高中数学函数的周期性与常考题(附经典例题与解析)

高中数学函数的周期性与常考题(附经典例题与解析)函数的周期性与常考题函数的周期性是数学中一个重要的概念。如果存在非零常数T，使得对于定义域D中的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。举例来说，对于定义在实数集上的函数f(x)，如果f(x+6)=f(x)，当-3≤x<-1时，f(x)=-(x+2)^2，当-1≤x<3时，f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2019)=338。又如对于定义在实数集上的函数y=f(x)，对于任意的x都满足f(x+2)=f(x)，当-1≤x<1时，f(x)=x^3，若函数g(x)=f(x)-loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是。还有一类函数，它们的周期为2a，其中a为常数。特别地，如果f(x-a)=f(x+a)，则称函数f(x)为偶周期函数。例如，已知偶函数y=f(x)满足条件f(x+1)=f(x-1)，且当x∈[-1,0]时，f(x)=3x+2，则f(5)的值等于-2。又如，设函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，满足f(x+1)=-f(x-1)，若f(-1)>1，f(5)=a^2-2a-4，则实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(3,∞)。最后，还有一类函数，它们的周期为2a，其中a为常数。对于这类函数，我们可以通过证明f(x+a)=-f(x-a)来判断它是否为奇周期函数。例如，已知定义在实数集上的函数f(x-1)的对称中心为(1,0)，且f(x+2)=-f(x)，当x∈(1,∞)时，f(x)=2x-1，则f(x)在闭区间[-2014,2014]上的零点个数为2014。又如，已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3)，y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称，且f(2014)=2。1.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(-1,0)成中心对称图形，且满足f(-1)=1，f(0)=-2，则f(1)+f(2)+...+f(2015)的值为（）。解析：根据对称性，可以得到f(1)=f(-3)，f(2)=f(-4)，...，f(2015)=f(1999)，所以f(1)+f(2)+...+f(2015)=f(-3)+f(-4)+...+f(1999)。又因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以f(-3)=f(3)，f(-4)=f(4)，...，f(1999)=f(-1999)，所以f(-3)+f(-4)+...+f(1999)=f(3)+f(4)+...+f(1999)+f(0)+f(-1)，代入已知条件，得到f(1)+f(2)+...+f(2015)=1+(-2)+1+(-2)+...+1+(-2)=(-1)×1008=-1008，所以选C.-1。2.已知偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且当x∈[-1,0]时，f(x)=x^2，若在区间[-1,3]内，函数g(x)=f(x)-log2(x+2)有4个零点，则实数a的取值范围是（）。解析：由于f(x)是偶函数，所以f(0)=f(-1)=0，又因为f(x+2)=f(x)，所以f(2)=f(0)=0，f(3)=f(1)=-f(0)=0，所以f(x)在[-1,3]内有两个零点，分别为x=-1和x=0。又因为g(x)=f(x)-log2(x+2)，所以g(-1)=-1-log2(1/2)，g(0)=log2(2)-log2(2)=0，g(2)=0-log2(4)=-2，g(3)=0-log2(5)，所以g(x)在[-1,3]内有4个零点，且由于f(x)是偶函数，所以g(x)是奇函数，所以g(x)在[-3,-2]内也有两个零点，分别为x=-5/4和x=-3/4。又因为g(x)在[-1,3]内有4个零点，所以g(x)在[-3,-2]内也有4个零点，所以a^2=2，所以a=±√2，所以选A.√2。3.已知函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(2-x)，且f(2-x)=f(x)+x，则f(2018)的值为（）。