【解析】同步练习册数学选择性必修- 模块综合检测【xm】

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同步练习册数学选择性必修模块综合检测【xm】

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1．已知函数f(x)=e2x+1，则f'(0)=（）

A．0B．eC．2eD．

2．在等差数列{an}中，a4=6，a3+a5=a10，则公差d=（）

A．-1B．0C．1D．2

3．已知a>0，b>0，a，b的等比中项为2，则a++b＋的最小值为（）

A．3B．4C．5D．4

4．曲线y=在(1，0)处的切线与直线l：y=ax垂直，则a=（）

A．-3B．3C．D．-

5．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S37-S23=a，则S60=（）

A．4aB．C．5aD．

6．（2023高二下·厦门期中）函数f（x）=（x2+2x）e2x的图象大致是（）

A．B．

C．D．

7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒，大寒、立春，雨水、惊蛰、春分、清明.谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为（）

A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸

8．已知函数f(x)=x3-x和点P(1，-1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为（）

A．1B．2C．3D．4

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

9．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-2若存在两项am，an，使得aman=64，则（）

A．数列{an}为等差数列B．数列{an}为等比数列

C．D．m+n为定值

10．若函数y=exf(x)(e=2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列所有具有M性质的函数为（）

A．f(x)=2-xB．f(x)=3-xC．f(x)=x3D．f(x)=x2+2

11．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a6a7>1，，则下列结论正确的是（）

A．01

C．Sn的最大值为S7D．Tn的最大值为T6

12．设f'(x)为函数f(x)的导函数，已知：x2f'(x)十xf(x)=lnx，f(1)=，则下列结论正确的是（）

A．xf(x)在(1，＋∞)上单调递增B．xf(x)在(0，1)上单调递减

C．xf(x)在(0，+∞)上有极大值D．xf(x)在(0，+∞)上有极小值

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知等差数列{an}中，a4=8，a8=4，则其通项公式an=.

14．（2023高三上·浙江月考）已知正项等比数列满足，，则，数列的前项和为.

15．函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间是.

16．已知函数f(x)=lnx+若函数f(x)的极小值不小于0，则实数m的取值范围为.

四、解答题(本题共6小题，共70分)

17．（2023高一下·霍邱期中）等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16．

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）若a3，a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．

18．已知函数f(x)=x2-3lnx

（1）求f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；

（2）试判断f(x)在区间(1，e)上有没有零点，若有，判断零点的个数.

19．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且a3=2，S9=54.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：

20．设函数f(x)=ex-ax―1(a∈R).

（1）若a=2，求函数f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值；

（2）当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.

21．等差数列{an}中，S3=21，S6=24，

（1）求数列{an}的前n项和公式Sn；

（2）求数列{|an|}的前n项和Tn.

22．已知a，b∈R，设函数f(x)=ex-ax-b

（1）若b=0，求f(x)的单调区间；

（2）当x∈[o，+∞)时，f(x)的最小值为0，求a+b的最大值.(注：e=2.71828…为自然对数的底数)

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】函数的值；利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】，。

故答案为：C.

【分析】利用导数的运算法则求出导函数，再利用代入法求出导函数的值。

2．【答案】C

【知识点】等差数列的性质

【解析】【解答】由题意知，解得

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合等差数列的性质，从而求出等差数列第十项的值，再结合等差数列的性质，从而求出等差数列的公差。

3．【答案】C

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质

【解析】【解答】，

当且仅当时，等号成立，故原式的最小值为5。

故答案为：C

【分析】利用已知条件结合等比中项公式，进而求出ab的值，再利用均值不等式求最值的方法，进而求出a++b＋的最小值。

4．【答案】A

【知识点】导数的几何意义；用斜率判定两直线垂直

【解析】【解答】∵，

：.，

∴函数在(1，0)处的切线的斜率是，

∴与此切线垂直的直线的斜率是一3，∴a=-3。

故答案为：A.

