【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册测试卷

【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册测试卷本册检测本次考试时间为120分钟，满分为150分。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={1,2}，B={2}，若B⊆A，则实数k的值为（D）解析：由于B是A的子集，所以B中的元素也在A中，即2∈A。又因为A中只有1和2两个元素，所以k只能取2。因此，选项D正确。2.关于命题“∃x∈R，使得x^2+x+1<0”的否定说法正确的是（B）解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论。所以，该命题的否定为“∀x∈R，均有x^2+x+1≥0”。因为x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0恒成立，所以原命题的否定是真命题。因此，选项B正确。3.sin1，cos1，tan1的大小关系为（A）解析：sin1=sin(π/2-1)>0，cos1=cos(π/2-1)<0，tan1=tan(π/4+1/2)>0。因此，tan1>sin1>cos1。选项A正确。4.lg2-lg(1/e)-(2^2+(-2)^2)的值为（A）解析：lg2-lg(1/e)-(2^2+(-2)^2)=lg2+lg5-2-2+2=lg10-2=1-2=-1。因此，选项A正确。5.设角α=-π/6，则2sin(π+α)cos(π-α)-(sin^2α+sin(π-α)-cos^2(π+α))/(1+sin^2α)的值为（D）解析：由于α=-π/6，所以sinα=-1/2，cosα=√3/2。代入式子得：2sin(π+α)cos(π-α)-(sin^2α+sin(π-α)-cos^2(π+α))/(1+sin^2α)=2sin(5π/6)cos(7π/6)-((-1/2)^2+sin(7π/6)-cos^2(5π/3))/(1+(-1/2)^2)=3。因此，选项D正确。经过修改后，文章格式规范，段落清晰。B．g(x)的周期为3πC．g(x)的图象关于x=3π对称D．g(x)的零点为3π/4和9π/4解析：将函数y=sin(x-π/4)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到函数y=sin(3x-3π/4)，再向左平移一个单位长度得到函数g(x)=sin(3x-7π/4)。因为sin(-x)=-sin(x)，所以g(x)是奇函数。g(x)的周期为2π/3，即3π的1/3，不是3π，所以B选项不正确。g(x)的图象关于x=3π/2对称，不是x=3π，所以C选项不正确。g(x)的零点为3π/4和9π/4，所以D选项正确。综上，选项ACD正确，选B错误，得3分。周期为π，故“a＝”不是函数“y＝cos22ax－sin22ax的最小正周期为π”的充要条件；C错，当a＝0时，命题p不成立，故a∈(－∞，0)∪(2，＋∞)；D正确，因为tanα＝tanβ的充要条件为α－β＝kπ，k∈Z，即“α＝β”既不充分也不必要．故选CD．.命题①不正确，因为当x=0时，A=B；②命题正确，因为2x+1的定义域为(-1/2,1)，而f(x)的定义域为(-1,1)，所以2x+1的取值范围为(-1/2,1)，即f(2x+1)的定义域为(-1/2,0)；③命题不正确，因为当x=0时，左边为0，右边为1；④命题正确，因为当a=b时，a-b=0，即左边为0，右边也为0。(1)首先可以得到OP的长度为1，因为P在单位圆上。接着根据P的坐标可以得到，三角形OAP是一个$3:4:5$的直角三角形，因此sinα=3/5，cosα=4/5。代入原式得到：$$\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+1}{1+\tan\alpha}=\frac{(3/5)^2+(4/5)^2+1}{1+\frac{3}{4}}=\frac{25}{7}$$(2)根据cos(α-β)的公式，可以得到cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=1/2。代入β=α-π/4，可以得到：$$\cos(\alpha-\alpha+\frac{\pi}{4})=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$因此，sin(α+β)可以表示为sin(2α-π/4)，代入sin(2x)的公式得到：$$\sin(2\alpha-\frac{\pi}{4})=2\sin\alpha\cos\alpha-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{24}{25}-\frac{1}{\sqrt{2}}$$已知函数$f(x)=\begin{cases}x+2,&x\leq0,\\\log_ax,&x>0,\end{cases}$且点$(4,2)$在函数$f(x)$的图像上。(1)求函数$f(x)$的解析式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数$f(x)$的图像；(2)求不等式$f(x)<1$的解集；(3)若方程$f(x)-2m$有两个不相等的实数根，求实数$m$的取值范围。解析：(1)因为点$(4,2)$在函数$f(x)$的图像上，所以$f(4)=\log_a4=2$，解得$a=2$。所以$f(x)=\begin{cases}x+2,&x\leq0,\\\log_2x,&x>0.\end{cases}$函数的图像如下图所示。(2)不等式$f(x)<1$等价于$x+2<1$或$\log_2x<1$，解得$0<x<2$或$x<-1$，所以原不等式的解集为$\{x|0<x<2\text{或}x<-1\}$。(3)因为方程$f(x)-2m$有两个不相等的实数根，所以函数$y=2m$的图像与函数$y=f(x)$的图像有两个不同的交点。结合图像可得$2m\leq2$，解得$m\leq1$。所以实数$m$的取值范围为$(-\infty,1]$。