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三角公式及应用第一

单元三角公式及应用二次曲线概率与统计全套可编辑PPT课件刘徽的《海岛算经》中列有“海岛测望”一题：如图1-1，有人望海岛AB，立两个高为3丈的标杆CD与EF，其距离为1000步，并且两个标杆的上下两端在同一水平线上.从标杆CD退行123步，海岛峰顶A、标杆上端C与G点共线.从标杆EF退行127步，海岛峰顶A、标杆上端E与H点共线.问海岛的高度AB及海岛与标杆的距离BD各是多少?引例两角和与差的三角函数公式1.1二倍角的三角函数公式1.2三角函数的积化和差与和差化积1.3正弦型函数1.4目录CONTENTS正弦定理与余弦定理1.5两角和与差的三角函数公式1.11.1两角和与差的三角函数公式1.1.1两角和与差的余弦公式我们知道：cos30°=cos60°=cos30°+cos60°=cos(30°+60°)=cos90°=0，显然cos30°+cos60°≠cos(60°+30°).由此可知，一般情况下，对于任意两个角α，β，cos(α+β)≠cosα+cosβ.那么，cos(α+β)与cosα,cosβ到底有什么关系呢？1.1两角和与差的三角函数公式1.1.1两角和与差的余弦公式注意设向量a=(x1,y2),b=(x2,y2)，且<a,b>=θ，则a·b=|a|·|b|·cosθ，又由于a·b=x1x2+y1y2，则|a|·|b|·cosθ=x1x2+y1y2.1.1两角和与差的三角函数公式1.1.1两角和与差的余弦公式图1-2如图1-2所示，设∠BOA,∠COA的大小分别为α,β.为简单起见，我们先假定α,β均为锐角.以OA为始边，记∠BOA,∠COA的终边分别与单位圆的交点为B,C.点B的坐标为(cosα,sinα)，点C的坐标为(cosβ,－sinβ)，因此，向量=(cosα,sinα)，向量=(cosβ,－sinβ),且=1,=1，于是1.1两角和与差的三角函数公式1.1.1两角和与差的余弦公式cos(α+β)=cos(α+β)，又由于=（cosα，sinα）·（cosβ,-sinβ）=cosαcosβ－sinαsinβ，所以cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ.由此，我们得到了两角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ.（1-1）此式反映了α+β的余弦与α、β的正弦、余弦之间的关系.因此，公式（1-1）称为两角和的余弦公式.1.1两角和与差的三角函数公式1.1.1两角和与差的余弦公式将式（1-1）中的β换成－β，则有cos(α－β)=cos［α+(－β)］=cosαcos(－β)－sinαsin(－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.由此，我们得到了两角差的余弦公式cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ.（1-2）此式反映了α－β的余弦与α，β的正弦、余弦之间的关系.因此，公式（1-2）称为两角差的余弦公式.式（1-1）与式（1-2）统称为两角和与差的余弦公式.1.1两角和与差的三角函数公式1.1.1两角和与差的余弦公式

不用计算器，求cos75°和cos15°的值.解（1）将75°看成是30°与45°的和，利用式（11）得cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°－sin30°sin45°

（2）将15°看成是45°与30°的差，利用式（1-2）得cos15°=cos(45°－30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°例11.1两角和与差的三角函数公式1.1.1两角和与差的余弦公式例1是否还有别的解法？想一想1.1两角和与差的三角函数公式1.1.1两角和与差的余弦公式

设cosα=cosβ=并且α和β都是锐角，求cos(α+β)的值.解可利用式（1-1）来进行求解，但首先应求出sinα,sinβ的值.因为cosα=cosβ=并且α和β都是锐角，所以由cos2α+sin2α=1,cos2β+sin2β=1,得

因此，利用式（1-1）得cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ

例21.1两角和与差的三角函数公式1.1.1两角和与差的余弦公式

已知解可利用式（1-2）来进行求解.但要先求出的值.例31.1两角和与差的三角函数公式1.1.1两角和与差的余弦公式因此，利用式（1-2）得1.1两角和与差的三角函数公式1.1.1两角和与差的余弦公式如何利用两角和的余弦公式来推导出等式cosα+=－sinα呢？议一议1.1两角和与差的三角函数公式1.1.1两角和与差的余弦公式

化简下列各式：（1）cos40°cos20°－sin40°sin20°；（2）cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ.解和角公式（1-1）把角α+β的三角函数转化成了α,β的三角函数式.如果反过来，从右向左使用式（1-1），我们就可以将上述的三角函数式化简.（1）cos40°cos20°－sin40°sin20°=cos(40°+20°)=cos60°=12.（2）cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ=cos［(α－β)+β］=cosα.例41.1两角和与差的三角函数公式1.1.1两角和与差的余弦公式

做一做

1.不用计算器，求下列各式的值：（1）cos105°；（2）cos225°.2.化简下列各式，并求值：（1）cos80°cos20°+sin80°sin20°；（2）12cos15°+32sin15°.1.1两角和与差的三角函数公式1.1.2两角和与差的正弦公式我们已经学习了两角和与差的余弦公式，那么，两角和与差的正弦公式是怎么样的呢？根据诱导公式=cosα，cos=sinα可以实现正弦和余弦之间的转化，因此sin(α+β)=cos=cos=coscosβ+sinsinβ=sinαcosβ+cosαsinβ.由此，我们得到了两角和的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.（1-3）此式反映了α+β的正弦函数值与α、β的正弦、余弦之间的关系.因此，式（1-3）称为两角和的正弦公式.1.1两角和与差的三角函数公式1.1.2两角和与差的正弦公式将式（1-3）中的β换成－β，则有sin(α－β)=sin［α+(－β)］=sinαcos(－β)+cosαsin(－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.由此，我们得到了两角差的正弦公式sin(α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ.（1-4）此式反映了α－β的正弦函数值与α、β的正弦、余弦之间的关系.因此，式（1-4）称为两角差的正弦公式.1.1两角和与差的三角函数公式1.1.2两角和与差的正弦公式

