经济学根轨迹

4.1根轨迹法基本概念

根轨迹法基本概念

闭环零、极点与开环零、极点之间的关系幅角条件和幅值条件

根轨迹法基本概念

!系统特征根的图解方法根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。狭义根轨迹（通常情况）：变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。??希望按性能要求置于合适的位置。闭环极点（即闭环特征方程根）闭环控制系统稳定性、瞬态响应特性??系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解，不方便。闭环零、极点与开环零、极点间的关系前向通道根轨迹增益反馈通道根轨迹增益前向通道增益开环系统根轨迹增益前向通道零点反馈通道零点前向通道极点反馈通道极点m个零点(m=f+l)n个极点(n=q+h)m个零点(m=f+l)n个极点(n=q+h)3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹增益均有关；

！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点。单位反馈系统（1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；（2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。幅角条件和幅值条件根轨迹方程m个零点n个极点（nm）幅值条件1）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；2）必要条件：幅角条件（k=0,1,2,…）1）幅角条件只与开环零、极点有关2）充要条件：

！！用幅角条件来绘制根轨迹，用幅值条件来确定已知根轨迹上某一点K’的值。

4.2绘制根轨迹图的基本规则根轨迹的起点和终点根轨迹分支数根轨迹的连续性和对称性实轴上的根轨迹根轨迹的渐近线根轨迹的分离点

根轨迹的起始角和终止角根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程根之和与根之积2）“×”、“〇”3）加粗线及箭头1）实轴、虚轴相同的刻度4）关键点的标注！绘制注意点根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点幅值条件s值必须趋近于某个开环极点

根轨迹起始于开环极点s值必须趋近于某个开环零点

根轨迹终止于开环零点根轨迹分支数n阶系统，根轨迹有n个起始点，

系统根轨迹有n个分支2）实际物理系统，开环极点一般多于开环零点，即n>m。m条终止于开环零点（有限值零点)；（n－m）条根轨迹分支终止于（n－m）个无限远零点。1）系统特征方程的阶次为n次特征方程有n个根

K变化(0到∞

),n个根随着变化n条根轨迹。根轨迹的连续性和对称性

根轨迹是连续曲线，且对称于实轴。闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下，各根分别是K的连续函数；特征方程的根为实根或共轭复数根。！仅需先购画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部由镜象求得。如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。实轴上的根轨迹开环零点：z1开环极点：p1、p2、p3、p4、p5在实轴区段[p2，p3]上取试验点s1每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360°；s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0°。s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180°；

？

根轨迹的渐近线当系统n>m时，有（n－m）条根轨迹分支终止于无限远零点。沿着渐近线趋于无限远处，渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。渐近线与实轴的倾角（k=0，1，2，…）：渐近线与实轴交点的坐标值：证明1）当k值取不同值时，

a有（n－m）个值，而

a不变；2）根轨迹在s

∞时的渐近线为 （n－m）条与实轴交点为

a

、倾角

a为的一组射线。根轨迹的分离点分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。分离点必然是为D(s)某一数值时的重根点。1、

b坐标值由分式方程解出解析法试凑法例2、由极值点求解

b

坐标值由解出

b

例必要条件：!!当解得多个s值时，其中k’值为正实数时才有效。3、重根法求解

b

证明由解出

b

分离点（或会合点）处的根轨迹的会合角（或分离角）会合（或分离）的根轨迹的条数分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角r重根

r>1含两边求导

b必要条件：!!当解得多个s值时，其中k’值为正实数时才有效。

b坐标值由分式方程解出根轨迹在S平面上相遇并有重根，设重根为s1，根据代数中的重根条件，有

或两式相除或即得解出s1，即为分离点

b根轨迹的起始角和终止角起始角

p:从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。根轨迹起始角的一般计算式(0～360°)k＝0，1，…

证明

终止角

z:进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。根轨迹终止角一般计算式(0～360°)

例根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交

闭环特征方程有纯虚根、系统处于稳定边界。1）应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K’，由K’值求出相应的ω值例2）代数法代入特征方程联立求解，

根轨迹与虚轴的交点ω值和相应的临界K’值。例闭环特征方程根之和与根之积系统闭环特征多项式zi开环零点si闭环极点pi开环极点闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程的系数关系：1）(n-m)

2时，根之和与根轨迹增益K’无关，是个常数，且有2）根之和不变

K’增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。例分别绘B=4、9、12、∞时闭环系统的根轨迹的大致形状。分别绘如下闭环系统的根轨迹的大致形状。4.3控制系统的根轨迹绘制

已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制根轨迹的大致形状。一单回路系统二参量根轨迹

控制系统开环传递函数，试绘制以α为参变量的根轨迹以及同时变化K时的根轨迹。

以α为参变量的根轨迹方程α＝0不同K值，可得到系统不同根轨迹图，即根轨迹簇根轨迹与虚轴交点以α为参变量的根轨迹方程m个零点n个极点（nm）幅值条件“+”“-”“1”幅角条件（k=0,1,2,…）“2kπ”三正反馈系统的根轨迹根轨迹的分支数(相同)根轨迹的起点和终点(相同)根轨迹的对称性(相同)实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开环实零、极点数目之和相应为偶数(0也视为偶数)。根轨迹的渐近线：根轨迹渐近线与实袖的交点(相同)根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为根轨迹的会合点和分离点(相同)根轨迹的出射角和入射角离开开环极点出射角进入开环零点的入射角根轨迹与虚轴的交点(相同)闭环极点的和与积(相同)正反馈系统的根轨迹的基本规则例m个零点n个极点（nm）幅值条件幅角条件（k=0,1,2,…）

很小迟滞系统的根轨迹

4.5控制系统的根轨迹分析

根轨迹图上希望闭环极点的位置开环零点和极点对根轨迹的影响增加开环极点的影响

增加一个惯性环节增加开环零点的影响

加入一阶微分环节（s－zc）

加入环节增加一对开环零极点的影响开环偶极子|zc|<|pc||zc|>|pc|根轨迹图上希望闭环极点的位置二阶系统的等Mp线（即等ζ线）二阶系统的等ts线开环传递函数上增加极点降低了系统的相对稳定性渐近线与实轴倾角随着n数增大而减小根轨迹向右方向弯曲渐近线与实轴交点随着pc增大（pc点在实轴上向右移）而右移，故更靠近原点。向右弯曲趋势随着所增加的极点移近原点而加剧增加开环极点的影响右移极点增加一个极点的情况开环传递函数上增加零点提高了系统的相对稳定性渐近线与实轴倾角随着m数增大而增加根轨迹向左方向弯曲渐近线与实轴交点随着Zc增大（Zc点在实轴上向右移）而左移增加一个零点的情况右移零点增加的零点相对靠近虚轴而起主导作用零极点对应的矢量幅角附加提供一个超前角

“超前校正”相当于附加零点的作用(使根轨迹向左弯曲，改善了系统动态性能。)|zc|<|pc|增加的极点相对靠近虚轴而起主导作用附加提供一个滞后角相当于附加极点的作用

(使根轨迹向右弯曲)|zc|>|pc|开环偶极子开环偶极子距离原点较远

极点pc’和零点zc’到较远的s点的矢量基本相等；幅值条件和