（F，F′）或m，即M（F，F′）＝±Fd在平面内，力偶矩和力矩一样都是代数量。其正负号表示力偶的转向，其正负号规定与力矩一样，即逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位与力矩一样，也是N·m或kN·m。力偶矩的大小、转向和作用平面，称为力偶的三要素。三要素中的任何一个发生了改变，力偶对物体的转动效应都将发生改变。第2节力矩与力偶四、力偶的性质力偶无合力，在任何坐标轴上投影的代数和为零力偶无合力，可见它对物体的效应与一个力对物体的效应是不相同的。一个力对物体有移动和转动两种效应；而一个力偶对物体只有转动效应，没有移动效应。因此，力与力偶不能相互替代，也不能相互平衡，而应将力和力偶看作是构成力系的两种基本元素。力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关如图所示一力偶M（F，F′）＝Fd，对平面任意点O的力矩，用组成力偶的两个力分别对O点力矩的代数和度量，记作MO（F，F′），即MO（F，F′）＝F（d＋x）－F′x＝Fd＝M（F，F′）由此可知，力偶对刚体平面上任意点O的力矩，等于其力偶矩，与矩心到力作用线的距离x无关，即与矩心的位置无关。第2节力矩与力偶四、力偶的性质力偶的等效性及等效代换特性。从力偶的性质知，同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则两力偶等效，可相互代换，称为力偶的等效性。由力偶的等效性，可以得出力偶的等效代换特性：（1）力偶可在其作用平面内任意移动位置，而不改变它对刚体的转动效应。（2）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对刚体的转动效应。值得注意的是，以上等效代换特性仅适用于刚体，而不适用于变形体。由力偶的性质及其等效代换特性可见，力偶对刚体的转动效应完全取决于其力偶矩的大小、转向和作用平面。因此表示平面力偶时，可以不表明力偶在平面上的具体位置以及组成力偶的力和力偶臂的值，可用一带箭头的弧线表示力偶的转向，用力偶矩表示力偶的大小。03平衡与平衡定理第2章力学基础知识

第3节第2节力矩与力偶一、二力平衡与二力杆件

平衡：是指物体相对于地球处于静止或作等速直线运动状态。物体不是在任何力系作用下都能处于平衡状态的，只有力系满足平衡条件时，物体才能处于平衡状态。二力平衡定理：使物体处于平衡状态两个力大小相等、方向相反，作用线共线。二力杆：工程上，将结构中只在两点受力而处于平衡状态的杆件称为二力杆件，简称二力杆。对于刚体，上述二力平衡条件是必要与充分的，但对于只能受拉、不能受压的柔性体，上述二力平衡条件只是必要的，而不是充分的。

第2节力矩与力偶二、不平行的三力平衡条件在一物体上，若三个互不平行的力的作用线位于同一平面内，如平衡则三力的作用线必须汇交于一点。这就是三力平衡汇交定理。如图所示物体，在同一平面内的三个互不平行的力分别为F1、F2、F3。为了证明上述结论，首先将其中的两个力合成，例如将F1和F2分别沿其作用线移至二者作用线的交点O处，将二力按照平行四边形法则合成一合力F＝F1＋F2。这时的刚体就可以看作为只受F和F3两个力作用。根据二力平衡条件，F和F3必须大小相等、方向相反，且共线。由此证明三力汇交定理。

第2节力矩与力偶三、加减平衡力系原理在承受任意作用力的物体上，加上任意平衡力系，或减去任意平衡力系，都不改变原力系对物体的作用效应。这就是加减平衡力系原理。四、力线的平移定理由力的可传性知，作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体上移动，而不改变对刚体的作用效应。

力线平移定理：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任一点而不改变对刚体的效应，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。04受力分析与受力图第2章力学基础知识

第4节第4节受力分析与受力图在对杆件（或结构）进行力学计算时，首先要对它们进行受力分析。受力分析：指分析杆件（或结构）受到哪些力的作用，以及每个力的作用线位置和方向，哪些是已知力，哪些是未知力，通过什么途径求出末知力等。为了清晰地表示出物体的受力情况，便于分析计算，需把研究对象上的全部约束解除，并把它从周围物体中分离出来，用简图单独画出，这个简图中的物体称之为脱离体，亦称隔离体；解除约束后，欲保持其原有的平衡状态，必须用相应的约束力来代替原有约束作用。将作用于脱离体上的所有主动力和约束力，以力矢形式表示在脱离体上，称之为受力图。画受力图的步骤（1）明确研究对象，画出研究对象的脱离体图。（2）在脱离体上画出全部主动力。（3）在脱离体上画出全部约束力。（4）画出尺寸线，标上尺寸。

