图象变换1正交变换傅立叶变换

第三章图像变换12023年9月2日什么是图像变换?图像变换是将图像从空间域变换到其它域（如频域）的数学变换。简单的图像变换通常就是一种二维的正交变换，但要求这种正交变换必须是可逆的，并且正变换和反变换的算法不能太复杂。常用的变换：傅立叶变换、离散余弦变换、沃尔什变换和哈达玛变换、霍特林变换、拉东变换、小波变换等等。第三章图像变换22023年9月2日一、正交变换第三章图像变换32023年9月2日连续函数集合的正交性正交函数集合当C=1时，称集合为归一化正交函数集合第三章图像变换42023年9月2日正交函数集合的完备性若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号，平方可积。可以表示为：对任意小的ε＞0，存在充分大的N，其中

，则称函数U集合是完备的。

意味着f(x)可以由无穷级数来表示第三章图像变换52023年9月2日离散情况n个正交向量

当C=1时，称归一化正交。即每一个相量为单位相量。第三章图像变换62023年9月2日满足上式的基相量组成矩阵：则一定满足：第三章图像变换72023年9月2日一维正交变换对于一向量f，用上述正交矩阵进行运算：g=Af若要恢复f，则:以上过程称为正交变换。我们把原为A-1可以用AT来代替的A阵称为正交矩阵。第三章图像变换82023年9月2日二维正交变换

N×N二维函数可以类似于一维正变换核反变换核显然，这两个变换核应该满足正交性和完备性。第三章图像变换92023年9月2日二、傅立叶变换第三章图像变换102023年9月2日傅立叶变换傅立叶变换域也称为频域变换，它把图像从图像空间变换到频率空间。将原定义在图像空间的图像以某种形式转换（正变换）到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间（反变换或逆变换）以得到所需要的效果。第三章图像变换112023年9月2日1.连续函数的傅立叶变换若把一个一维输入信号作一维傅立叶变换，该信号就被变换到频域上的一个信号，即得到了构成该输入信号的频谱，频谱反映了该输入信号由哪些频率构成。当一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x)

（1）具有有限个间断点；（2）具有有限个极值点；（3）绝对可积。则其傅立叶变换对（正变换和逆变换）一定存在。第三章图像变换122023年9月2日一维傅立叶变换的定义f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：其反变换为：式中：，x称为时域变量，u为频域变量。通常傅立叶变换为复数形式F(u)=R(u)+jI(u)幅度谱：相位谱：第三章图像变换132023年9月2日变换分析的直观说明

把一个信号的波形分解为许多不同频率正弦波之和。第三章图像变换142023年9月2日一维傅立叶变换举例方波信号：经过傅立叶变换后：第三章图像变换152023年9月2日一维离散傅立叶变换(DFT)一维离散傅立叶变换公式为：逆变换为：

数学上建立傅立叶变换的f(x)是连续的模拟信号，而计算机处理的是离散的数字信号，同时数学上用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常就将这种受限的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（DFT）。第三章图像变换162023年9月2日由欧拉公式可知

可得可见，离散序列的傅立叶变换仍然是一个离散的序列，每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和。

每个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值。

第三章图像变换172023年9月2日二维离散傅立叶变换对于二维傅立叶变换，由一维推广而来，其离散形式为：逆变换为：幅谱(频谱)、相谱：第三章图像变换182023年9月2日二维傅立叶变换举例对于二维方波信号傅立叶变换为：幅度：第三章图像变换192023年9月2日例：函数在以原点为中心的一个正方形内为正值常数，而在其它地方为零。傅立叶频谱幅度的灰度图显示。第三章图像变换202023年9月2日二维傅立叶变换的性质

1.分离性

二维傅立叶变换可由连续两次运用一维傅立叶变换来实现。

第三章图像变换212023年9月2日

由可分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x,y)按列进行傅立叶变换得到F(x,v)，再对F(x,v)按行进行傅立叶变换，便可得到f(x,y)的傅立叶变换结果，如图所示。显然对f(x,y)先按行进行离散傅立叶变换，再按列进行离散傅立叶变换也是可行的。

