工学电力系统潮计算

2023/9/21第一章电力系统潮流计算第一节概述电力系统潮流计算：根据给定的网络结构及运行条件，求出整个网络的运行状态（母线电压、功率分布以及功率损耗）。潮流计算的作用：离线：规划设计、运行方式选择、优化计算、故障分析以及静、暂态稳定计算。在线：实时安全监控。是电力系统稳态分析的最基本内容。潮流计算的基本要求：（1）算法的可靠性或收敛性（2）计算速度和内存占用量（3）计算的方便性和灵活性-----评价各种潮流算法性能时所依据的主要标准2023/9/22

第二节潮流计算的数学模型一、潮流计算中的节点分类-----潮流计算问题最基本的方程式，非线性代数方程式。电力系统节点分类：PQ节点，PV节点、V

节点2023/9/23二、节点功率方程2023/9/24

式中p、u、x分别表示扰动变量、控制变量、状态变量，潮流计算的含义就是针对某个扰动变量，根据给定的控制变量，求出相应的状态变量。潮流方程更简洁的表示方式2023/9/25第三节牛顿潮流算法一、牛顿法的基本原理牛顿法在数学上是求解非线性代数方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程。2023/9/26

将初值与修正量相加，得到变量的第一次修正值。

可见，牛顿法的核心便是反复形成并求解修正方程式的过程。迭代过程一直进行到满足以下收敛判据为止。或式中：是预先给定的小正数。2023/9/27例：用牛顿法求方程在附近的一个根。如用：则由牛顿迭代公式

算得：如用：算得：可见：用牛顿法求方程的根，初始值的选取十分重要。2023/9/28二、牛顿法计算的潮流方程式2023/9/29（二）直角坐标形式2023/9/210

对每个PV节点，还有公式：

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(2)雅可比短阵的元素都是节点电压的函数，每次迭代，雅可比矩阵都需要重新形成。

(3)分析雅可比矩阵的非对角元素的表示式可见，某个非对角元素是否为零决定于相应的节点导纳矩阵元素是否为零。因此如将修正方程式按节点号的次序排列，井将雅可比矩阵分块，把每个2×2的子阵作为一个元素，则按节点顺序而成的分块雅可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。（4）和节点导纳矩阵具有相同稀疏结构的分块雅可比矩阵在位置上对称，但由于数值上不等，说以，雅可比矩阵式一个不对称矩阵。2023/9/213四、牛顿潮流算法的性能分析优点：⑴收敛速度快。如果初值选择较好，算法将具有平方收敛性，一般迭代4~5次便可以收敛到一个非常精确地解，而且其迭代次数与计算的网络规模基本无关。⑵良好的收敛可靠性。甚至对于病态的系统，牛顿法均能可靠地收敛。缺点：⑴启动初值要求高。，或用高斯—赛德尔法迭代1—2次作为初值。⑵计算量大、占用内存大。由于雅可比矩阵元素的数目约为2(n-1)×2(n-1)个，且其数值在迭代过程中不断变化，因此每次迭代的计算量和所需的内存量较大。2023/9/214

第四节

P-Q

分解法（快速解耦法）潮流计算

一、P-Q

分解法的基本原理

P-Q

分解法派生于以极坐标形式表示的牛顿法；首先高压电力系统中x﹥﹥

r,即有功功率的变化主要决定于电压相位角的变化，而无功功率的变化主要取决于电压幅值的变化。

极坐标形式的牛顿潮流计算法的修正方程为：

这一步简化将原来的2n-2+m阶的方程式分解为一个n-1阶和一个n-m-1阶的方程，大大节省了内存量和解题时间，但是H和L的元素仍然是节点电压函数且不对称。（2-36）（2-37）（2-38）2023/9/215考虑（1）、（2）之后矩阵H和L各元素的表达式可简化为：（2-39）（2-40）（2-41）（2-42）（2-43）2023/9/216

式中，U是由各节点电压幅值组成的对角阵。将式（2-43）带入（2-37）、式（2-38）并加以整理，可得P-Q分解法修正方程式为：（2-44）（2-45）

通过这一步简化，修正方程式中的系数矩阵由节点导纳矩阵的虚部构成，从而是常数矩阵。在实际的P-Q分解法程序中，为了提高收敛速度，对它们的构成作了下面一些修改：⑴在中尽量去掉那些对有功功率及电压相角影响较小的因素，如略去变压器非标准电压比和输电线路充电电容的影响；在中尽量去掉那些对无功功率及电压幅值影响较小的因素，如略去输电线路电阻的影响。⑵为了减少在迭代过程中无功功率及节点电压幅值对有功迭代的影响，将（2-44）右端U各元素均置为标幺值1.0.2023/9/217⑶当潮流程序中要求考虑负荷静态特性时，中对角元素除导纳矩阵对角元素的虚部以外，还要附加反映负荷静态特性的部分。包括j=i