例2-3例用力F拉动轮子以越过障碍，如图ａ所示，试画出轮子的受力图。例2-4例试画出图ａ所示梁的受力图。例2-5例图ａ所示三角形托架中，A、C处是固定铰支座，B处为铰链连接。各杆的自重及各处的摩擦不计。试画出斜杆BC、水平杆AB及三角托架的受力图。05物体系统的平衡问题第2章力学基础知识

第5节第5节平面力系的平衡条件一、平面汇交力系的合成与平衡条件1.力在x轴上的投影力在某轴上投影，等于此力的大小乘以此力与投影轴所夹锐角的余弦，而正负号，则可直接观察确定。２.力在直角坐标轴上的投影将力F分别向直角坐标轴x和y上投影，有力的分力是矢量，力的投影是标量，两者不可混淆。若已知力F在直角坐标轴上的投影Fx、Fy，则该力的大小和方向为第5节平面力系的平衡条件3.合力投影定理合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。

若物体平面上的某一点作用着N个力F1，F2，…FN，按两个力合成的平行四边形法则，依次类推，从而得出力系的合力等于各分力矢量的矢量和。即FR=F1+F2+…+=∑Fi将上述矢量等式分别向x、y轴投影，得合力的大小和方向余弦（α、β——合力FR与x轴、y轴的正向夹角）例2-6例一吊环受到三条钢丝绳的拉力，如图a所示。已知F1=2000N，水平向左；F2=2500N，与水平成30°角；F3=1500N，铅直向下，试用解析法求合力的大小和方向。第5节平面力系的平衡条件4.平面汇交力系的平衡条件（1）平衡方程

若作用于物体上的平面汇交力系合力等于零，即，则物体处于平衡状态。若FR=0，只有FRx=0，FRy=0，于是有（2）平面汇交力系平衡的充分和必要解析条件

力系中各力在直角坐标系两轴上投影的代数和分别等于零。例2-7例一重量FW=100N的小球，用两根绳悬挂固定，如图a所示。试求两绳的拉力。例2-8例压榨机简图如图ａ所示，在A铰链处作用一水平力F，使C块压紧物体。若杆AB和AC的重量忽略不计，各处接触均为光滑，求物体D所受的压力。第5节平面力系的平衡条件二、平面力偶系的合成与平衡条件1.平面力偶系

作用在同一平面的一群力偶，称为平面力偶系。

2.平面力偶系平衡的必要和充分条件作用在同一平面的一群力偶，称为平面力偶系。在平面内力偶为代数量，因此力偶系的合力偶矩，等于各力偶矩的代数和，即M＝m1＋m2＋…＋mN＝∑m力偶系的合成结果既然是一个合力偶，那么要使力偶系平衡，则合力偶矩必须等于零，即∑m=0由此知，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。例2-9例压榨机简图如图ａ所示，在A铰链处作用一水平力F，使C块压紧物体。若杆AB和AC的重量忽略不计，各处接触均为光滑，求物体D所受的压力。第5节平面力系的平衡条件三、平面一般力系的简化与简化结果分析1.平面一般力系的简化

利用力线平移定理，可以将平面一般力系分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系。然后，再将这两个力系分别进行合成。其简化过程如下：设物体上作用一平面任意力系F1、F2、…、FN，在力系的作用面内任取一点O，O点称为简化中心，如图ａ所示。根据力线平移定理，将力系中各力平移到O点，同时加入相应的附加力偶，其矩分别为M1＝MO（F1），M2＝M0（F2），…，MN1＝MO（FN）。于是，得到作用于O点的平面汇交力系F′1，F′2，…，F′N以及相应的附加平面力偶系M1，M2，…，MN，如图ｂ所示。这样就把原来的平面一般力系分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系，显然，原力系与此二力系等效。第5节平面力系的平衡条件平面汇交力系F1、F2、…、FN可合成为一个作用于O点的合矢量F'R。F′R等于该力中各力的矢量和。因为F′1＝F1，F′2＝F2，…，F′N＝FN，所以FR也等于原力系中各力的矢量和。即F′R称为原力系的主矢。