第三章图像变换222023年9月2日2.平移性

将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置。

F(u,v)与一个指数项相乘就相当于把其反变换后的空域中心移动到新的位置。

对f(x,y)的平移不影响其傅立叶变换的幅值。第三章图像变换232023年9月2日3.周期性和共扼对称性

如果f(x,y)是实函数，则它的傅立叶变换具有共扼对称性：F*(u,v)为F(u,v)的复共扼。

假定傅立叶变换和反变换均以N为周期。第三章图像变换242023年9月2日

由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转θ0角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度θ0

。离散傅立叶变换的旋转不变性如图3-3所示。

图3-3离散傅立叶变换的旋转不变性（a）原始图像；（b）原图像的傅立叶频谱；（c）旋转45°后的图像；（d）图像旋转后的傅立叶频谱(a)(b)(d)(c)4.旋转性质

借助极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，u=wcosφ，v=wsinφ，将f(x,y)和F(u,v)转换为f(r,θ)和F(w,φ)。

第三章图像变换252023年9月2日傅立叶变换和反变换对加法满足分配律，但对乘法则不满足。

5.分配律

6.尺度变换(缩放)／比例性质第三章图像变换262023年9月2日将u=v=0代入正变换式，可以得到：7.平均值

2个函数的卷积定义为：8.卷积平均值计算计算步骤:折叠位移相乘积分（求和）图像变换(二)快速傅立叶变换、离散余弦变换第三章图像变换282023年9月2日普通傅立叶变换：

完成全部DFT运算的计算量与N2成正比。特别是当N较大时，其运算时间将迅速增长，以至于无法容忍。

为此，研究离散傅立叶变换的快速算法（FastFourierTransform，FFT）非常必要。研究快速傅立叶变换的必要性

快速离散傅立叶变换一种称为逐次加倍法的快速傅立叶变换算法（FFT），它是1965年Cooley和Tukey首先提出的。算法时间复杂度为Nlog2N。当N很大时计算量可以大大减少。第三章图像变换302023年9月2日记称为旋转因子。则有：单位圆表示：快速傅立叶变换(3-1)第三章图像变换312023年9月2日式中，由Wux构成的矩阵称为W阵或系数矩阵。

一维离散傅立叶变换（DFT）用矩阵的形式表示为：第三章图像变换322023年9月2日W的定义表达式W=e-j2π／N，由欧拉公式知系数W是以N为周期的。这样，W阵中很多系数就是相同的，且由于W的对称性，即因此可进一步减少计算工作量。例如，对于N=4，W阵为W4＝W0，W6＝W2，W9＝W1；W3＝－W1，W2＝－W0第三章图像变换332023年9月2日

可见N=4的W阵中只需计算W0和W1两个系数即可。说明W阵的系数有许多计算工作是重复的，如果把一个离散序列分解成若干短序列，并充分利用旋转因子W的周期性和对称性来计算离散傅立叶变换，便可以简化运算过程，这就是FFT的基本思想。

设N为2的正整数次幂，即如令M为正整数，且N=2M第三章图像变换342023年9月2日将式N=2M代入式（3-1），离散傅立叶变换可改写成如下形式：由旋转因子W的定义可知

，因此式(3-2)变为

现定义

(3-2)(3-3)(3-4)(3-5)第三章图像变换352023年9月2日于是式(3-3)变为(3-6)

进一步考虑W的对称性和周期性可知 和 ，于是(3-7)

由此，可将一个N点的离散傅立叶变换分解成两个N／2短序列的离散傅立叶变换，即分解为偶数和奇数序列的离散傅立叶变换Fe(u)和Fo(u)。第三章图像变换362023年9月2日

