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9/2/202312:56AM线性代数讲义设计制作王新心9/2/202312:56AM(一)余子式和代数余子式§1.6行列式按行(列)展开

(二)行列式按行(列)展开9/2/202312:56AM一般而言,第一章行列式低阶行列式比高阶行列式的计算要简单,所以有时会考虑用较低阶行列式来表示较高阶行列式。

【定义】在阶行列式中,将元留下的所在的第行和第列的元素划去后,阶行列式称为元的余子式,记作称为元的代数余子式。(一)余子式和代数余子式9/2/202312:56AM例如四阶行列式第一章行列式元的余子式和代数余子式分别为9/2/202312:56AM第一章行列式

【引理】一个阶行列式,的所有元素除元外都为0,那么这个行列如果其中第行即等于与它的代数余子式的乘积,证先证的情形,此时

(二)行列式按行(列)展开9/2/202312:56AM第一章行列式有这是上节例4中当时的特殊情况,再证一般情形又从而此时9/2/202312:56AM第一章行列式为了利用上面结论,调换:对的行列作如下行、…、第1行对调,这样数就调成元,将的第行依次与第行、第调换的次数为次;再将第列依次与第这样数就调列、第列、…、第1列对调,成元,调换次数为次。总之,经次调换,将数调成了元,所得的行列式9/2/202312:56AM第一章行列式有第1行其余元素都为0,利用前面的结果,于是而中元的余子式就是中元的余子式。由于的元为,证毕9/2/202312:56AM第一章行列式

【定理】行列式等于它的任一行(列)的各元素与之对应的代数余子式乘积之和,即证9/2/202312:56AM第一章行列式9/2/202312:56AM第一章行列式根据引理得类似地,若按列证明得此定理称为行列式按行(列)展开法则。利用这一法则并结合行列式的性质,行列式的计算。可以简化9/2/202312:56AM第一章行列式

例1计算上节中行列式9/2/202312:56AM第一章行列式9/2/202312:56AM第一章行列式

例2证明范德蒙德(Vandermonde)行列式利用数学归纳法9/2/202312:56AM第一章行列式(1)式成立。所以当时,成立,要证(1)式对阶范德蒙德行列式成立假设(1)式对于阶范德蒙德行列式为此设法将降阶,从第行开始,后行减去前行的倍,有9/2/202312:56AM第一章行列式按第1列展开,并将每列的公因子提出,有9/2/202312:56AM第一章行列式按归纳法假设,上式右端的行列式是阶范德蒙德行列式,它等于所有因子的乘积其中,故证毕9/2/202312:56AM第一章行列式故

例如行列式是一个范德蒙德行列式9/2/202312:56AM第一章行列式

【推论】行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即证将行列式按第行展开9/2/202312:56AM第一章行列式在上式中,可得将换成,9/2/202312:56AM第一章行列式上式右端行列式中有两行对应元素第行第行当时,9/2/202312:56AM第一章行列式相同,故行列式等于零,证毕即得上述证法如按列进行,即可得9/2/202312:56AM第一章行列式综合定理3及推论,重要性质:或有关于代数余子式的当当当当其中当当9/2/202312:56AM第一章行列式按照上述推论中所用的方法,在行列式按第行展开式中,用依次代替,可得9/2/202312:56AM第一章行列式事实上,将式左端行列式按第行展开,它的元的代数余子式等于中元9/2/202312:56AM第一章行列式的代数余子式,类似地,也可知式成立。用代替中的第列,可得9/2/202312:56AM第一章行列式

例3设求的元的余子式和代数余子式依次记作和,及9/2/202312:56AM第一章行列式等于即用代替的第1行所得的行列式,

解由式可知,9/2/202312:56AM第一章行列式由式可知9/2/202312:56AM内容小结第一章行列式

1、行列式按行(列)展开9/2/202312:56AM第一章行列式

2、代数余子式的性质或当当当当其中当当9/2/202312:56AM第一章行列式

1、设数余子式。解求的值,其中为元素的代备用题9/2/202312:56AM第一章行列式

2、设阶行列式求第一行各元素代数余

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