【分析】利用导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而结合已知条件，进而求出a的值。

5．【答案】B

【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质

【解析】【解答】因为Sn-S23=a24+a25＋…+a37=，

所以。

故答案为：B.

【分析】利用的关系式结合等差数列的性质，得出Sn-S23，再结合代入法结合等差数列前n项和公式，进而求出等差数列前60项的值。

6．【答案】A

【知识点】函数的图象；二次函数的性质

【解析】【解答】由于，而的判别式，所以开口向上且有两个根，不妨设，所以在上递增，在上递减.所以C，D选项不正确.当时，，所以B选项不正确.由此得出A选项正确.

故答案为：A

【分析】根据题意由函数的单调性即可判断出选项C、D错误，再由函数y的值的正负判断，从而判断出选项B错误，由此得到答案。

7．【答案】B

【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质

【解析】【解答】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为是其前项和，则，所以，由题知，

所以，所以公差，

所以。

故答案为：B.

【分析】由题结合等差数列的定义，从而知各节气日影长依次成等差数列，设为是其前项和，再利用等差数列前n项和公式结合等差数列的性质，从而结合已知条件求出等差数列第五项的值，再利用已知条件结合等差数列的性质，进而求出等差数列第四项的值，再利用等差数列的性质，进而求出公差，再结合等差数列的性质，从而求出等差数列第十二项的值，进而求出芒种日影长。

8．【答案】B

【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】因为，所以点没有在函数的图象上，

设切点坐标为，则，则，

由导数的几何意义可知，过切点的斜率为，

过和切点的斜率表示为，

所以化简可得，

所以或，所以切点有两个，因而有两条切线方程。

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合代入法求出的值，再利用代入法判断出点没有在函数的图象上，设切点坐标为，再利用代入法，则，再利用导数的几何意义可知过切点的斜率为，再利用两点求斜率公式得出过和切点的斜率表示为，所以从而解方程组求出的值，进而求出切点有两个，从而得出过点P与该函数图象相切的直线条数。

9．【答案】B,D

【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的递推公式

【解析】【解答】由题意，当时，，解得，当时，

，所以，

所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，

，A不符合题意，B符合题意；数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，C不符合题意；

，所以为定值，D符合题意.

故答案为：BD.

【分析】利用已知条件结合Sn，an的关系式，再利用Sn=2an-2结合分类讨论的方法，从而结合等比数列的定义，进而判断出数列是以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，再利用等比数列的定义，从而判断出数列是以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列前n项和公式，进而求出的值，利用已知条件结合指数幂的运算法则，从而求出为定值，进而找出正确的选项。

10．【答案】A,D

【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】时于选项，

则为实数集上的增函数；

对于选项，则为实数集上的減函数；

对于选项，则

，当时，在定义域上先减后增；

对于选项2，

则在实数集上恒成立，在定义域上是增函数.

故答案为：AD.

【分析】利用函数y=exf(x)在函数f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，再利用单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，进而找出所有具有M性质的函数。

11．【答案】A,D

【知识点】函数的最值及其几何意义；等比数列的前n项和；等比数列的性质

【解析】【解答】易知，若，则，与矛盾，

故，所以，所以＜1，因为，所以的最大值为。

故答案为：AD.

【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，从而得出，再利用得出公比的取值范围，再利用等比数列的性质得出等比数列第七项的取值范围，再结合等比数列的性质得出a6a8的取值范围，再利用结合等比数列前n项和公式和等比数列前n项积公式，再结合函数求最值的方法，进而求出Sn的最大值和的最大值，从而找出正确的选项。

12．【答案】A,B,D

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值

【解析】【解答】由得，则，即，

设，由得.由得，即在上单调递增，在上单调递减，

即当时，函数取得极小值。

故答案为：ABD.