的情况。(2-46)(2-47)2023/9/218

二、P-Q分解法的特点和性能分析

快速解耦法和牛顿法的不同，主要体现在修正方程式上面。比较两种算法的修正方程式，可见快速解耦用法具有以下持点：

(1)用解两个阶数几乎减半的方程组(一个n一1阶及一个M—M一1阶)代替牛顿法的解一个2n—m一2阶方程组，显著地减少了内存需量及计算量；(2)不同于牛顿法的每次迭代都要重新形成雅可比矩阵并进行三角分解，这里系数矩阵是两个常数阵，为此只需在进入选代循环以前一次形成并进行三角分解组成因子表，在迭代过程中就可以反复应用，为此大大缩短了每次迭代所需的时间；(3)雅可比矩阵J不对称，而B阵都是对称阵，为此只要形成并贮存因子表的上三角或下三角部分，这样又减少了三角分解的计算量并节约了内存。（4）快速解耦法内存量约为牛顿法的60％，每次迭代所需时间约为牛顿法的20％，而且程序设计简单，具有较好的收敛可靠性，成为当前使用最为普遍的一个算法（离线、在线）。2023/9/219牛顿法和P-Q解耦发的典型收敛特性NR—牛顿法；FDLF—快速解耦法2023/9/220

右面给出了快速解耦法的程序原理框图，其中KP和KQ分别是表征有功和无功迭代收敛情况的记录单元。2023/9/221三、元件大R/X比值病态问题

快速解耦法是在X﹥﹥

R基础上进行的，当系统出现元件大R/X比值病态问题时，算法会不收敛。

克服方法：1、串联补偿法2、并联补偿法3、对算法加以改进对B元素采用不同取值方法。2023/9/222配网潮流计算法配网自身的特点：环形结构设计、开环运行方式（辐射状线路）；存在大R/X比值问题；因此，配电网不适用P-Q分解法等常规潮流算法。目前常用的方法有：前推回推算法；回路阻抗算法；配网有时需考虑三相潮流计算第五节潮流计算中负荷静态特性的考虑

电力系统的负荷从系统中吸取的有功功率及无功功率一般都要随其端电压的波动而变化。因此，在潮流计算时，这里说给定的各节点负荷功率，严格地讲，只有在一定电压下才有意义，当该点电压和预定的电压值有偏差时，它的负荷功率就要按照其静特性而变化。2023/9/223

由于各节点负荷的组成成分及特性千差万别，要精确地写出各节点负荷的电压特性表达式是困难的。因此，在潮流程序中考虑负荷静特性时，一般把负荷功率当作该点电压的线性函数和非线性函数两种方法。这里主要介绍负荷功率当作节点电压的非线性函数。这个非线性函数一般选用多项式函数或者指数函数。负荷功率当作该点电压的非线性函数

是节点电压为Ui0时的节点有功、无功的给定值。a,b,c为分配系数，有以下关系，具体值要由现场试验测定。2023/9/224（PIC）模型：

负荷看成恒功率(电压平方项)、恒电流(电压一次方项)、恒阻抗(常数项)三者的线性组合（也广泛用于电力系统静态、暂态稳定计算）。潮流计算公式作如下修改：计及负荷特性，算法收敛，可靠性提高。负荷静态特性的考虑属于潮流计算中自动调整的范畴。此外，还有PV节点无功越界、PQ节点电压越界的自动处理，以及带负荷调压变压器抽头的自动调整等。2023/9/225

第六节保留非线性潮流算法一、保留非线性潮流算法的数学模型直角坐标形式的潮流方程为

由上式可见，采用直角坐标形式时，潮流问题实际上就是求解一个不含变量一次项的二次代数方程组。

对这样的方程组用泰勒级数展开，则二阶项系数已是常数，没有二次以上的高阶项，所以泰勒级数只要取三项就能够得到一个没有截断误差的精确展开式。因此从理论上，假若能够从这个展开式设法求得变量的修正量，并将它对估计初值加以修正，则只要一步就可求得方程组的解。而牛顿法出于线性近似，略去了高阶项，因此用每次迭代所求得的修正量对上一次的估计值加以改进后，仅是向真值接近了一步而已。（2-64）2023/9/226

为了推导算法的方便，下面将上述潮流方程写成更普遍的齐次二次方程的形式。首先作以下定义：一个具有n个变量的齐次代数方程式的普遍形式为：（2-65）2023/9/227于是，潮流方程组就可以写成如下的矩阵形式：系数矩阵A为：（2-66）（2-67）2023/9/228二、保留非线性潮流算法的基本原理1、泰勒级数展开式

对式（2-65）在初值附近进行泰勒级数展开，可得到如下没有截断误差的精确展开式：（2-69）得到精确泰勒展开式为：（2-70）2023/9/229（2-71）（2-72）2023/9/230H是一个常数矩阵，其阶数很高，但高度稀疏。式（2-70）的第三项相当复杂，研究表明可以将其改写成如下形式：（2-73）具体证明见课本第36页。该式是一个非常重要的关系式，它促成了本算法的突破，使二阶项的计算非常方便。2、数值计算迭代公式：式（2-73）是一个以作为变量的二次代数方程组，从一定的初值出发，求解满足该式的解仍然要采用迭代的方法。式（2-73）可改写成：（2-79）2023/9/231于是，算法的具体迭代公式为：（2-80）算法的收敛判据是：也可以采用相邻两次迭代的二阶项之差作为收敛判据，即（2-81）（2-82）三、保留非线性算法的特点和性能分析保留非线性快速潮流算法的特点可以通过和牛顿法进行比较而得以揭示。2023/9/232设求解的方程是：则，牛顿法德迭代公式是：保留非线性潮流算法的迭代公式是：2023/9/233

保留非线性快速潮流算法的原理框图如右图所示。2023/9/234

由迭代公式可见，与牛顿法的在迭代过程中变化的雅可比矩阵不同，保留非线性快速潮流算法采用的是初值x(0)计算而得到的恒定雅可比矩阵，整个计算过