解析：将x=1代入第一个等式得到f(2)=-f(1)，将x=0代入第二个等式得到f(2)=f(0)，所以f(1)=-f(0)，又因为f(2-x)=f(x)+x，所以f(1)=f(1)+1，所以1=0，矛盾！所以没有f(x)满足题目条件，所以无解。4.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(-4,0)成中心对称图形，且满足f(-1)=1，f(0)=-2，则f(2012)的值为（）。解析：同题1，可以得到f(2012)=f(-2008)，又因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以f(-2008)=f(2008)，又因为f(x)的图象关于点(-4,0)成中心对称图形，所以f(2008)=f(-4-(2008+4))=f(-2016)，所以f(2012)=f(-2008)=f(2016)，所以f(x)的周期为2016，所以f(2012)=f(2012-2016)=f(-4)=f(4)，又因为f(x)的图象关于点(-4,0)成中心对称图形，所以f(4)=f(-4)=1，所以选A.1。5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2a)=-f(x)，且f(a)=0，则f(2010)的值为（）。解析：将x=a代入第一个等式得到f(3a)=-f(a)=0，将x=3a代入第一个等式得到f(5a)=-f(3a)=0，将x=5a代入第一个等式得到f(7a)=-f(5a)=0，所以f(x)以2a为周期，所以f(2010)=f(2010-1005×2a)=f(a)=0，所以选B.0。6.已知函数y=f(x)满足f(2-x)=f(x+1)，且当x∈[-3,-2]时，f(x)=2x，则f(2018)的值为（）。解析：将x=-1代入第一个等式得到f(3)=f(0)，将x=0代入第一个等式得到f(2)=f(1)，将x=1代入第一个等式得到f(1)=f(3)，所以f(2)=f(3)，又因为f(x)以4为周期，所以f(2018)=f(2018-504×4)=f(2)=f(3)=2×3=6，所以选A.6。7.已知函数y=f(x)关于直线x=π/4对称，且f(x+π/2)=cosx，则f(x)的周期为（）。解析：因为f(x)关于直线x=π/4对称，所以f(π/4-x)=f(π/4+x)，又因为f(x+π/2)=cosx，所以f(x)=cos(x-π/2)，所以f(π/4-x)=cos(π/4-x-π/2)=sin(x-π/4)，所以sin(x-π/4)=f(π/4+x)=f(π/4-x)=sin(π/4-x-π/4)=cosx，所以sin(x-π/4)=cosx，所以cos(x-π/4+π/2)=cosx，所以x-π/4+π/2=2kπ±x，所以x=(8k±1)π/4，所以f(x)的周期为π/2，所以选B.π/2。8.已知偶函数f(x)对于任意实数x，都有f(2+x)=f(2-x)成立，并且当-2≤x≤0时，f(x)=2-x，则f(2018)的值为（）。解析：将x=0代入第一个等式得到f(2)=f(2)，将x=-2代入第一个等式得到f(0)=f(4)，将x=4代入第一个等式得到f(6)=f(-2)，所以f(x)以4为周期，所以f(2018)=f(2)=2-2=0，所以选B.0。已知函数f(x)的图像关于原点对称，且满足f(x+1)+f(3-x)=0，当x∈(2,4)时，f(x)=−log(x-1)+m，若f(-1)=f(1)，则实数m的值是多少？根据函数关于原点对称可知，f(x)=f(-x)，即函数为偶函数。又因为f(x+1)+f(3-x)=0，所以f(2)+f(2)=0，即f(2)=0。又因为f(x)在区间(2,4)上的表达式为f(x)=−log(x-1)+m，所以f(2)=-log(1)+m=-m。因此，m=0。已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且图像关于点(0,0)成中心对称。(1)证明：y=f(x)为周期函数，并指出其周期。因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即函数图像关于原点对称。又因为图像关于点(0,0)成中心对称，所以函数图像在x轴和y轴上的截距相等，即f(x)=f(-x)=f(x+T/2)，其中T为周期。因此T=2。(2)若f(-1)=-2，求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2011)的值。