在此，以计算N=8的DFT为例，此时n=3，M=4。由式(3-6)和式(3-7)可得(3-8)第三章图像变换372023年9月2日

式（3-8）中，u取0～7时的F(u)、Fe(u)和Fo(u)的关系可用图3.1描述。左方的两个节点为输入节点，代表输入数值；右方两个节点为输出节点，表示输入数值的叠加，运算由左向右进行。线旁的W18和－W18为加权系数，定义由F(1)、F(5)、Fe(1)和Fo(1)所构成的结构为蝶形运算单元,其表示的运算为(3-9)图3.1蝶形运算单元第三章图像变换382023年9月2日

由于Fe(u)和Fo(u)都是4点的DFT，因此，如果对它们再按照奇偶进行分组，则有第三章图像变换392023年9月2日图3.24点DFT分解为2点DFT的蝶形流程图

第三章图像变换402023年9月2日二维快速傅立叶变换的Matlab实现简单图像及其傅立叶变换Eg3.4d=zeros(32,32);d(13:20,13:20)=1;figure(1);imshow(d,'notruesize');D=fft2(d);figure(2);imshow(abs(D),[-15],'notruesize');

第三章图像变换412023年9月2日第三章图像变换422023年9月2日二维快速傅立叶变换的Matlab实现eg3.3figure(1);loadimdemossaturn2;imshow(saturn2);figure(2);S=fftshift(fft2(saturn2));imshow(log(abs(S)),[]);

第三章图像变换432023年9月2日频域变换的一般表达式1、可分离变换

二维傅立叶变换可用通用的关系式来表示：(3-10)(3-11)式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1；g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正向变换核和反向变换核。

第三章图像变换442023年9月2日如果g(x,y,u,v)=g1(x,u)g2（y,v） (3-12)h(x,y,u,v)=h1(x,u)h2(y,v) (3-13)

则称正、反变换核是可分离的。如果g1和g2，h1和h2在函数形式上一样，则称该变换核是对称的。二维傅立叶变换对是一个特殊情况，它们的核为可分离对称第三章图像变换452023年9月2日

对于图像变换，只要其变换核是可分离的，就可用两次一维变换来实现。

如果先对f(x,y)的每一列进行一维变换得到F(y,u)，再沿F(y,u)每一行取一维变换得到F(u,v)，和先对f(x,y)的每一行进行一维变换得到F(x,v)，再沿F(x,v)每一列取一维变换得到F(u,v)其最终结果是一样的。

该结论对反变换核也适用。第三章图像变换462023年9月2日3.4离散余弦变换第三章图像变换472023年9月2日3.4.1一维离散余弦变换一维DCT的变换核定义为式中，x,u=0,1,2,…,N－1；(3-47)(3-48)

一维DCT定义如下：设{f(x)|x=0,1,…,N-1}为离散的信号列。(3-49)式中，u,x=0,1,2,…,N－1。第三章图像变换482023年9月2日将变换式展开整理后，可以写成矩阵的形式，即F=Gf（3-50）其中(3-51)第三章图像变换492023年9月2日

一维DCT的逆变换IDCT定义为(3-52)

式中，

x,u=0,1,2,…,N－1。可见一维DCT的逆变换核与正变换核是相同的。第三章图像变换502023年9月2日3.4.2二维离散余弦变换将一维DCT的定义推广到二维DCT。其正变换核为(3-53)式中，C(u)和C(v)的定义同式（3-48）；x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。第三章图像变换512023年9月2日3.4.2二维离散余弦变换二维DCT定义如下：设f(x,y)为M×N的数字图像矩阵，则(3-54)式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。第三章图像变换522023年9月2日

二维DCT逆变换定义如下：(3-55)式中：x,u=0,1,2,…,M－1；

y,v=0,1,2,…,N－1。类似一维矩阵形式的DCT，可以写出二维DCT的矩阵形式如下：F=GfGT

(3-56)第三章图像变换532023年9月2日

同时，由式(3-55)和式(3-54)可知二维DCT的逆变换核与正变换核相同，且是可分离的，即(3-57)式中：C(u)和C(v)的定义同式（3-48）；

x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,