不用计算器，求sin75°和sin15°的值.解(1)将75°看成是30°与45°的和，利用式（1-3）得sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°(2)将15°看成是45°与30°的差，利用式（1-4）得sin15°=sin(45°－30°)=sin45°cos30°－cos45°sin30°例51.1两角和与差的三角函数公式1.1.2两角和与差的正弦公式例5是否还有别的解法？想一想1.1两角和与差的三角函数公式1.1.2两角和与差的正弦公式已知cosα=的值.解利用式（1-3），首先应求出sinα的值.例61.1两角和与差的三角函数公式1.1.2两角和与差的正弦公式逆向使用公式是非常重要的，往往会给解题带来新的思路，使问题的解决变得简单化.注意1.1两角和与差的三角函数公式1.1.2两角和与差的正弦公式

化简下列各式：（1）sin12°cos18°+cos12°sin18°；（2）sinβcos(α－β)+cosβsin(α－β).解和角公式（1-3）把角α+β的三角函数转化成了α,β的三角函数式.如果反过来，从右向左使用式（1-3），我们就可以将上述的三角函数式化简.（1）sin12°cos18°+cos12°sin18°=sin(12°+18°)=sin30°=12.（2）sinβcos(α－β)+cosβsin(α－β)=sin［β+(α－β)］=sinα.例71.1两角和与差的三角函数公式1.1.2两角和与差的正弦公式

和角公式的几何证明1.圆内接三角形1.1两角和与差的三角函数公式1.1.2两角和与差的正弦公式如图1-3所示,在外接圆直径为1的△ABC中,∠BAC=α,∠ABC=β,CD⊥AB,垂足为D,连接BO并延长,与圆相交于F,连接CF,AF,于是可知BC=sinα,同理AC=sinβ,AB=sinα+β,BD=sinαcosβ,AD=cosαsinβ.又因为AB=AD+BD.所以可以得到

sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ.延长CD与圆相交于E,连接BE、AE.同样也可以得到CD=sinαsinβ,DE=cosαcosβ,过F作FG⊥CD，垂足为G，容易得知AF=DG=CD－CG=CD－DE=sinαsinβ－cosαcosβ.又因为AF=cos∠AFB=cosπ－α+β=－cosα+β.所以可以得到cosα+β=cosαcosβ－sinαsinβ.1.1两角和与差的三角函数公式1.1.2两角和与差的正弦公式2.托勒密定理托勒密定理：圆的内接凸四边形两对边乘积的和等于两条对角线的乘积.如图1-4所示，四边形ABCD内接于直径为1的圆O，对角线AC是圆O的直径，连接DO并延长，与圆O相交于E，依次连接AE,BE,CE.由托勒密定理可知：

AC×BD=AB×CD+AD×BC,AB×EC=AE×BC+BE×AC.又因为BD=sinα+β,BE=cosα+β,AD=EC=cosα,CD=AE=sinα,BC=sinβ,AB=cosβ，故可得

sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ,cosα+β=cosαcosβ－sinαsinβ.1.1两角和与差的三角函数公式1.1.2两角和与差的正弦公式

3.面积变换法受中国古代数学家赵爽证明勾股定理的方法启发，我们构造两个对角线为1，长和宽分别为sinα、cosα和sinβ、cosβ的矩形ABCD和GCEF，如图1-5所示.CEF平移到右上和左上位置,构成一个边长为1、一组对角为α+β的菱形ACEF.显然它的面积为sin(α+β).1.1两角和与差的三角函数公式1.1.2两角和与差的正弦公式

另一方面，在等腰三角形ACH和直角三角形HCK中，分布由余弦定理和勾股定理得CH2=12+12－2cosα+β=2－2cosα+β，CH2=(cosβ－cosα)2+(sinα+sinβ)2=2－2(cosαcosβ－sinαsinβ).因此可证得cosα+β=cosαcosβ－sinαsinβ.1.1两角和与差的三角函数公式1.1.2两角和与差的正弦公式做一做1.求下列各式的值：（1）sin105°；（2）sin165°；（3）sin225°.2.化简下列各式，并求值：（1）sin26°cos19°+cos26°sin19°；（2）sin80°cos35°－cos80°sin35°.3.已知cosα=，且α是第三象限角，求sin(α-）的值.1.1两角和与差的三角函数公式1.1.3两角和与差的正切公式根据两角和与差的正弦公式、余弦公式可知

当cosα·cosβ≠0时，上式分子分母同除以cosαcosβ可得

同理，可得出

1.1两角和与差的三角函数公式1.1.3两角和与差的正切公式在两角和与差的正切公式中，α和β的取值应使式子的左右两端都有意义.注意1.1两角和与差的三角函数公式1.1.3两角和与差的正切公式

不用计算器，求例8（2）tan285°=tan(360°－75°)=－tan75°=－tan(45°+30°)=1.1两角和与差的三角函数公式1.1.3两角和与差的正切公式例8求tan285°的值还有其他算法吗？想一想1.1两角和与差的三角函数公式1.1.3两角和与差的正切公式

求下列各式的值：（1）tan20°+tan40°+tan20°tan40°；解(1)tan20°+tan40°+tan20°tan40°=tan60°(1-tan20°tan40°)+tan20°tan40°=tan20°tan40°+tan20°tan40°=.例9tan45°=1.1.1两角和与差的三角函数公式1.1.3两角和与差的正切公式做一做1.求下列各式的值：（1）tan105°;(2)tan15°.2.求下列各式的值：（1）tan70°+tan50°－tan70°tan50°；

