2021年北京市东城区中考数学一模试卷

2021年北京市东城区中考数学一模试卷

1.（单选题，2分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）

A.三棱柱II

B.正方体II

C.圆锥

D.圆柱

2.（单选题，2分）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象不过点（1,1）的是（）

A.y.

B.y=x2

C.y=-x4-l

D.y=x3

3.（单选题，2分）2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2

月10日，在经过长达七个月，475000000公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨

道.将475000000用科学记数法表示应为（）

A.4.75X107

B.4.75X108

C.4.75X109

D.475X106

4.（单选题，2分）一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一

个三角板的斜边上，在图中所标记的角中，与乙1相等的角是（）

A.Z2

B.Z3

C.Z4

D.Z5

5.（单选题，2分）如图，aABC经过旋转或轴对称得到△ABC,其中^ABC绕点A逆时针旋

转60。的是（）

Ciyc

B'

B

A.

6.（单选题，2分）实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是

（）

IIifliglI»

-4-3-2-101234

A.|a|>|b|

B.a<-b

C.a-b<0

D.ac>bc

7.（单选题，2分）如图，PA,PB是。。的切线，切点分别为A,B,PO的延长线交。。于

点C,连接OA,OB,BC.若AO=2,OP=4,贝此C等于（）

A.20°

B.30°

C.45°

D.60°

8.（单选题，2分）一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm,40cm.现要做一

个与其相似的三角形木架，如果以60cm长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边

最多可达到（）

A.60cm

B.75cm

C.lOOcm

D.120cm

9.（填空题，2分）若分式六的值为0,则x的值等于

10.（填空题，2分）分解因式：ma2-4mab+4mb2=—.

1L（填空题，2分）用一组a,b的值说明"若a>b,则a2>b2"是假命题，这组值可以是

a=___»b=___.

12.（填空题，2分）4月23日是世界读书日.甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书

22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1本，求甲、乙两位同

学分别购买的图书数量.设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为—.

13.（填空题，2分）有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：

投掷次数（n）"出现点数为1”的次数（频数（m）频率'

n

300520.173

400650.163

500800.160

600990.165

7001140.163

8001360.170

9001510.168

10001660.166

根据上表信息，掷一枚常殳子，估计“出现点数为1"的概率为（精确到0.001）

14.（填空题，2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为一.

15.（填空题，2分）若关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+c=0有两个相等的实数根，则

c的最小值是一.

16.（填空题，2分）小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择

的交通工具有地铁、公交车、出租车、共享单车等，小青的家到地铁站（或公交车站）有一段

距离，地铁站（或公交车站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车，共享单车的

计价规则为：每30分钟1.5元，不足30分钟的按30分钟计算.出行方式的相应信息如下表

（J表示某种出行方式选择的交通工具）：

乘出租车乘坐公交乘坐地铁骑共享单共需步行总用时费用

车车（公里）（分钟）（元）

方式1V2.0474

方式2563

方式3V1.6783

方式4V1.8803

方式5VV1.5606

方式6VV1.6566

方式7VV1.7556

方式8VV1.5576

方式90.23241

根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断：

①要使费用尽可能少，可以选择方式2,3,4；

②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式1;

③如果选择公交车和地铁混合的出行方式，平均用时约57分钟；

④如果将上述出行方式中的“步行"改为"骑共享单车"，那么除方式2外，其它出行方式的费

用均会超过8元.

其中推断合理的是—（填序号）.

17.（问答题，5分）计算：（,）i+V8-|-l|-6sin45°.

18.(问答题，5分)已知2x2-10x-l=0,求代数式(x-1)(2x-l)-(x+1)2的值.

19.（问答题，5分）尺规作图：

如图，已知线段a,线段b及其中点.

求作：菱形ABCD,使其两条对角线的长分别等于线段a,b的长.

作法：①作直线m,在m上任意截取线段AC=a；

@作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点0；

③以点。为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线EF于点B,D；

④分别连接AB,BC,CD,DA；

则四边形ABCD就是所求作的菱形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：••10A=0C,0B=0D,

四边形ABCD是

••,AC1BD,

四边形ABCD是菱形_（填推理的依据）.

a

bm

(1+x、2%-5i1

20.(问答题，6分)解不等式组：一丁〉丁+1，并写出其中的正整数解.

(5%+3>4%—1

X-l3-2X,y

21.(问答题，5分)解分式方程:----=-------F1.

X+22+X

22.(问答题，5分)如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE1AC于点E,DE的延长线

交AB于点F,过点B作BG||DF交DC于点G,交AC于点M.过点G作GN1DF于点N.

(1)求证：四边形NEMG为矩形；

(2)若AB=26,GN=8,sinzCAB=—,求线段AC的长.

23.(问答题，5分)在平面直角坐标系xOy中，直线h：y=kx+b与直线y=3x平行，且过点

A(2,7).

(1)求直线li的表达式；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.直线12与直线h关于y轴对称，直线y=m与直线

li，b围成的区域W内(不包含边界)恰有6个整点，求m的取值范围.

24.(问答题，6分)如图，AABC是。0的内接三角形，过点C作。0的切线交AB的延长线

于点D,0E1BC于点E,交CD于点F.

(1)求证：ZA+ZOFC=90°；

(2)若tanA=|,BC=6,求线段CF的长.

25.（问答题，6分）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年

2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情

况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：

分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析下面给出了相关信息：

a.30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：

个成绩/分

100-

80-•*.

70-**..,•

60-**

50-,,,

•♦•

40-

30-

20-

10-

i234$=「§61bli1九$官1$1；51加162’023232彳232'62'72'82'93()学生序号

b.30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40<x<50,50<x<

60,60<x<70,70<x<80,80<x<90,90<x<100)：

频数

8

4

3

2

1

4050―60—708090100―^数

c.测试成绩在704xV80这一组的是：70,73,74,74,75,75,77,78.

d.小明的冬奥知识测试成绩为85分.

根据以上信息，回答下列问题：

（1）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第一；

（2）抽取的30名同学的成绩的中位数为一；

（3）序号为1-10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为sF；序号为11-20的学生是八

年级的，他们的成绩的方差记为S22；序号为21-30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记

为S3Z.直接写出sF，S22,S32的大小关系;

（4）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优

秀的同学约为一人.

26.（问答题，6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（xi，yi）,B（X2，y2）在抛物线y=-

x2+（2a-2）x-a2+2a_h,其中xi〈X2.

（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；

（2）①当x=a时，求y的值；

②若yi=y2=0，求xi的值（用含a的式子表示）.

（3）若对于XI+X2<-4,都有yi<y2，求a的取值范围.

27.（问答题，7分）已知NMAN=30。，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动

点（不与点A,B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q,连接AQ,BQ,点A关于直线

BQ的对称点为点C,连接PQ,CP.

（1）如图1，若点P为线段AB的中点；

①直接写出ZAQB的度数；

②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；

（2）如图2,若线段CP与BQ交于点D.

①设z_BQP=a,求z_CPQ的大小（用含a的式子表示）；

②用等式表示线段DC,DQ,DP之间的数量关系，并证明.