【分析】由得，再利用导数的运算法则，得出，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值，进而找出结论正确的选项。

13．【答案】12-n

【知识点】等差数列的通项公式

【解析】【解答】∵等差数列中，，解得

【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而解方程组求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式，进而求出等差数列{an}的通项公式。

14．【答案】；

【知识点】等差数列的前n项和

【解析】【解答】由，得，，，

而，所以的前项和为.

故答案为：；.

【分析】直接利用等比数列公式计算得到，再计算等差数列和得到答案.

15．【答案】(0，1]

【知识点】利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】，则=，故

故答案为：(0，1]。

【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间。

16．【答案】

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值

【解析】【解答】由祔，定义域为，

当时，，函数单调递增，函数无极值。

当时，今，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所认当时，函数取极小值，且为，

依题意有，因此，实数的取值范围是。

【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值，再利用函数f(x)=lnx+若函数f(x)的极小值不小于0，从而求出实数m的取值范围。

17．【答案】（1）解：∵等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16，

∴2q3=16，解得q=2，

∴．

（2）解：∵a3，a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，

∴，，

∴，

解得b1=2，d=2，

∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．

Sn==n2+n．

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【分析】（1）利用等比数列通项公式能求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式an．（2）由等比数列通项公式求出等差数列{bn}的第4项和第16项，再由等差数列通项公式求出首项与公差，由此能求出数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．

18．【答案】（1）解：由已知得，有，，

所以在处的切线方程为1)，化简得

（2）解：由(1)知.

因为，令，得.

所以，当时，有，则是函数的单调递减区间；

当时，有，则是函数的单调递增区间；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

又因为(1，

所以在区间上有两个零点.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，从而求出切点的坐标，再利用点斜式求出函数在切点处的切线的方程。

（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性结合零点存在性定理，从而判断出函数f(x)在区间(1，e)上有零点，并且求出零点的个数。

19．【答案】（1）解：设数列的公差为，

$

（2）证明：，

【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质；反证法与放缩法

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质，从而求出公差，再利用等差数列的性质，进而求出等差数列的通项公式。

（2）利用等差数列的通项公式结合放缩法和裂项相消法，从而证出不等式成立。

20．【答案】（1）解：f(x)=ex-2x-1，取f'(x)=ex-2=0，即x=ln2，

函数在[0，ln2]上单调递减，在(In2，2]上单调递增，

且f(0)=0，f(2)=e2-5，f(ln2)=1-2In2，

故函数的最大值为f(2)=e2-5，最小值为f(ln2)=1-2In2.

（2）解：f(x)=ex-ax-1，f′(x)=ex-a，f(0)=0.

当a≤0时，f'(x)=ex-a>0，函数单调递增，故f(x)≥f(0)=0，成立；

当a>0时，f'(x)=ex-a=0，即x=lna，

故函数在(0，lna)上单调递减，在(Ina，+∞)上单调递增，

故f(lna)0，b>0，a，b的等比中项为2，则a++b＋的最小值为（）

A．3B．4C．5D．4

【答案】C

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质

【解析】【解答】，

当且仅当时，等号成立，故原式的最小值为5。

故答案为：C

【分析】利用已知条件结合等比中项公式，进而求出ab的值，再利用均值不等式求最值的方法，进而求出a++b＋的最小值。

4．曲线y=在(1，0)处的切线与直线l：y=ax垂直，则a=（）

A．-3B．3C．D．-

【答案】A

【知识点】导数的几何意义；用斜率判定两直线垂直

【解析】【解答】∵，

：.，

∴函数在(1，0)处的切线的斜率是，

∴与此切线垂直的直线的斜率是一3，∴a=-3。

故答案为：A.

【分析】利用导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而结合已知条件，进而求出a的值。

5．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S37-S23=a，则S60=（）

A．4aB．C．5aD．

【答案】B

【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质

【解析】【解答】因为Sn-S23=a24+a25＋…+a37=，

所以。

故答案为：B.