3.已知tanα=,tan（α-β）=-，求tan（2α-β）的值.二倍角的三角函数公式1.21.2二倍角的三角函数公式以两角和与差的三角函数公式为基础，可以推导出用角α的三角函数值表示角2α的三角函数的公式.在式（1-1）中，令α=β，就可以得到二倍角的余弦公式：cos2α=cos(α+α)=cosαcosα－sinαsinα=cos2α－sin2α.即cos2α=cos2α－sin2α.（1-7）同理，在式（1-3）中，令α=β，就可以得到二倍角的正弦公式:in2α=2sinαcosα.（1-8）因为sin2α+cos2α=1，所以式（1-7）又可以写为cos2α=2cos2α－1，（1-9）cos2α=1－2sin2α，（1-10）1.2二倍角的三角函数公式则还可以得到下列公式：在式（1-5）中，令α=β,就可以得到二倍角的正切公式：式（1-7）~式（1-13）反映出具有二倍角关系的角的三角函数之间的关系，在三角计算中有着广泛的应用.1.2二倍角的三角函数公式已知cosα=－且求sin2α,cos2α,tan2α的值.解因为α∈所以利用式（1-8）可得sin2α=2sinαcosα=2×利用式（1-9）可得cos2α=2cos2α－1=2×则例11.2二倍角的三角函数公式不用计算器,求下列各式的值：（1）sin15°cos15°；（2）2sin222.5°－1.解（1）sin15°cos15°=×(2sin15°cos15°)=sin(2×15°)=sin30°=（2）2sin222.5°－1=－(1－2sin222.5°)=－cos(2×22.5°)=－cos45°=－例21.2二倍角的三角函数公式已知cos=－且α∈(π,2π)，求sinα和cos的值.解与α，与之间都是具有二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来计算.由α∈(π,2π)可知α2∈所以例3故1.2二倍角的三角函数公式例41.2二倍角的三角函数公式做一做1.根据二倍角公式，完成下列各题：（1）sin6α=2sin()cos()；（2）sinα=2sin()cos().2.已知sinα=且α是第一象限的角，求sin2α,cos2α,tan2α的值.3.已知tan2α=求tanα的值.三角函数的积化和差与和差化积1.31.3三角函数的积化和差与和差化积观察下列两角和与差的正弦公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,两式相加得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，即sinαcosβ=12［sin(α+β)+sin(α-β)］.1.3三角函数的积化和差与和差化积同理，可得到通过公式（1-14），三角函数由积的形式转化成了和或差的形式，因此，我们称其为积化和差公式.1.3三角函数的积化和差与和差化积你能发现哪里运用了换元的思想吗？试着说一说换元的好处?想一想1.3三角函数的积化和差与和差化积若令α+β=θ,α-β=φ,则α=将其代入公式（1-14）中，可得=(sinθ+sinφ),即sinθ+sinφ=2sin1.3三角函数的积化和差与和差化积同理，可得到通过公式（1-15），三角函数由和或差的形式转化成了积的形式，因此，我们称其为和差化积公式.公式（1-14）和公式（1-15）的发现，实现了三角函数积的形式与和或差的形式的相互转化，为我们以后的计算和研究提供了方便.1.3三角函数的积化和差与和差化积把下列各式化成积的形式：（1）cos3α+cosα；(2)1+sin2α.解(1)cos3α+cosα=2cos=2cos2αcosα.（2）1+sin2α=sin2α+cos2α+2sinαcosα=(sinα+cosα)2.例11.3三角函数的积化和差与和差化积（半角公式）求证：证明(1)由cos2α=1-2sin2α得cosα=1-2sin2

即所以例21.3三角函数的积化和差与和差化积

（2）由cos2α=2cos2α-1得cosα=2cos2-1,即所以例2两边分别相除，得所以1.3三角函数的积化和差与和差化积做一做1.把下列各式化成和或差的形式：（1）2sin64°cos10°;(2)2sin84°cos132°.2.把下列各式化成积的形式：（1）sin54°+sin22°;(2)sin5α-sin3α.正弦型函数1.41.4正弦型函数1.4.1正弦型函数的概念和性质我们已经学习了正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx.在物理学和电学中，我们经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数，这类函数称为正弦型函数.它与正弦函数y=sinx有着密切的关系.我们先来讨论正弦型函数的周期.在正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，令z=ωx+φ，则

y=Asin(ωx+φ)=Asinz.我们已经知道正弦函数y=sinx的定义域为R，周期为2π，值域为［－1,1］.因此,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的定义域为R，并且y=Asin(ωx+φ)=Asinz=Asin(z+2π)=Asin［(ωx+φ)+2π］=Asin1.4正弦型函数1.4.1正弦型函数的概念和性质即Asin(ωx+φ)=Asin(A>0,ω>0).设f(x)=Asin(ωx+φ)，则f(x)=f因此，正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)也是周期函数，其周期为T=由于正弦函数y=sinx的值域为［－1,1］，所以y=Asinz(A>0)的值域为［－A,A］，即正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值为A，最小值为－A.1.4正弦型函数1.4.1正弦型函数的概念和性质综上所述，正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)主要有以下性质：（1）定义域为R；（2）周期为T=（3）值域为［－A,A］，即最大值为A，最小值为－A.求正弦型函数y=sin和y=的周期.解根据正弦型函数的周期公式T=可知y=sin的周期为的周期为例11.4正弦型函数1.4.1正弦型函数的概念和性质求函数y=4sin的周期和最大值、最小值，并求在什么情况下函数取得最大值和最小值.解根据正弦型函数的性质，我们可得函数y=4sin的周期为设z=2x+则x=所以当z=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时，函数y=4sinz有最大值，最大值为4；例21.4正弦型函数1.4.1正弦型函数的概念和性质

