2023年工程硕士考试(GCT)数学历年高频考题带答案难题附详解

2023年工程硕士考试(GCT)数学历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.两堆煤共重76.5吨．第一堆运走，第二堆运走后，剩下的两堆煤正好相等，第一堆煤原来有(

)吨．A.30B.34C.38D.42.52.已知z∈R+，n∈Z+，若二项式展开式中倒数第三项系数为-180，则n=______。A.9B.10C.9或10D.123.已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1和b1，且a1+b1=5，a1，b1∈Z+．设cn=abn，则数列{cn}的前10项和等于

．A.55B.70C.85D.1004.设A为反对称矩阵，且|A|≠0，B可逆，A、B为同阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则[ATA*(B-1)T]-1=______。

A．

B．

C．

D．5.X=(1，-1，2)T是的特征向量则a，b的值为______。A.5，2B.1，-3C.-3，1D.-1，36.若x＜-2，则|1-|1+x||的值等于______。A.-xB.xC.2+xD.-2-x7.8.9.正方体的棱长增加2倍，则表面积和体积扩大分别变为原来的______倍。A.4，8B.2，8C.9，9D.9，2710.11.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，满足，λ∈[0，+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的______。A.外心B.内心C.重心D.垂心12.设x0是矩阵A的特征向量，那么不以x0为特征向量的矩阵是______。A.A-2EB.3AC.ATD.A213.设，g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的______。A.高阶无穷小B.同阶但非等价无穷小C.等价无穷小D.低阶无穷小14.15.16.P(a，b)是第一象限内的矩形ABCD(含边界)中的一个动点，A，B，C，D的坐标如图所示，则的最大值与最小值依次是______。

A．

B．

C．

D．17.18.19.A为M×n矩阵，且m＜n,Ax=0是Ax=b的导出组，则下述结论正确的是

。A.Ax=b必有无穷多组解B.Ax=0必有无穷多组解C.Ax=0只有零解D.Ax=b必无解20.一个圆柱形的饮料瓶如题15图所示，其容积为300mL．现瓶内装有一些饮料．该瓶正放时，饮料高度为20cm，若该瓶倒放时，空余部分的高度为5cm，瓶内现有饮料的体积为

cm3．

A.160B.200C.240D.28021.函数，以f(x)表示f(3x)为______。

A．

B．

C．

D．22.已知AP=PB，其中

23.A，B为n阶矩阵，k为自然数，如AB=BA，则称A和B可交换，下面命题错误的是

．A.若A，B都为对称阵，则A，B可交换B.若A，B可交换，则ABk与BAk可交换C.若A-B与A+B可交换，则A与B可交换D.若A，B互为逆矩阵，则A与B可交换24.25.下图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，图中第八行所有○中所填数字和等于______。

A.96B.128C.256D.31226.27.28.记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为______。A.1B.2C.3D.029.园林工人要在周长300m的圆形花坛边等距离地栽上树．他们先沿着花坛的边每隔3m挖一坑，当挖完30个坑时，突然接到通知：改为每隔5m栽一棵树．这样，他们还要挖

个坑才能完成任务．A.55B.54C.53D.5230.函数(x＞0)在定义域内是______。A.一个间断点B.两个间断点C.三个间断点D.连续31.当x取

时，等式恒成立．

32.甲盒中有200个螺杆，其中A型的有160个；乙盒中有240个螺母，其中A型的有180个，从甲乙两盒中各任取一个零件，能配成A型螺栓的概率为______．

A．

B．

C．

D．33.方程x2-2x+c=0的两根之差的平方等于16，则c的值是

．A.3B.-3C.6D.034.35.36.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是______。A.[0.4，1)B.(0，0.4]C.(0，0.6]D.[0.6，1)37.一件工作，甲单独做12h可以完成，现在甲、乙合做2h舌，甲因事外出，剩下的工作乙又用了5.5h做完，如果这件工作全部由乙做，则需要

h。A.11B.10C.9D.838.如果sin(α+β)=0.8，cos(α-β)=0.3，那么(sinα-cosα)(sinβ-cosβ)=______。A.0.6B.0.5C.-0.5D.-0.639.已知角α的终边通过点P(3，4)，则sinα+cosα+tanα=______。