因为f(x)是奇函数，所以f(1)=-f(-1)=2。又因为f(x)是周期函数，所以f(2)=f(-2)=f(0)，f(3)=f(-1)，f(4)=f(0)，f(5)=f(1)，f(6)=f(2)，以此类推。因此，f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2010)=f(0)+f(0)+f(0)+…+f(0)=0，f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2009)=f(-1)+f(-3)+f(-5)+…+f(-2009)=-f(1)-f(3)-f(5)-…-f(2009)=-[f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2009)]，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2011)=2+0-2+0+2+0-2+0+…+2+0=2×1006=2012。已知函数f(x)在定义域R上不是常数函数，且满足对任意x∈R，有f(4+x)=f(4-x)，f(x+1)=f(x-1)，则f(x)是偶函数但不是奇函数。因为f(x)满足f(4+x)=f(4-x)，所以函数图像关于点x=4成中心对称。又因为f(x+1)=f(x-1)，所以函数图像关于直线x=3.5成对称。因此，函数图像关于点(7,0)对称，即f(x)是偶函数。又因为f(x)在定义域R上不是常数函数，所以f(x)不是奇函数。已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+4)=-f(x-2)，且当-3≤x<2时，f(x)=9x-9，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为几个？因为f(x)是奇函数，所以f(x+4)=-f(x-2)=f(-(x-2))=-f(-x+2)=-f(x-2)，即f(x+4)+f(x-2)=0。又因为-3≤x<2时，f(x)=9x-9，所以f(1)=-9，f(5)=9，f(9)=27，f(13)=45。因此，在区间[0,6]上，f(x)的零点为x=1.5和x=4.5，即函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为2个。f（6）＝﹣f（2）+2，f（10）＝﹣f（6）+2，以此类推，可得f（x）是以4为周期的周期函数。又因为f（x）关于直线x＝1对称，所以f（1）＝1，f（5）＝1，f（9）＝1，f（13）＝1，以此类推，可得f（x）在x为奇数时取值为1，在x为偶数时取值为﹣1。因为2014是偶数，所以f（2014）＝﹣1，即答案为A．对于第二题，已知函数g（x）＝f（x）﹣loga|x|，可以改写为f（x）＝g（x）＋loga|x|，并且注意到g（x）的零点个数等于f（x）与y＝loga|x|的交点个数，因此可以先分析y＝loga|x|的图象，再与g（x）的图象相结合，得到a的取值范围为（，]∪（5，+∞）。对于第三题，可以利用f（x）的周期性以及关于直线x＝1的对称性，得到f（2014）=f(2010)=f(2006)=f(2002)=...=f(2)，再根据f(2)的定义式计算即可。1.已知函数$f(x)$满足$y=f(x-1)$的图像关于直线$x=1$对称，向左平移一个单位得到$y=f(x)$的图像关于$y$轴对称，且$f(-x)=f(x)$，$f(x+4)+f(x)=2$，$2f(2)=2$，求$f(2)$和$f(6)$，以及$f(2014)$的值。解答：由题意可知，$f(x)$是以2为周期的偶函数，且$f(2)=1$，$f(6)=-1$。又因为$f(x)$是以4为周期的函数，所以$f(2+4n)=f(2)$，其中$n\inZ$。因此，$f(2014)=f(2+503\times4)=f(2)=1$。故选D。2.已知偶函数$f(x)$满足条件$f(x+1)=f(x-1)$，且当$x\in[-1,0]$时，$f(x)=3x+$，求$f(1)$。解答：由$f(x+1)=f(x-1)$可得$f(x+2)=f(x)$，所以$f(x)$是以2为周期的周期函数。又因为$f(x)$是偶函数，所以$f(x)=f(-x)$。因此，$f(1)=f(-1)=3\times(-1)+2=\boxed{-1}$。3.已知函数$f(x)$的定义域为$R$。当$x<0$时，$f(x)=x^3-1$；当$-1\leqx\leq1$时，$f(-x)=-f(x)$。