当z=2kπ－(k∈Z),即x=kπ－(k∈Z)时，函数y=4sinz有最小值，最小值为－4.综上，当x=kπ+(k∈Z)时，函数y=4sin取得最大值4；当x=kπ－(k∈Z)时，函数y=4sin取得最小值－4.例21.4正弦型函数1.4.1正弦型函数的概念和性质求函数y=cosx+sinx的最大值和最小值.解由公式（1-3）有y=cosx+sinx=故函数y=cosx+sinx的最大值为最小值为－一般地，研究函数y=asinx+bcosx(a>0,b>0)时，首先要把函数转化为正弦型函数y=Asin(x+θ)的形式.如图1-6所示，考察以(a,b)为坐标的点P，设以OP为终边的角为θ，则例31.4正弦型函数1.4.1正弦型函数的概念和性质于是asinx+bcosx例31.4正弦型函数1.4.1正弦型函数的概念和性质即A=角θ的值可以由tanθ=确定（角θ所在的象限与点P所在的象限相同）.1.4正弦型函数1.4.1正弦型函数的概念和性质做一做1.求下列函数的最大值、最小值和周期：（1）y=8sin2x；（2）y=3sin2.求下列函数的最大值和最小值，并求出在什么情况下函数取得最大值和最小值：（1）y=13sin（2）y=sinx+1.4正弦型函数1.4.2正弦型曲线

在研究正弦函数y=sinx的图像时，我们介绍过“五点法”作图，即选取(0,0),(π,0),(2π,0)作为五个特殊点来作图.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像与正弦函数y=sinx的图像类似，我们一般也采用“五点法”来作正弦型函数的图像.正弦型函数的图像称为正弦型曲线.1.4正弦型函数1.4.2正弦型曲线在y=Asin(ωx+φ)中，令z=ωx+φ，我们分别取z=0,求出对应的x的值和函数值y，构成五组(x,y).分别以每组的(x,y)为坐标描点，描出对应的五个关键点，然后用光滑的曲线连接各点，即可以得到正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图像.下面我们以具体的题为例，用“五点法”作出几个正弦型函数在一个周期内的简图，然后观察正弦型曲线的特征.利用“五点法”作出正弦型函数y=sin在一个周期内的简图.解在函数y=sin中ω=2，因此周期为T==π.为求出图像上的五个关键点的横坐标，令z=2x+分别取z=0,我们找出一个周期π内五个特殊的点，求出对应的x的值与函数y的值，见表1-1.例41.4正弦型函数1.4.2正弦型曲线

以表中每组(x,y)为坐标描点，如图1-7所示，在直角坐标系中比较精确地描出对应的五个关键点：1.4正弦型函数1.4.2正弦型曲线1.4正弦型函数1.4.2正弦型曲线用光滑的曲线连接各点，得到函数y=sin在一个周期内的图像，如图1-8所示.1.4正弦型函数1.4.2正弦型曲线

一般地，正弦型曲线y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)可以看作是由正弦曲线y=sinx通过下面的方法得到：首先将正弦曲线上的所有点的坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）；然后将所得到的曲线向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动个单位；1.4正弦型函数1.4.2正弦型曲线

最后把所得曲线上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）.因此，在作正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像时，可令z=ωx+φ，然后利用上面的方法,即求得一个周期内的正弦型曲线的五个关键点的坐标，依次为其中T为函数的周期.利用“五点法”作出函数y=2sin在一个周期内的图像，并指出曲线是由正弦曲线经过怎样的步骤得到的.解这里ω=12,φ=π6，故函数y=2sin的周期为例51.4正弦型函数1.4.2正弦型曲线所以五个关键点的坐标分别为

描出这五个关键点，然后用光滑的曲线连接各点，即得到函数y=2sin在一个周期内的图像，如图1-9所示.1.4正弦型函数1.4.2正弦型曲线1.4正弦型函数1.4.2正弦型曲线

函数y=2sin可以看作由下列的方法得到：首先将正弦曲线y=sinx上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）；然后把所得的曲线向左平移个单位；最后把所得曲线上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）.1.4正弦型函数1.4.2正弦型曲线做一做利用“五点法”作出下列函数在一个周期内的图像，并指出曲线是由正弦曲线经过怎样的步骤获得的.（1）y=4sin（2）y=3sin1.4正弦型函数1.4.3正弦型函数的应用

在电学中，电流强度的大小和方向都随时间变化的电流称为交变电流，简称交流电.最简单的是简谐交流电，其电流强度的大小和方向随时间而变化，可以用如下函数来表示：I=Imsin(ωt+φ0)(Im>0,ω>0,－π≤φ0≤π)，其中，Im是电流强度的最大值，称为简谐交流电的峰值；ω称为角频率，单位为rad/s；ωt+φ0称为相位，φ0称为初相位，简称初相；T=称为简谐交流电的变化周期，表示交流电完成一次周期性变化所需要的时间，单位为s；单位时间内，交流电完成周期性变化的次数称为频率，用f表示，f=单位为Hz（赫兹）.1.4正弦型函数1.4.3正弦型函数的应用