A．

B．

C．

D．40.若直线y=k(x-1)与抛物线y=x2+4x+3的两个交点都在第二象限，则k的范围是

．A.(-3，-1)B.(-3，0)C.(-2，1)D.(1，0)41.42.矩阵的最小特征值和其所对应的线性无关的特征向量______。A.5，[-1，1，1]TB.-5，[-1，0，1]TC.-5，[-1，1，1]TD.5，[-1，0，1]T43.44.四面体ABCD沿棱DA，DB，DC剪开，将面ADB，面ADC和面BDC展开落在平面ABC上，恰构成一个边长为1cm的正方形AEGF(如下图所示)，则原四面体的体积是______cm3．

A．

B．

C．

D．45.设，则=______。

A．

B．

C．

D．46.下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是______。

A．

B．

C．

D．47.如两个相似三角形的面积之比是1:4，那么它们的边长之比为

。A.1:16B.1:8C.1:4D.1:248.如图2—7所示，正方形ABCD的边长为a，以AB，BC，CD，DA分别为直径画半圆，这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积为

．

49.50.如图所示，正方形ABCD的面积是25，矩形DCFE中，CF=8，则DF的长为______。

A．13

B．

C．

D．第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：D[解析]设第一堆有x吨，第二堆有y吨，则解得，，选(D)．2.参考答案：B[解析]倒数第三项为，即或n=-9，选B。3.参考答案：C

数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，且a1+b1=5，则数列{cn}的前10项和等于ab+ab2+…+ab10=ab1+ab1+1+…+ab1-9，ab1=a1+(b1-1)=4，所以ab1+ab1+1+…+ab1+9=4+5+6+…+13=85，选(C)．4.参考答案：C[解析][ATA*(B-1)T]-1=[(B-1)T]-1(A*)-1(AT)-1

故正确答案为C。5.参考答案：C[解析]，选C。6.参考答案：B[解析][方法一]|1-|1+x||=|2+x|=-2-x，选D。

[方法二]代入x=-3，马上排除A，B，C，得到答案D。7.参考答案：C8.参考答案：D9.参考答案：D[解析]设正方体棱长为a，增加2倍，变为原来的3倍，为3a，故表面积和体积分别为9a2，27a3，选D。10.参考答案：D11.参考答案：B[解析]如图所示，

，由已知

故，

因为λ∈[0，+∞)，设

故D、E分别在直线AB和AC上，

所以，

故AP是ADPE的对角线，

又因为

即。

故四边形ADPE是菱形，

即P点在∠EAD即∠CAB的平分线上，故P点的轨迹一定通过△ABC的内心，故正确答案为B。12.参考答案：C[解析]对Ax0=λx0，有(A-2E)x0=Ax0-2Ex0=(λ0-2)x0

(3A)x0=3Ax0=3λ0x0

可知A-2E，3A，A2的特征值分别是λ0-2，3λ0，，而x0仍是这些矩阵的特征向量，由排除法知应选C。

因为|λE-AT|-|(λE-A)T|=|λE-A|，

故A与AT有相同的特征值，但因(λE-A)x=0与(λE-AT)x=0是不同的方程组，其解不相同，故A与AT的特征向量是不同的。

故正确答案为C。13.参考答案：A[解析]

故选A。14.参考答案：D15.参考答案：D16.参考答案：A[解析]的值相当于线段OP所在直线的斜率。在第一象限内，此斜率随着倾斜角的增大而增大。因此从图中可以看出：

当P点与A点重合时，OP斜率最大，即；

当P点与C点重合时，OP斜率最小，即。故应选A。17.参考答案：D18.参考答案：A19.参考答案：B[解析]由m＜n可得Ax=0中方程个数小于未知量个数(即r(A)＜n)，所以Ax=0存在非零解，从而Ax=0必有无穷多组解。