【分析】利用的关系式结合等差数列的性质，得出Sn-S23，再结合代入法结合等差数列前n项和公式，进而求出等差数列前60项的值。

6．（2023高二下·厦门期中）函数f（x）=（x2+2x）e2x的图象大致是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】函数的图象；二次函数的性质

【解析】【解答】由于，而的判别式，所以开口向上且有两个根，不妨设，所以在上递增，在上递减.所以C，D选项不正确.当时，，所以B选项不正确.由此得出A选项正确.

故答案为：A

【分析】根据题意由函数的单调性即可判断出选项C、D错误，再由函数y的值的正负判断，从而判断出选项B错误，由此得到答案。

7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒，大寒、立春，雨水、惊蛰、春分、清明.谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为（）

A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸

【答案】B

【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质

【解析】【解答】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为是其前项和，则，所以，由题知，

所以，所以公差，

所以。

故答案为：B.

【分析】由题结合等差数列的定义，从而知各节气日影长依次成等差数列，设为是其前项和，再利用等差数列前n项和公式结合等差数列的性质，从而结合已知条件求出等差数列第五项的值，再利用已知条件结合等差数列的性质，进而求出等差数列第四项的值，再利用等差数列的性质，进而求出公差，再结合等差数列的性质，从而求出等差数列第十二项的值，进而求出芒种日影长。

8．已知函数f(x)=x3-x和点P(1，-1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】因为，所以点没有在函数的图象上，

设切点坐标为，则，则，

由导数的几何意义可知，过切点的斜率为，

过和切点的斜率表示为，

所以化简可得，

所以或，所以切点有两个，因而有两条切线方程。

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合代入法求出的值，再利用代入法判断出点没有在函数的图象上，设切点坐标为，再利用代入法，则，再利用导数的几何意义可知过切点的斜率为，再利用两点求斜率公式得出过和切点的斜率表示为，所以从而解方程组求出的值，进而求出切点有两个，从而得出过点P与该函数图象相切的直线条数。

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

9．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-2若存在两项am，an，使得aman=64，则（）

A．数列{an}为等差数列B．数列{an}为等比数列

C．D．m+n为定值

【答案】B,D

【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的递推公式

【解析】【解答】由题意，当时，，解得，当时，

，所以，

所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，

，A不符合题意，B符合题意；数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，C不符合题意；

，所以为定值，D符合题意.

故答案为：BD.

【分析】利用已知条件结合Sn，an的关系式，再利用Sn=2an-2结合分类讨论的方法，从而结合等比数列的定义，进而判断出数列是以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，再利用等比数列的定义，从而判断出数列是以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列前n项和公式，进而求出的值，利用已知条件结合指数幂的运算法则，从而求出为定值，进而找出正确的选项。

10．若函数y=exf(x)(e=2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列所有具有M性质的函数为（）

A．f(x)=2-xB．f(x)=3-xC．f(x)=x3D．f(x)=x2+2

【答案】A,D

【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】时于选项，

则为实数集上的增函数；

对于选项，则为实数集上的減函数；

对于选项，则

，当时，在定义域上先减后增；

对于选项2，

则在实数集上恒成立，在定义域上是增函数.

故答案为：AD.

【分析】利用函数y=exf(x)在函数f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，再利用单调函数的定义，从而判断出函数的单调性，进而找出所有具有M性质的函数。

11．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a6a7>1，，则下列结论正确的是（）

A．01

C．Sn的最大值为S7D．Tn的最大值为T6

【答案】A,D

【知识点】函数的最值及其几何意义；等比数列的前n项和；等比数列的性质

【解析】【解答】易知，若，则，与矛盾，

故，所以，所以＜1，因为，所以的最大值为。

故答案为：AD.