已知函数$f(x)=3\sin(2018\pi-x)\cdot\sin(\frac{\pi}{2}+x)-\cos2x+1$。(1)求函数$f(x)$的对称中心；(2)若对于任意的$x\in[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，都有$|f(x)-m|\leq1$恒成立，求实数$m$的取值范围。解析：(1)将函数$f(x)$化简得$f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{2})+\frac{3}{2}\cos2x+1$。令$2x-\frac{\pi}{2}=k\pi,k\inZ$，解得$x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},k\inZ$，所以函数$f(x)$的对称中心为$(\frac{5\pi}{4}+k\pi,1)$，$k\inZ$。(2)因为$x\in[-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，所以$2x-\frac{\pi}{2}\in[-\pi,\pi]$。所以$\sin(2x-\frac{\pi}{2})\in[-1,1]$，$\frac{3}{2}\cos2x\in[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}]$，$f(x)\in[-\frac{1}{2},\frac{5}{2}]$。因为$|f(x)-m|\leq1$恒成立，所以$-1\leqf(x)-m\leq1$，即$-1+f(x)\leqm\leq1+f(x)$。所以$m$的取值范围为$[\max\{-\frac{1}{2},-1+f(x)\},\min\{\frac{5}{2},1+f(x)\}]$，即$[\frac{1}{2},\frac{7}{2}]$。(1)根据表格可列出方程组：$$\begin{cases}A\sin(\frac{\pi}{6}\omega+\varphi)+B=-1\\A\sin(\frac{3\pi}{6}\omega+\varphi)+B=1\\A\sin(\frac{5\pi}{6}\omega+\varphi)+B=3\\A\sin(\frac{7\pi}{6}\omega+\varphi)+B=1\\A\sin(\frac{11\pi}{6}\omega+\varphi)+B=-1\\\end{cases}$$解得：$A=2,B=1,\omega=1,\varphi=-\frac{\pi}{6}$，因此$f(x)=2\sin(x-\frac{\pi}{6})+1$。(2)根据题意，可列出方程$f(kx)=m$，即$2\sin(kx-\frac{\pi}{6})+1=m$。因为$\sin(kx-\frac{\pi}{6})$的最小正周期为$\frac{2\pi}{k}$，所以当$\frac{2\pi}{k}=2\pi$时，即$k=1$时，$f(x)$的周期为$2\pi$。当$x\in[0,\frac{2\pi}{k}]$时，$f(kx)$的取值范围为$[m_{\min},m_{\max}]$。因为$\sin(kx-\frac{\pi}{6})$的取值范围为$[-1,1]$，所以当$m\notin[m_{\min},m_{\max}]$时，方程$f(kx)=m$无解。当$m\in[m_{\min},m_{\max}]$时，方程$f(kx)=m$有两个不同的解，即$\sin(kx-\frac{\pi}{6})=\frac{m-1}{2}$有两个不同的解。因为$\sin(kx-\frac{\pi}{6})$的周期为$\frac{2\pi}{k}$，所以$\frac{m-1}{2}$的周期也为$\frac{2\pi}{k}$。因此，$\frac{m-1}{2}$的取值范围为$[-1,1]$中，所有满足$\frac{2\pi}{k}$为周期的区间。即$\frac{2\pi}{k}\in[2\pi,6\pi]$，解得$k\in[\frac{1}{3},1]$。因此，实数$m$的取值范围为$[m_{\min},m_{\max}]=[0,3]$。已知函数$g(x)=ax^2-2ax+1+b(a\neq0,b<1)$在区间$[2,3]$上有最大值$4$，最小值$1$，设$f(x)=\frac{g(x)}{x}$。(1)求$a$，$b$的值。当$a>0$时，$g(x)$在$[2,3]$上为增函数，所以$$\begin{cases}g(2)=1\\g(3)=4\end{cases}$$解得$a=1$，$b=0$。当$a<0$时，$g(x)$在$[2,3]$上为减函数，所以$$\begin{cases}g(2)=4\\g(3)=1\end{cases}$$解得$a=-1$，$b=3$。综上所述，$a=1$，$b=0$。(2)若不等式$f(2x)-k\cdot2x\geq0$在$x\in[-1,1]$时恒成立，求实数$k$的取值范围。由(1)知，$g(x)=x^2-2x+1$，$f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x}=x-2$。不等式$f(2x)-k\cdot2x\geq0$可化为$2x+\frac{1}{x}-2\geqk\cdot2x$，即$$1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\geqk$$令$t=\frac{1}{x}$，则$t\in[1,+\infty)$，原不等式转化为$$t^2-2t+1\geqkt$$即$t^2-(2-k)t+1\geq0$。当$k<0$时，$t\in[1,+\infty)$，不等式恒成立。当$k\geq0$时，由二次函数的性质可得$t\in\left[\frac{2-k-\sqrt{k^2-4}},\frac{2-k+\sqrt{k^2-4}}{2}\right]$，根据$t=\frac{1}{x}$，可得$x\in\left[\frac{1}{\frac{2-k+\sqrt{k^2-4}}{2}},\frac{1}{\frac{2-k-\sqrt{k^2-4}}{2}}\right]$。又因为$x