峰值、频率和初相位是简谐交流电的三要素，它们从不同的方面描述了简谐交流电的物理特征.在物理学中，用s=Asin(ωt+φ0)(t∈［0+∞),A>0,ω>0)表示简谐振动，其中t表示振动的时间，s表示位移，A表示振动时离开平衡位置的最大距离，通常将A称为振幅，故函数的最大值smax=A,最小值smin=-A,T=称为简谐振动的变化周期，f=称为简谐振动的变化频率，ωt+φ0称为相位，φ0称为初相位.一般地，正弦型函数y=Asin(ωx+φ0)(A>0,ω>0)中，A称为振幅（或峰值），ω称为角频率，φ0称为初相位.已知简谐交流电的电流强度随时间t的变化规律为I=26sin求出它的峰值、周期、初相位和频率.解峰值Im=26A；例61.4正弦型函数1.4.3正弦型函数的应用已知简谐交流电的电流强度I（单位：A）随时间t（单位：s）变化的部分曲线如图1-10所示，试写出I与t的函数关系.例71.4正弦型函数1.4.3正弦型函数的应用

解电流强度I随时间t的变化满足正弦型函数关系，故设所求的函数关系式为

I=Imsin(ωt+φ0).由图1-10可知，峰值Im=30A，周期为T=2.25×10－2－0.25×10－2=2×10－2，于是由T==2×10－2得ω=100π.又由图1-10可知，点(0.25×10－2,0)满足函数关系式，因此将其代入函数关系式得0=30sin(0.25×10－2ω+φ0)，化简得0=0.25×10－2ω+φ0，即得φ0=－0.25×10－2ω=－0.25×10－2×100π=－因此，所求的函数关系式为I=30sin例71.4正弦型函数1.4.3正弦型函数的应用1.4正弦型函数1.4.3正弦型函数的应用做一做指出下列正弦型函数的振幅、角频率和初相位：（1）y=4sin（2）y=7sin3x+π6.正弦定理与余弦定理1.51.5正弦定理与余弦定理在计算卫星的角度和高度，测量河流两岸码头之间的距离，确定待建隧道的长度时，我们都离不开三角形的边角关系，本节将学习正弦定理和余弦定理来求解三角形，以及解决实际测量中的一些问题.如图1-12所示，在Rt△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，由则得所以1.5正弦定理与余弦定理1.5.1正弦定理根据直角三角形的面积公式得1.5正弦定理与余弦定理1.5.1正弦定理那么，在任意三角形中，是否也存在类似的数量关系呢？1.5正弦定理与余弦定理1.5.1正弦定理如图1-13所示，在锐角三角形ABC中，作CD⊥AB，则CD=bsinA，CD=asinB，于是bsinA=asinB，即同理,过三角形的顶点B作AC的垂直线，可得因此由于CD=bsinA=asinB，所以同理可得S△ABC=1.5正弦定理与余弦定理1.5.1正弦定理如图1-14所示，在钝角三角形ABC中，设∠C为钝角，作BD⊥AC延长线于D，则BD=csinA,BD=asin(180°－C)=asinC.同样可以得到1.5正弦定理与余弦定理1.5.1正弦定理由于BD=csinA=asinC，所以S△ABC=×AC×BD=bcsinA=absinC，同理可得S△ABC=acsinB.这就是说，对于任意一个三角形，均成立，因此我们得到下面的正弦定理.1.5正弦定理与余弦定理1.5.1正弦定理正弦定理：在任意一个三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等，即同时，我们也得到了计算三角形面积的另一种表达形式：利用正弦定理可以解决下列两类解三角形的问题：（1）已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和另一个角.（2）已知三角形的两边和其中一边所对角，求其他两角和另一条边.1.5正弦定理与余弦定理1.5.1正弦定理已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，要讨论这个角的取值范围，避免发生错误.注意在△ABC中，已知b=20,∠A=45°,∠B=120°，求a.解根据正弦定理有1.5正弦定理与余弦定理1.5.1正弦定理例1

已知在△ABC中，∠A=30°,a=152,b=30，求∠B.解根据正弦定理有再由b>a知∠B>∠A，故30°<∠B<180°，所以∠B=45°或∠B=135°.1.5正弦定理与余弦定理1.5.1正弦定理例2在△ABC中，已知∠B=60°,∠C=15°,a=3+1，求b,c,S△ABC的值.解由三角形的内角和为180°可知∠A+∠B+∠C=180°，则∠A=180°－∠B－∠C=180°－60°－15°=105°.根据正弦定理可得所以三角形的面积为1.5正弦定理与余弦定理1.5.1正弦定理例31.5正弦定理与余弦定理1.5.1正弦定理如无特殊说明：本单元中出现的a,b,c均为△ABC中∠A，∠B，∠C的对边.注意在△ABC中，已知tanA∶tanB=a2∶b2，试判断△ABC的形状.解根据三角函数定义和正弦定理.tanA∶tanB=a2∶b2可以变形为因为A，B均为△ABC的内角，故sinA≠0,sinB≠0.于是，上式可化简为