通过O点取Oxy坐标系，如图c所示，用解析法可求出主矢F′R的大小和方向。根据合力投影定理，得于是，主矢F′R的大小和方向由下式确定式中，α为F′R与x轴所夹的锐角。F′R的指向由FRx、FRy的正负号判定。附加平面力偶系可进一步合成一个力偶，其力偶矩大小mO等于各附加力偶矩的代数和。因为M1=mO（F1），M2=mO（F2），…mN＝mO（FN），所以mO也等于原力系中各力对O点之矩的代数和。MO称为原力系对简化中心O的主矩。第5节平面力系的平衡条件

平面任意力系向作用面内任一点O简化，一般可以得到一个力和一个力偶。该力作用于简化中心，其大小及方向等于原力系的主矢；该力偶之矩等于原力系对简化中心之主矩。由于主矢F′R只是原力系的矢量和，它完全取决于原力系中各力的大小和方向，因此，主矢量同简化中心的位置无关；而主矩mo等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，选择不同位置的简化中心各力对它的力矩也将改变，因此，主矩与简化中心的位置有关，故主矩mO右下方标注简化中心的符号。例2-10例图ａ所示悬臂梁，A端为固定端支座，试分析其约束力。第5节平面力系的平衡条件2.简化结果分析据上节所述，平面任意力系向任一点O简化，其简化结果为一个主矢F′R和一个主矩MO。（１）若F′R＝0，MO≠０：则原力系简化为一个力偶，其矩等于原力系对简化中心的主矩。在这种情况下，简化结果与简化中心的选择无关。不论力系向哪一点简化都是同一个力偶，而且力偶矩等于主矩。（２）若F′R≠0、MO＝０：则原力系简化成一个力。在这种情况下，附加力偶系平衡，主矢F′R即为原力系合力FR，作用于简化中心。（３）若F′R≠0，MO≠０：则原力系简化为一个力和一个力偶。在这种情况下，根据力线平移定理，这个力和力偶还可以继续合成为一个合力FR，其作用线离O点的距离为用主矩MO的转向来确定合力FR的作用线在简化中心O点的哪一侧。（４）F′R＝0，MO＝０：则原力系为平衡力系。第5节平面力系的平衡条件四、平面任意力系的平衡条件从上面分析知，主矢F′R和主矩MO都不等于零，或其中任何一个不等于零时，力系是不平衡的。只有F′R＝0、MO＝０，平面任意力系才平衡。即要使F′R＝0，必须ΣFx＝０，ΣFy＝０由此得平面一般力系的平衡条件为它是平衡方程的基本形式。表示力系中各力在任何方向的坐标轴上投影的代数和等于零；各力对平面内任意点之矩的代数和等于零。前者说明力系对物体无任何方向的平动作用，方程称为投影方程；后者说明力系对物体无转动作用，方程称为力矩方程。平面一般力系的平衡方程例2-11例图ａ所示悬臂梁。已知F=10kN，q=2kN/m，M=4kN·m，试计算固定端支座A的支座反力。例2-12例一汽车式起重机，车重Q=26kN，起重机伸臂重G=4.5kN，起重机旋转及固定部分重W=31kN。各部分尺寸如图所示，单位为ｍ。设伸臂在起重机对称面内，且放在最低位置，求此时汽车不致翻倒的最大起重量FP。第5节平面力系的平衡条件五、平面平行力系的平衡条件平面平行力系，就是各力作用线在同一平面内且互相平行的力系。设物体上作用一平面力系F1、F2、…、FN，如图所示。若取坐标系中y轴与各力平行，则不论该力系是否平衡，各力在x轴上的投影恒等于零，即ΣFx≡０。因此，平面平行力系的平衡方程为即平面平行力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力在与其平行的坐标轴上投影的代数和等于零，及力对任一点之矩代数和等于零。其力矩式平衡方程为适用条件：A、B两点连线不能与各力的作用线平行。由此可见，平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。例2-13例塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力FW=500kN，重心在C点，与右轨B相距a=1.5m。最大起重量FP=250kN，与右轨B最远距离l=10m。平衡物重力为G，与左轨A相距x=６m，二轨相距b=3m。试求起重机在满载与空载时都不致翻倒的平衡物重G的范围。06物体系统的平衡问题第2章力学基础知识

第6节第6节物体系统的平衡问题物系：由几个物体通过连接所组成的物体系统，简称物系。外界物体作用于系统的力，称为外力；系统内部各物体之间相互作用的力，称为内力。由平衡定理知，当整个系统处于平衡时，那么组成该系统的每个物体也都处于平衡状态。因此在求解物体系统的平衡问题时，即可选整个系统为研究对象，也可选单个物体或部分物体为研究对象。对每一个研究对象，在一般情况下，可列出三个独立的平衡方程，对于由N个物体组成