人教版九年级数学上册 实际问题与二次函数-详解与练习(含答案)

实际问题与二次函数一、利用函数求图形面积的最值问题如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18-x）（米），根据题意，得：；又∵（2）∵中，a=-1＜0，∴y有最大值，即当时，故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（）（米），根据题意，得：；又∵∵中，a=＜0，∴y有最大值，即当时，故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为平方米。例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm由题意得：解得：当时，20-x=4；当时，20-x=16答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。（2）不能理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为cm，围成两个正方形的面积为ycm2，根据题意，得：，∵中，a=2＞0，∴y有最小值，即当时，=12.5＞12,故两个正方形面积的和不可能是12cm2.练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.解：∵四边形ABCD是边长为a米的正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=a米．∵四边形EFGH为正方形，∴∠FEH=90°，EF=EH．在△AEF与△DHE中，∵∠A=∠D，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH，EF=EH∴△AEF≌△DHE（AAS），∴AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，∴y=EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2x2-2ax+a2，即y=2x2-2ax+a2；（2）∵y=2x2-2ax+a2=2（x-）2+，∴当x=时，S有最大值．故当点E是AB的中点时，面积最大．二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题例题1如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是.图（1）图（2）图（1）图（2）.练习1某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是.请回答下列问题：(1)柱子OA的高度是多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？2．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.①求抛物线的解析式；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?1.解：（1）把x=0代入抛物线的解析式得：y=，即柱子OA的高度是（2）由题意得：当x=时，y=,即水流距水平面的最大高度（3）把y=0代入抛物线得：=0，解得，x1=(舍去，不合题意)，x2=故水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外2.（1）①设抛物线解析式为：，∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米，∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），∴，解得：，∴抛物线解析式为：；②∵要使高为3米的船通过，∴，则，解得：，∴EF=10米；（2）①设圆半径r米，圆心为W，∵BW2=BC2+CW2，∴，解得：；②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，即GF2=14.52﹣13.52=28，所以GF=，此时宽度EF=米．三、利用抛物线解决最大利润问题例题1某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y＝－10x＋500.（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量)（3分）试题解析：（1）由题意得出：，∵，∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得：，解这个方程得：x1=30，x2=40．∴李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．（3）∵，∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，W≥2000.∵x≤32，∴当30≤x≤32时，W≥2000.设成本为P（元），由题意，得：，∵k=200＜0，∴P随x的增大而减小．∴当x=32时，P最小=3600．练习1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．（1）平均每天的销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为；（2）求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元／只)之间的函数关系式；（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元（1）根据题意知销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为y=90-3（x-50）=-3x+240；(2)根据“总利润=每件商品的利润×销售量”可知w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；(3)求获得最大利润，也就是求函数w=-3x2+360x-9600的最大值.试题解析：(1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240；（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；(3)当x≤60，y随x的增大而减小，当x=55时，w最大=1125所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.2．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：.设这种产品每天的销售利润为w元.（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（1）由题意得：，∴w与x的函数关系式为：.（2），∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200.答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.3．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？（1）当时，，，∴政府这个月为他承担的总差价为600元。（2）依题意得，，，∴当时，有最大值4000.∴当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．（3）由题意得：，解得：，.，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当时，.又，∴当时，w≥3000.设政府每个月为他承担的总差价为元，.，随的增大而减小.∴当时，有最小值500.∴销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.4．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个.设销售价为x元/个.（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个（用含x的式子表示）；（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？（1）（220－10x）；（2）3分5分6分∵抛物线的开口向下，在对称轴直线x=16的左侧，随的增大而增大.8分由题意可知，9分∴当x=14时，最大为320.∴当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元.利用二次函数解决动点问题例1如图8，如图9，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.(1)当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；(2)当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN∥PM.设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.①求S关于t的函数关系式；②求S的最大值.解：(1)当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=.∴SΔAPE=.(2)①当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=.∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动.设PM与DC交于点G，QN与AD交于点