sinA·cosA=sinB·cosB.1.5正弦定理与余弦定理1.5.1正弦定理例4由二倍角公式得即sin2A=sin2B.因此2A=2B或2A+2B=π.即A=B或A+B=因此△ABC为等腰三角形或直角三角形.1.5正弦定理与余弦定理1.5.1正弦定理例41.5正弦定理与余弦定理1.5.1正弦定理做一做在△ABC中，已知下列条件，解三角形.（1）∠A=45°,∠B=30°，b=（2）∠B=30°,b=c=4.1.5正弦定理与余弦定理1.5.2余弦定理正弦定理揭示了任意三角形中边与角的一种数量关系，揭示任意三角形中边与角的数量关系的另一个重要结论是余弦定理.如图1-15所示，以点A为原点建立平面直角坐标系，设△ABC是任意三角形，AB=c,AC=b,BC=a，则点B的坐标为(ccosA,csinA)，点C的坐标为(b,0).根据两点间的距离公式得两边平方得即得a2=b2+c2－2bccosA.1.5正弦定理与余弦定理1.5.2余弦定理同理可得b2=a2+c2－2accosB，c2=a2+b2－2abcosC.可以证明，上述结论对任意三角形都成立，于是得到下面的余弦定理.1.5正弦定理与余弦定理1.5.2余弦定理试用同样的方法证明其他两式.议一议1.5正弦定理与余弦定理1.5.2余弦定理余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其夹角余弦乘积的2倍，即显然，当∠C=90°时，有c2=a2+b2，这就是说勾股定理是余弦定理的特例.1.5正弦定理与余弦定理1.5.2余弦定理式（1-16）中的三个式子还可以分别变形为理论上利用余弦定理可以解决下列问题：（1）已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角；（2）已知三角形的三条边，求三个角.已知在△ABC，∠B=60°,a=6,c=8，求b的值.解由式（1-16）可得b2=a2+c2－2accosB=62+82－2×6×8×cos60°=100－48=52,所以b=21.5正弦定理与余弦定理1.5.2余弦定理例5在△ABC中，a=6,b=7,c=10，解三角形（精确到1°）.解由式（1-17）可得1.5正弦定理与余弦定理1.5.2余弦定理例6所以∠A≈36°,∠B≈44°,∠C≈100°.1.5正弦定理与余弦定理1.5.2余弦定理做一做1.在△ABC中，已知a=3,b=2,∠C=150°，求c的值.2.在△ABC中，已知a=20,b=29,c=21，求∠B的度数.1.5正弦定理与余弦定理1.5.3正弦定理与余弦定理的应用通过学习正弦定理和余弦定理，我们可以应用这些三角函数的知识来解决一些实际问题,比如计算高度、长度、距离和角的大小等.一艘船以每小时36海里的速度向正北方向航行，在A处观察到灯塔C在船的北偏东30°方向，0.5小时后船行驶到B处，此时灯塔C在船的北偏东45°方向，如图1-16所示，求B处到灯塔C的距离.1.5正弦定理与余弦定理1.5.3正弦定理与余弦定理的应用例7解因为∠NBC=45°,∠A=30°，所以∠C=15°，由题意知

AB=36×0.5=18（海里），由正弦定理得所以B处到灯塔C的距离约为34.8海里.1.5正弦定理与余弦定理1.5.3正弦定理与余弦定理的应用例7如图1-17所示，设A,B两点在河的两岸，现需要测量两点间的距离.测量者在与点A同侧的岸上选定了一点C，并测量出A,C之间的距离为45m，又测出∠BAC=45°,∠ACB=75°.根据以上的信息，求出A,B两点的距离（精确到0.1m）.1.5正弦定理与余弦定理1.5.3正弦定理与余弦定理的应用例8解首先根据三角形的内角和为180°，可以得到∠ABC=180°－∠ACB－∠BAC=60°.利用两角和的正弦公式得出sin75°=sin(30°+45°)=在△ABC中，利用正弦定理可得1.5正弦定理与余弦定理1.5.3正弦定理与余弦定理的应用例8于是所以A,B两点的距离约为50.2m.修筑道路需挖掘隧道，在山的两侧是隧道口A和B，在平地上选择合适测量的点C，如图1-18所示.如果已知∠C=60°,AC=350m,BC=450m，试计算隧道AB的长度（精确到1m）.解在△ABC中，利用余弦定理可得AB2=AC2+BC2－2AC·BC·cos∠C=3502+4502－2×350×450×cos60°=167500.

所以隧道AB的长度约为409m.1.5正弦定理与余弦定理1.5.3正弦定理与余弦定理的应用例91.5正弦定理与余弦定理1.5.3正弦定理与余弦定理的应用1.5正弦定理与余弦定理1.5.3正弦定理与余弦定理的应用做一做请计算引例中海岛的高度.单元小结一、知识脉络图单元小结二、主要内容1.两角和与差的余弦公式与正弦公式本节主要介绍了两角和与差的一些重要公式，现总结如下.单元小结二、主要内容2.二倍角的正弦、余弦和正切公式本节主要介绍了二倍角的一些重要公式，现总结如下.单元小结二、主要内容3.三角函数的积化和差与和差化积（1）积化和差公式.单元小结二、主要内容（2）和差化积公式.4.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)（1）形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数称为正弦型函数.（2）正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质.①定义域为R.②周期为T=③值域为［－A,A］，即最大值为A，最小值为－A.(3)正弦型函数的图像称为正弦型曲线.单元小结二、主要内容(4)用“五点法”,即五个关键点可作出正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像.(5)在电学中，电流强度的大小和方向都随时间变化的电流称为交变电流，简称交流电.单元小结二、主要内容(6)最简单的是简谐交流电，其电流强度的大小和方向随时间而变化，可以用如下函数来表示：I=Imsin(ωt+φ0)(Im>0,ω>0,－π≤φ0≤π)，其中Im是电流强度的最大值，称为简谐交流电的峰值；ω称为角频率，单位为rad/s；ωt+φ0称为相位，φ0称为初相位，简称初相；T=称为简谐交流电的变化周期，表示交流电完成一次周期性变化所需要的时间，单位为s；单位时间内，交流电完成周期性变化的次数称为频率，用f表示，f=单位为Hz（赫兹）.(7)一般地，正弦型函数y=Asin(ωx+φ0)(A>0,ω>0)中，A称为振幅（或峰值），ω称为角频率，φ0称为初相位.单元小结二、主要内容5.正弦定理与余弦定理(1)正弦定理：在任意一个三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等，即(2)余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其夹角余弦乘积的2倍，即a2=b2+c2－2bccosA,b2=a2+c2－2accosB,c2=a2+b2－2abcosC.单元小结二、主要内容(3)余弦定理的变式.单元小结二、主要内容谢谢二次曲线第二