求$f(2019)$。解答：当$x<0$时，$f(x)=x^3-1$，当$-1\leqx\leq1$时，$f(-x)=-f(x)$，所以$f(x)$是奇函数。因此，$f(2019)=f(-2019)=-f(2019)$，即$f(2019)=0-1=\boxed{-1}$。4.已知定义在$R$上的函数$f(x-1)$的对称中心为$(1,\frac{1}{2})$，且$f(x+2)=-f(x)$，当$x\in(0,1]$时，$f(x)=2x-1$，求$f(x)$在闭区间$[-2014,2014]$上的零点个数。解答：因为$f(x+2)=-f(x)$，所以$f(x)$是以4为周期的函数。又因为$f(x-1)$的对称中心为$(1,\frac{1}{2})$，所以$f(x)$的对称中心为$(2,\frac{1}{2})$，即$f(x)$是奇函数。因此，$f(2)=0$。又因为$f(x)$是以4为周期的函数，所以$f(4k+2)=0$，其中$k\inZ$。闭区间$[-2014,2014]$上共有$2014-(-2014)+1=4029$个整数，其中有$4029/4=1007$个完整的周期。因此，$f(x)$在闭区间$[-2014,2014]$上共有$1007\times2=2014$个零点。但是，由$f(2014)=f(-2014)=-f(2)=0$可知，$f(x)$在$x=2014$处也有一个零点，因此$f(x)$在闭区间$[-2014,2014]$上的零点个数为$2014+1=\boxed{2015}$。【解答】由偶函数的定义可得f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）是关于y轴对称的，又因为f（x+3）＝﹣f（x），所以函数f（x）的周期为3，令x＝0，则f（0+3）＝﹣f（0），即f（3）＝﹣f（0），令x＝3，则f（3+3）＝﹣f（3），即f（6）＝f（0），所以f（6）＝﹣f（3）＝﹣（﹣f（0））＝f（0），即f（0）＝f（6），又因为函数f（x）的周期为3，所以f（x）＝f（x＋6），即函数f（x）的周期为6，又因为f（x）是偶函数，所以f（x）的图象关于y轴对称，所以f（x）的图象关于点（，0）对称，所以f（1）＝f（﹣5），f（2）＝f（﹣4），f（3）＝f（﹣3），f（4）＝f（﹣2），f（5）＝f（﹣1），f（6）＝f（0），所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＝2f（0）＝0，故选：0．解：已知函数$y=f(x)$满足$f(x+1)=-f(x)$，则$f(x)$是以2为周期的奇函数。又知当$x\in[-1,0]$时，$f(x)=x^2$，因此当$x\in[0,1]$时，$f(x)=(-x)^2=x^2$。综上可得当$x\in[-1,1]$时，$f(x)=x^2$。又因为$f(x)$是以2为周期的函数，因此当$x\in[2014,2016]$时，$f(x)=f(x-2\times1007)=f(x-2)=x^2$。因此$f(2015)=2015^2$，故选A。2.已知定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x)f(x+2)=13$，且$f(1)=2$，则$f(2015)$等于（）。解：由函数的关系式可得：$f(x)f(x+2)=13$，$f(x+2)f(x+4)=13$，因此$f(x)=f(x+4)$，即函数$f(x)$是周期为4的函数。因此$f(2015)=f(2015-504\times4)=f(-1)$。又由$f(x)f(x+2)=13$，代入$x=-1$可得$f(-1)f(1)=13$，因此$f(-1)=\frac{13}{2}$，故选C。3.已知函数$f(x)$满足$f(x+1)=-f(x)$，且当$x\in[-\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$时，$f(x)=2x$。设$g(x)=f(x)-\log_a(x+2)$，且$g(x)$在区间$[-1,3]$上有4个零点，则实数$a$的取值范围是（）。解：由$f(x+1)=-f(x)$可得$f(x+2)=f(x)$，即$f(x)$是周期为2的函数。又因为$f(x)$是偶函数，因此当$x\in[0,1]$时，$f(x)=2x$。因此当$x\in[-1,1]$时，$f(x)=2x$。当$x\in[1,3]$时，$f(x)=(x-2)^2$。因此$g(x)$在区间$[-1,3]$上的图像与$\log_a(x+2)$有4个交点。