辽宁省丹东市第二十七中学高三数学文上学期摸底试题含解析

辽宁省丹东市第二十七中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.集合,,则A．

B．

C.

D.参考答案：D3.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．函数有极大值和极小值

B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值参考答案：D6、若，则函数的两个零点分别位于区间（

）A、和内

B、和内

C、和内

D、和内参考答案：：A5.已知数列为等差数列，且，则的值为A. B.

C.

D.

参考答案：A6.函数的零点所在区间是

A．(0，1)

B．(1，2)

C．(3，4)

D．(4，+∞)参考答案：C7.已知条件p:x≤1，条件q:＜1，则p是q成立的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.不充分也不必要条件参考答案：B8.已知实数满足，则的最大值为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略9.若，则复数＝()A．－2－

B．－2＋

C．2－

D．2＋参考答案：D10.若执行如图所示程序框图，则输出的s值为（）A．﹣2016 B．2016 C．﹣2017 D．2017参考答案：B【考点】程序框图．【分析】由程序框图求出前几次运行结果，观察规律可知，得到的S的结果与n的值的关系，由程序框图可得当n=2017时，退出循环，由此能求出结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，s=0满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1，n=2满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3=2，n=3满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3﹣5=﹣3，n=4满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3﹣5+7=4，n=5满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣5，n=6满足条件n＜2017，执行循环体，s=6，n=7…满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣2015，n=2016满足条件n＜2017，执行循环体，s=2016，n=2017不满足条件n＜2017，退出循环，输出s的值为2016．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数.下列函数：①；②；③；④其中是一阶格点函数的有

.（填上所有满足题意的序号）.参考答案：①②④12.设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．13.函数在点处的切线方程为，则等于（

）参考答案：14.在棱长为的正方体中，，分别为线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是_____.参考答案：略15.定义某种运算,运算原理如右框图所示,则式子的值为_________.参考答案：1316.数列{an}中，an＝2n－1，现将{an}中的项依原顺序按第k组有2k项的要求进行分组：（1，3），（5，7，9，11），（13，15，17，19，21，23），…，则第n组中各数的和为

．参考答案：4n3设数列{an}前n项和为Sn，则Sn＝n2，因为2＋4＋…＋2n＝n(n＋1)＝n2＋n，2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)＝n2－n．所以第n组中各数的和＝Sn2＋n－Sn2－n＝(n2＋n)2－(n2－n)2＝4n3．【说明】考查等差数列前n项和．17.已知函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x3﹣4x，若函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣2）有4个零点，则实数a的取值范围为．参考答案：（0，1）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】利用导数判断x≥0时，f（x）=x3﹣4x的单调性，结合函数为偶函数作出简图，把函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣2）有4个零点转化为即方程f（x）﹣a（x﹣2）=0有4个根．也就是函数y=f（x）与y=a（x﹣2）有4个不同交点．求出过（2，0）与曲线f（x）=﹣x3+4x（x＜0）相切的直线的斜率，则答案可求．【解答】解：f（x）=x3﹣4x（x≥0），f′（x）=3x2﹣4=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．∴当x=时，f（x）有极小值为．函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣2）有4个零点，即方程f（x）﹣a（x﹣2）=0有4个根．也就是函数y=f（x）与y=a（x﹣2）有4个不同交点．如图：∵函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x3﹣4x，∴当x＜0时，f（x）=﹣x3+4x．设过（2，0）的直线与曲线f（x）=﹣x3+4x相切于点（），则，∴切线方程为．代入（2，0），得，即（x+1）（x﹣2）2=0，得x=﹣1．∴切线的斜率为a=﹣3×（﹣1）2+4=1．则实数a的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过小时收费元，超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过小时．（1）若甲停车小时以上且不超过小时的概率为，停车付费多于元的概率为，求甲停车付费恰为元的概率；（2）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为元的概率．参考答案：解：（1）设“甲临时停车付费恰为元”为事件，则．

甲临时停车付费恰为元的概率是．（2）设甲停车付费元，乙停车付费元，其中．则甲、乙二人的停车费用共有16种等可能的结果：

.其中，种情形符合题意．“甲、乙二人停车付费之和为元”的概率为．略19.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆C的极坐标方程为.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在圆C上，求x＋y的最大值和最小值．参考答案：解(1)由ρ2－4ρcos＋6＝0，得ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0，即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求，

……3分由圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，令x－2＝cosα，y－2＝sinα，得圆的参数方程为(α为参数)．

……6分(2)由上述可知x＋y＝4＋(cosα＋sinα)＝4＋2sin，

……10分故x＋y的最大值为6，最小值为2.