单元二次曲线在日常生活和科学研究中经常用到.如图2-1（a）所示，行星运行的轨道为椭圆，2-1（b）所示的发电厂烟囱曲线为双曲线，2-1（c）所示的太阳灶则采用了抛物线.在这种太阳灶上装有一个旋转抛物面形的反光镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经过反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高.引例引例椭圆2.1双曲线2.2抛物线2.3曲线及其方程2.4目录CONTENTS椭圆2.12.1椭圆2.1.1椭圆的定义与标准方程1.椭圆的定义如图2-2所示，我们将绳子的两端固定在画板上的F1和F2两点处，并使绳长大于F1、F2的距离，用笔尖将绳子拉紧，并保持拉紧的状态，在画板上慢慢移动，观察所画出的图形.2.1椭圆2.1.1椭圆的定义与标准方程

从以上绘图过程中可以看出，笔尖（即M点）在移动过程中，与两个定点F1、F2的距离之和始终保持不变，即等于该绳子的长度.所画出的图形就是椭圆.我们将平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点F1、F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离，即|F1F2|叫作椭圆的焦距.2.1椭圆2.1.1椭圆的定义与标准方程议一议如果把细绳的两端的距离拉大，是否还能画出椭圆？2.1椭圆2.1.1椭圆的定义与标准方程2.椭圆的标准方程以椭圆的焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图2-3所示.设点P（x，y）为椭圆上的任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），其中c>0，则|F1F2|=2c；点P到焦点F1、F2的距离的和为2a(2a>2c>0).2.1椭圆2.1.1椭圆的定义与标准方程由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,即通过移项、两边平方后得a2－c2x2+a2y2=a2a2－c2.为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2=a2－c2，又因为2a>2c>0，即a>c>0，可得椭圆的标准方程为2.1椭圆2.1.1椭圆的定义与标准方程设a2-c2=b2，不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的几何性质时，还会看到其明确的几何意义.注意2.1椭圆2.1.1椭圆的定义与标准方程

我们把方程（2-1）叫作椭圆的标准方程.它表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0），F2（c，0），其中c>0，且c2=a2-b2，我们把F1叫作椭圆的左焦点，F2叫作椭圆的右焦点.同理，我们可以得到焦点F1，F2在y轴上的椭圆的标准方程.如图2-4所示，我们以过椭圆的焦点F1，F2所在的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，并设F1（0，-c），F2（0，c），其中c>0，且c2=a2-b2，那么我们可以得到椭圆的方程为2.1椭圆2.1.1椭圆的定义与标准方程我们把方程（2-2）也叫作椭圆的标准方程.它表示椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1（0，-c），F2（0，c），其中c>0，字母a，b的意义同上，且c2=a2-b2.2.1椭圆2.1.1椭圆的定义与标准方程如何推导出椭圆方程=1（a＞b＞0)?想一想

指出下列椭圆中a、b、c的值，并说出焦点所在的坐标轴：解（1）因为25>16，所以椭圆的焦点在x轴上，并且a2=25，b2=16，则c2=a2-b2=25-16=9，可求出a=5，b=4，c=3.（2）因为169>25，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a2=169，b2=25，则c2=a2-b2=169-25=144，可求出a=13，b=5，c=12.例12.1椭圆2.1.1椭圆的定义与标准方程2.1椭圆2.1.1椭圆的定义与标准方程议一议已知一个椭圆的标准方程，如何判断椭圆的焦点在x轴还是在y轴上？

已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点求它的标准方程.解因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为由椭圆的定义可知所以a=10.又因为c=2，所以b2=a2－c2=10－4=6.因此，所求椭圆的标准方程为例22.1椭圆2.1.1椭圆的定义与标准方程2.1椭圆2.1.1椭圆的定义与标准方程做一做1.求下列椭圆的焦点与焦距：（1）=1；（2）=1；（3）=1；（4）13x2+5y2=65.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4，b=，焦点在x轴上；（2）a=4，c=1，焦点在y轴上；（3）焦距为2，且过点(0,).以椭圆标准方程=1(a>b>0)为例认识椭圆的性质.1.图形中x，y的取值范围将椭圆的标准方程变形为≥0，则可以得出≤1；同理，将椭圆的标准方程变形为=1-可得出≤1，因此关于椭圆曲线中x、y符合以下取值范围：2.1椭圆2.1.2椭圆的性质即|x|≤a，|y|≤b从图2-5上来看，此椭圆应该位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形内.2.1椭圆2.1.2椭圆的性质2.图形的对称性在椭圆的标准方程中，我们将x换成-x，方程依然成立.这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于y轴的对称点P2（-x，y）也在椭圆上，因此椭圆关于y轴对称，如图2-6所示.2.1椭圆2.1.2椭圆的性质同理，将y换成-y，方程依然成立.这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于x轴的对称点P1（x，-y）也在椭圆上（见图2-6）.将x换成-x，y换成-y，方程依然成立.这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于坐标原点的对称点P3（-x，-y）也在椭圆上（见图2-6）.由此可知，椭圆关于坐标轴和坐标原点都对称，椭圆是轴对称图形和中心对称图形，它的对称轴是x轴和y轴，它的中心对称点是原点，我们称椭圆的对称中心点为椭圆的中心.2.1椭圆2.1.2椭圆的性质3.椭圆的顶点椭圆与它的对称轴的交点称为椭圆的顶点，在上面椭圆的标准方程中，令x=0，得y=±b，说明点B1(0，-b)，B2（0，b）是椭圆与y轴的两个交点.同理，令y=0，得x=±a，说明点A1（-a，0），A2（a，0）是椭圆与x轴的两个交点，如图2-5所示.因此我们将A1，A2，B1，B2四个点叫作椭圆=1(a>b>0)的四个顶点.线段A1A2，B1B2分别叫作椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，其中a和b分别叫作椭圆的半长轴长和半短轴长.例如，椭圆=1的四个顶点的坐标分别为（-5，0），（5，0），（0，-4），（0，4），长轴长为10，短轴长为8.2.1椭圆2.1.2椭圆的性质4.离心率我们将椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记作e.即