Ax=b有解，在此题中没有提供r(A)与r(A|b)是否相等的信息，因此，无法判断Ax=b解的情况。

故正确答案为B。20.参考答案：C设圆柱形瓶的底面积为S(cm2)．如题15图(1)瓶内现有饮料的体积为20S(cm3)．由图(2)瓶内空余部分的体积为5S(cm3)．

瓶的体积V=饮料体积+空余体积=20S+5S=25S=300(cm3)．故S==12(cm2)．

故瓶内饮料体积为20S=20×12=240(cm3)．

故应选C．21.参考答案：C[解析]，选C。22.参考答案：A[解析]因P可逆，且故有

由于A2=PBP-1PBP-1=PB2p-1，可见A5=PB5p-1=PBP-1=A，则

故A为正确答案。23.参考答案：A[解析](AB)T=BTAT=BA，选(A)．24.参考答案：B25.参考答案：B[解析]由二项式系数和公式知，杨辉三角第8行的数字和等于n=7时的二项式系数和，故结果为27=128，选择B选项。26.参考答案：A27.参考答案：D28.参考答案：A[解析]因为，选A。29.参考答案：B[解析]显然原来每隔15m处挖的坑还可以使用，90m中这样的坑有6个，在这90m中还需要挖12个；总共剩下210m，这样需要挖42个，故还需要挖54个，选(B)．30.参考答案：D[解析]

(1)若0＜x≤e，则

由于是有界变量，从而f(x)=1。

(2)若x＞e，则

由于是有界变量，从而f(x)=lnx；即。

判断函数连续与否只要验证分段点是否连续即可。因为，说明函数f(x)在x=e连续，所以f(x)在定义域x＞0内连续，选D。31.参考答案：A

根据绝对值的性质，可知选(A)．32.参考答案：C[解析]本题考查了等可能事件的概率公式和分步求积的计数原理．

解法1

根据题意，从甲、乙两盒中各任取一个零件配在一起，共有200×240种情况，其中有160×180种是A型螺栓．所以要求的概率是

故正确选项为C．

解法2

本题也司以利用独立事件的概率乘法公式直接求得

33.参考答案：B

根据(x1-x2)2=16(x1+x2)2-4x1x2=4-4c=16c=-3，选(B)．34.参考答案：C35.参考答案：C36.参考答案：A[解析]由于4次相互独立，所以恰好发生一次的概率为，恰好发生两次的概率为，则，选A。37.参考答案：C[解析]因为甲用12h可以将全部工作做完，所以甲2h做完了全部工作的，由此可知，乙用7.5h做完了全部工作的，故乙做完全部工作需要。

故C为正确答案。38.参考答案：C[解析]因为

(sinα-cosα)(sinβ-cosβ)=sinαsinβ+cosαcosβ-sinαcosβ-cosαsinβ

=cos(α-β)-sin(α+β)=0.3-0.8=-0.5

故正确答案为C。39.参考答案：D[解析]，选D。40.参考答案：B

方法一

画草图如图2—38所示，

直线y=k(x-1)恒过(1，0)点，当以过(1，0)和(0，3)两点的直线按逆时针方向旋转到与x轴重合时，这样才在第二象限有两个交点．故直线斜率应该在(-3，0)之内，选(B)．

方法二

从解析法考虑：k(x-1)=x2+4x+3有两个不等的负根，且方程有两个不等的正根．41.参考答案：A42.参考答案：C[解析]A的特征多项式

A的特征值λ1=λ2=1，λ3=-5

故A的最小特征值为λ=-5，它的特征向量可由特征矩阵求得。

43.参考答案：D44.参考答案：A[解析]本题考查了三棱锥的体积公式、三角形的面积公式和勾股定理，考查了空间想象能力．

由题意，根据对称性可知，C，B分别是FG和EG的中点．所