略20.已知函数f（x）=ln（ax）+x2﹣ax（a为常数，a＞0）（1）当a=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）当y=f（x）在x=处取得极值时，若关于x的方程f（x）﹣b=0在[0，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）若对任意的a∈（1，2），总存在x0∈[，1]，使不等式f（x0）＞m（a2+2a﹣3）成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；其他不等式的解法．【分析】（1）a=1时求出f′（x），则切线斜率k=f′（1），求出切点，利用点斜式即可求得切线方程；（2）求导数f′（x），令f′（）=0可得a，利用导数可求得函数f（x）在[0，2]上的最小值、最大值，结合图象可知只需满足直线y=b与y=f（x）的图象有两个交点即可；（3）先利用导数求出f（x）在[，1]上的最大值f（1）=ln（）+1﹣a，则问题等价于对任意的a∈（1，2），不等式ln（）+1﹣a﹣m（a2+2a﹣3）成立，然后利用导数研究不等式左边的最小值即可；【解答】解：（1）a=1时，，∴，于是，又f（1）=0，即切点为（1，0），∴切线方程为；（2），，即a2﹣a﹣2=0，∵a＞0，∴a=2，此时，，∴上递减，上递增，又，∴；（3）f′（x）=+2x﹣a==，∵1＜a＜2，∴=＜0，即，∴f（x）在[，2]上递增，∴f（x）max=f（1）=ln（）+1﹣a，问题等价于对任意的a∈（1，2），不等式ln（）+1﹣a＞m（a2+2a﹣3）成立，设h（a）=ln（+a）+1﹣a﹣m（a2+2a﹣3）（1＜a＜2），则h′（a）=﹣1﹣2ma﹣2m=，又h（1）=0，∴h（a）在1右侧需先增，∴h′（1）≥0，m≤﹣，设g（a）=﹣2ma2﹣（4m+1）a﹣2m，对称轴a=﹣1﹣≤1，又﹣2m＞0，g（1）=﹣8m﹣1≥0，所以在（1，2）上，g（a）＞0，即h′（a）＞0，∴h（a）在（1，2）上单调递增，h（a）＞h（1）=0，即ln（）+1﹣a＞m（a2+2a﹣3），于是，对任意的a∈（1，2），总存在x0∈[，1]，使不等式f（x0）＞m（a2+2a﹣3）成立，m．21.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P﹣A1BC的体积．参考答案：考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：证明题．分析：（Ⅰ）欲证BC⊥A1B，可寻找线面垂直，而A1A⊥BC，AD⊥BC．又AA1?平面A1AB，AD?平面A1AB，A1A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AB，问题得证；（Ⅱ）根据直三棱柱的性质可知A1A⊥面BPC，求三棱锥P﹣A1BC的体积可转化成求三棱锥A1﹣PBC的体积，先求出三角形PBC的面积，再根据体积公式解之即可．解答： 解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC?平面ABC，∴A1A⊥BC∵AD⊥平面A1BC，且BC?平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1?平面A1AB，AD?平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，又A1B?平面A1BC，∴BC⊥A1B；（Ⅱ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．在Rt∠△ABD中，，AB=BC=2，，∠ABD=60°，在Rt∠△ABA1中，．由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB?平面A1AB，从而BC⊥AB，．∵P为AC的中点，∴=．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．22.为了迎接2019年全国文明城市评比，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查.每一位市民有且仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示：组别频数2515020025022510050

（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求；（2）在（1）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；（ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为：获赠的随机话费（单位：元）2040概率

现市民小王要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数学期望.附：①；②若，则，，.参考答案：（1）P（36＜Z≤79．5）＝0．8186；（2）X的分布列为X20406080P

X的数学期望为．【分析】（1）根据题中所给的统计表，利用公式求得其平均数，即正态分布对应的，再利用数据之间的关系，，利用题中所给的数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求得对应的概率；（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各占一半，再结合得20、40元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进