因为a>c>0，所以离心率e的取值范围为0<e<1，且e越大，椭圆就越扁；e越小，椭圆就越接近于圆.2.1椭圆2.1.2椭圆的性质

椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．解（1）当A（2，0）为长轴端点时，a=2，b=1.椭圆的标准方程为（2）当A（2，0）为短轴端点时，b=2，a=4.椭圆的标准方程为=1.综上所述，满足条件的椭圆的标准方程为=1和=1.2.1椭圆2.1.2椭圆的性质例32.1椭圆2.1.2椭圆的性质要注意椭圆的焦点与长轴始终在同一个坐标轴上.求椭圆的标准方程时，如果不能确定焦点的位置，要针对不同情况，给出两种标准方程.注意已知椭圆=1的离心率e=求k的值.解当椭圆的焦点在x轴上时，a2=k+8，b2=9，则可得出c2=k-1,由e=可得k=4.当椭圆的焦点在y轴上时，a2=9，b2=k+8，则可得出

c2=1-k,因此，满足条件的k值为4或2.1椭圆2.1.2椭圆的性质例4

求出椭圆=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出该椭圆的图形.解由椭圆=1的标准方程可知，a=3,b=2,c=因此，椭圆的长轴长为2a=6，短轴长为2b=4，离心率为e==两个焦点的坐标分别为四个顶点的坐标分别为(－3,0),(3,0),(0,－2),(0,2).为了画出此椭圆的图形，将椭圆方程改变为求出椭圆的两个顶点及在第一象限范围内的坐标x,y，如表2-1所示.2.1椭圆2.1.2椭圆的性质例52.1椭圆2.1.2椭圆的性质首先描点并利用光滑的曲线顺次连接这些点，可得椭圆在第一象限内的图像，然后利用椭圆的对称性画出整个椭圆，如图2-7所示.2.1椭圆2.1.2椭圆的性质如图2-8所示,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆,其近地点A与地球表面相距439km,远地点B与地球表面相距2384km,AB是椭圆的长轴，已知地球半径为6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到1km）.例62.1椭圆2.1.2椭圆的性质解设所求卫星运行轨道的方程为=1(a＞b＞0).由已知得a－c=F2A=6371+439=6810,a+c=F2B=6371+2384=8755,解得a≈7783.因为

所以人造地球卫星运行轨道的近似方程为例62.1椭圆2.1.2椭圆的性质做一做1.求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点坐标和顶点坐标.（1）6x2+10y2=60；（2）=1；（3）=1.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长为20，离心率为（2）a=4，b=1，焦点在y轴上.3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的图形是不是椭圆？如果是，求出它的对称中心坐标、对称轴方程以及离心率.双曲线2.22.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程1.双曲线的定义上节课我们已经知道了平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹为椭圆，那么平面内到两个定点的距离之差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？它的标准方程是怎样的呢？下面我们通过一个实验——拉链实验来研究这个问题.在画板上选取两定点F1，F2，将拉链（拉链的两边等长）拉开一段，其中一边固定在F1处，在另一边上截取一段AF2（并使AF2小于F1，F2之间的距离），而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处（点M处），于是随着拉链的逐渐打开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线；同理，将拉链的两边交换位置，可画出另外一支曲线，如图2-9所示.2.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程想一想：为什么要规定移动点与两个定点的距离之差的绝对值要小于|F1F2|？想一想2.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程从以上实验我们可以发现，笔尖（即M点）在缓慢移动过程中，与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值始终保持不变，即等于AF2.我们将平面内与两个定点F1，F2间的距离的差的绝对值是常数（2a，a＞0且小于|F1F2|）的点的轨迹叫作双曲线．其中这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距.2.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程2.双曲线的标准方程以双曲线的焦点F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图2-10所示.设双曲线的两个焦点为F1(-c，0)，F2（c，0），则焦距为2c（c>0）.2.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程设点M（x，y）为双曲线上的任意一点，M点与两个焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a（a>0），由双曲线的定义可得

||MF1|-|MF2||=2a.将点M，F1，F2的坐标代入得将上述方程化为移项两边平方后整理得2.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程两边再平方后整理得（c2-a2）x2-a2y2=a2(c2-a2)等式两边同时除以a2(c2-a2)，得由双曲线的定义知道，2c>2a>0，即c>a>0，说明c2-a2>0，设b2=c2-a2（b>0），代入上式，方程可变为2.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程我们把方程=1(a＞0,b＞0)叫作双曲线的标准方程，它表示双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1(-c,0),F2(c，0)，其中，c＞0且c2=a2+b2,我们把F1叫作左焦点，F2叫作右焦点.如果我们把双曲线与整个坐标平面绕y=x翻转180°，如图2-11（a）所示，而仍以向右方向为x轴正方向，向上方向为y轴正方向，便可得到焦点在y轴上的双曲线，如图2-11（b）所示.因此，在上面我们所得到的的双曲线的标准方程中，只要互换x，y，便可得到焦点在y轴上的双曲线的标准方程为2.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?想一想2.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程方程（2-4）也叫作双曲线的标准方程，它表示双曲线的焦点在y轴上，焦点是F1（0，-c），F2（0，c），其中c>0，字母a，b的意义同式（2-3）中的a,b，且c2=a2+b2.2.2双曲线2.2.1双曲线的定义与标准方程

求下列双曲线的焦点与焦距：解(1)因为含x项的系数为正数，所以双曲线的焦点在x轴上，并且a2=9,b