新高考数学人教版一轮课件第九章第八节离散型随机变量的均值与方差正态分布

第八节离散型随机变量的均值与方差、正态分布知识点一均值与方差1．均值(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：则称E(X)＝

为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的

．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝

.(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝

；②若X～B(n，p)，则E(X)＝

.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平aE(X)＋bpnp2．方差(1)设离散型随机变量X的分布列为平均偏离程度a2D(X)p(1－p)np(1－p)

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温馨提醒

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A知识点二正态分布1．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴

，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线

对称；上方x＝μx＝μ

1(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“

”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“

”，表示总体的分布越

．瘦高矮胖分散2．正态分布的三个常用数据(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝

；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝

；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝

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温馨提醒

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1．在N(μ，σ2)中，第二个数是σ2，而不是σ.2．若X～N(μ，σ2)，则随机变量X在μ的附近取值的概率很大，在离μ很远处取值的概率很小．

.0．68260．95440．99741．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝，则P(－2≤ξ≤2)＝(

)A．0.954 B．0.977C．0.488 D．A2．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(

)(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%B3．已知随机变量X服从正态分布X～N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________.题型一离散型随机变量的均值与方差合作探究[例]

(2021·八省联考模拟卷)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．[解析]

(1)设部件1需要调整为事件A，部件2需要调整为事件B，部件3需要调整为事件C，由题意可知：P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝0.3.部件1,2中至少有1个需要调整的概率为：1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－×＝1－＝0.28.(2)由题意可知X的取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝，

P(X＝1)＝P(A)[1－P(B)][1－P(C)]＋[1－P(A)]·P(B)[1－P(C)]＋[1－P(A)][1－P(B)]P(C)＝××＋××＋××＝，P(X＝2)＝P(A)P(B)[1－P(C)]＋P(A)[1－P(B)]·P(C)＋[1－P(A)]P(B)P(C)＝××＋××＋××＝0.092.P(X＝3)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝，故X的分布列为：1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．2.注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用.题型二正态分布合作探究

[例]

(2021·合肥市高三二检)为了解A市高三学生的数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，试估计该市参加此次检测考试的理科学生的数学平均成绩μ0；(精确到个位)(2)研究发现，本次检测考试的理科数学成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝μ0，σ＝19.3.①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的学生约占46%，据此估计在本次检测考试中达到升一本的理科数学成绩是多少分？(精确到个位)[题组突破]1．(多选题)(2021·山东济南模拟)已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(100,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是(

)附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.9973.A．该市学生数学成绩的期望为100B．该市学生数学成绩的标准差为100

ACC．该市学生数学成绩及格率超过D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等答案：32题型三均值方差的实际应用合作探究[例]某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位：元)，如图所示：(1)现从去年的消费金额超过3200元的消费者中随机抽取2人，求至少有1位消费者去年的消费金额在(3200，4000]内的概率；(2)针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：预计去年消费金额在(0,1600]内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在(1600,3200]内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(3200,4800]内的消费者都将会申请办理金卡会员，消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额，该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案1：按分层抽样从普通会员、银卡会员、金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元．方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球(球只有颜色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励，规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立)．请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少？并说明理由．

利用均值、方差进行决策的两个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？逻辑推理——期望与方差的创新交汇应用问题离散型随机变量的期望多在解答题中考查．除独立考查外，还与正态分布，统计等交汇考查．[例]

(2019·高考全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝，β＝0.8.①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．[解析]

(1)X的所有可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为(2)①证明：由(1)得a＝，b＝，c＝，因此pi＝pi－1＋pi＋pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．②由①可得p8＝p8－p