【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，从而得出，再利用得出公比的取值范围，再利用等比数列的性质得出等比数列第七项的取值范围，再结合等比数列的性质得出a6a8的取值范围，再利用结合等比数列前n项和公式和等比数列前n项积公式，再结合函数求最值的方法，进而求出Sn的最大值和的最大值，从而找出正确的选项。

12．设f'(x)为函数f(x)的导函数，已知：x2f'(x)十xf(x)=lnx，f(1)=，则下列结论正确的是（）

A．xf(x)在(1，＋∞)上单调递增B．xf(x)在(0，1)上单调递减

C．xf(x)在(0，+∞)上有极大值D．xf(x)在(0，+∞)上有极小值

【答案】A,B,D

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值

【解析】【解答】由得，则，即，

设，由得.由得，即在上单调递增，在上单调递减，

即当时，函数取得极小值。

故答案为：ABD.

【分析】由得，再利用导数的运算法则，得出，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值，进而找出结论正确的选项。

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知等差数列{an}中，a4=8，a8=4，则其通项公式an=.

【答案】12-n

【知识点】等差数列的通项公式

【解析】【解答】∵等差数列中，，解得

【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而解方程组求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列的通项公式，进而求出等差数列{an}的通项公式。

14．（2023高三上·浙江月考）已知正项等比数列满足，，则，数列的前项和为.

【答案】；

【知识点】等差数列的前n项和

【解析】【解答】由，得，，，

而，所以的前项和为.

故答案为：；.

【分析】直接利用等比数列公式计算得到，再计算等差数列和得到答案.

15．函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间是.

【答案】(0，1]

【知识点】利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】，则=，故

故答案为：(0，1]。

【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间。

16．已知函数f(x)=lnx+若函数f(x)的极小值不小于0，则实数m的取值范围为.

【答案】

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值

【解析】【解答】由祔，定义域为，

当时，，函数单调递增，函数无极值。

当时，今，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所认当时，函数取极小值，且为，

依题意有，因此，实数的取值范围是。

【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值，再利用函数f(x)=lnx+若函数f(x)的极小值不小于0，从而求出实数m的取值范围。

四、解答题(本题共6小题，共70分)

17．（2023高一下·霍邱期中）等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16．

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）若a3，a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．

【答案】（1）解：∵等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16，

∴2q3=16，解得q=2，

∴．

（2）解：∵a3，a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，

∴，，

∴，

解得b1=2，d=2，

∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．

Sn==n2+n．

【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和

【解析】【分析】（1）利用等比数列通项公式能求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式an．（2）由等比数列通项公式求出等差数列{bn}的第4项和第16项，再由等差数列通项公式求出首项与公差，由此能求出数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．

18．已知函数f(x)=x2-3lnx

（1）求f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；

（2）试判断f(x)在区间(1，e)上有没有零点，若有，判断零点的个数.

【答案】（1）解：由已知得，有，，

所以在处的切线方程为1)，化简得

（2）解：由(1)知.

因为，令，得.

所以，当时，有，则是函数的单调递减区间；

当时，有，则是函数的单调递增区间；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

又因为(1，

所以在区间上有两个零点.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，从而求出切点的坐标，再利用点斜式求出函数在切点处的切线的方程。

（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性结合零点存在性定理，从而判断出函数f(x)在区间(1，e)上有零点，并且求出零点的个数。

19．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且a3=2，S9=54.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：

【答案】（1）解：设数列的公差为，

$

（2）证明：，

【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质；反证法与放缩法

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质，从而求出公差，再利用等差数列的性质，进而求出等差数列的通项公式。

（2）利用等差数列的通项公式结合放缩法和裂项相消法，从而证出不等式成立。

20．设函数f(x)=ex-ax―1(a∈R).

（1）若a=2，求函数f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值；

（2）当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.

【答案】（1）解：f(x)=ex-2x-1，取f'(x)=ex-2=0，即x=ln2，

函数在[0，ln2]上单调递减，在(In2，2]上单调递增，

且f(0)=0，f(2