因此$a$满足$\log_a(3+2)=1$，即$a^5=5$，因此$a\in[5,+\infty)$，故选D。已知函数f(x)的图像关于原点对称，且满足f(x+1)+f(3-x)=1，当x∈(2,4)时，f(x)=−log(x−1)+m，若f(-1)=f(2)，则实数m的值是（）解：由题意可得f(-1)=f(2)，代入f(x)=−log(x−1)+m中得−log(-2)+m=−log1+m，解得m=1/2。答案：B。C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数【解答】解：由题意，f（4+x）＝f（4﹣x），说明函数f（x）是关于点（4，）对称的，即f（x）是偶函数，又f（x+1）＝f（x﹣1），说明函数f（x）是关于点（，）对称的，即f（x）是奇函数，所以f（x）既是奇函数又是偶函数，故选：C．C.奇函数又是偶函数，D.非奇非偶函数解：由f(4+x)=f(4-x)，可知函数f(x)的对称轴为x=4。又f(x+1)=f(x-1)，则f(x+2)=f(x)，因此函数f(x)的周期为T=2，x=0也为函数f(x)的对称轴，故f(x)为偶函数。又因为f(x)在R上不是常数函数，所以f(x)不恒为0，即f(x)不是奇函数。因此，f(x)为偶函数但不是奇函数。1.已知定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当f(1)=0时，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为9个。解：由于f(x)是奇函数，所以在区间[-1,1]上有f(-1)=f(1)=0。又因为f(x)是周期为3的周期函数，所以在区间[0,3]上有f(0)=f(3)=0。由于f(x)是奇函数，所以在区间[-3,0]上有f(-3)=f(3)=0。因此，在区间[-3,3]上一共有5个零点。又由于f(x)是周期函数，所以在区间[3,6]上也有5个零点。因此，在区间[0,6]上一共有9个零点。1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+1)，且当1≤x<2时，f(x)=9x-9，则f(2)的值为-6。解：由f(x)=-f(x+1)，可得f(x+2)=f(x)，因此f(x)的周期为2。因为1≤x<2时，f(x)=9x-9，所以f(2)=9×2-9=9。由于f(x)是奇函数，所以f(0)=0。因此，f(2)=-f(-2)=-f(0)=-0=0-9=-9。因此，f(2)的值为-9，而不是-6。1.已知奇函数f(x)（x∈R）满足f(x+4)=f(x-2)，且当x∈[-3,0)时，f(x)=x，则f(2018)的值为-18。解：因为f(x)是奇函数，所以f(x+4)=f(x-4)，即f(x+8)=f(x)。又因为f(x)在[-3,0)上是x，所以f(-3)=f(0)=0。因此，f(2018)=f(2018mod8)=f(2)=-(2-3)=1。因此，f(2018)的值为1，而不是-18。1.已知y=f(x)是定义在R上的函数，且f(x+4)=-f(x)，如果当x∈[-4,0)时，f(x)=3x，则f(985)的值为-27。解：因为f(x+4)=-f(x)，所以f(x+8)=f(x)。又因为f(x)在[-4,0)上是3x，所以f(-4)=f(0)=0。因此，f(985)=f(985mod8)=f(1)=-f(-3)=-(-9)=9。因此，f(985)的值为9，而不是-27。已知定义在实数集R上的函数y＝f（x），且满足f（x﹣4）＝﹣f（x），当x∈[﹣4，)时，f（x）＝（）x，求f（266）的值。解：由f（x﹣4）＝﹣f（x），可得f（x+4）＝﹣f（x）。又因为f（x）在区间[﹣4，)上的表达式为f（x）＝（）x，所以f（266）＝f（33×8+2）＝f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣（）2＝﹣2。已知定义在实数集R上的奇函数f（x），当x∈（，1）时，f（x）＝2x﹣2，求（）。解：由f（x）为奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x）。又因为f（x）在区间（，1）上的表达式为f（x）＝2x﹣2，所以f（log2）＝﹣2。又由f（x）为2的周期函数，所以f（﹣log26）＝f（log26）＝f（log26﹣2）＝f（log2）。因此，（）＝f（﹣log26）＝﹣f（log2）＝﹣（﹣2）＝2。已知定义在实数集R上的函数f（x），满足x∈（﹣3，﹣1）时，f（x+1）＝ex，对任意x∈R，都有f（x+4）＝f（x），求