福建省莆田市现代中学高三数学文上学期期末试卷含解析

福建省莆田市现代中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使得

成立（其中为常数），则称函数在上的均值为，现在给出下列4个函数：①

②

③

④，则在其定义域上的均值为2的所有函数是下面的

（

）A.①②

B.

③④

C.①③④

D.①③参考答案：D略2.设为等差数列，为其前项和，且，则等于（

）A．

B．

C.

D.参考答案：Ｂ3.设是的三个内角，且满足：则等于（

）

参考答案：A4.如图，在

A.

B.

C.

D.

参考答案：C因为，所以。因为，选C.5.某班由24名女生和36名男生组成，现要组织20名学生外参观，若这20名学生按性别分层抽样产生，则参观团的组成法共有（

）

A．种

B．种

C．种

D．种参考答案：A6.已知函数f(x)满足：①定义域为R；②，都有；③当时，，则方程在区间[-3,5]内解的个数是A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：A7.设数列{an}满足，若对一切，则实数m的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据题意列不等式，结合函数的单调性求得的取值范围.【详解】设函数，则.依题意有，注意到在区间上为增函数，故当时，有最大值，即，解得.故选：A.【点睛】本小题主要考查用函数的观点理解数列的递推关系，考查函数的单调性和最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.第II卷（非选择题部分，共110分)注意事项:用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.8.下列三个数，大小顺序正确的是A.

B.

C.

D.参考答案：C9.某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为，则表示（如图），下列关于函数的描述：①的图象是中心对称图形；

②的图象是轴对称图形；③函数的值域为；

④方程有两个解.则描述正确的是A.

①②

B.

②③

C.

③④

D.

①④参考答案：B略10.如右图，某几何体的三视图均为边长为l的正方形，则该几何体的体积是（

）A．

B．

C．1

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列{an}中，若，则＝

．参考答案：12.直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,若,则弦的中点到轴的距离为________

参考答案：13.袋中有3个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字，随机摸出一个将其上的数字记为，然后放回袋中，再次随机摸出一个，将其上的数字记为，依次下去，第n次随机摸出一个，将其上的数字记为记，则（1）随机变量的期望是_______；（2）当时的概率是_______。参考答案：、解：，。可以求得随机变量的分布列如表所示，期望为。当时的概率是0124p

14.数列{an}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N*都有：an+m=an+am+nm，则a100=．参考答案：5050【考点】数列递推式．【分析】令m=1，an+1=an+1+n′?an+1﹣an=1+n再利用累加法求得a100．【解答】解：令m=1，an+1=an+1+n?an+1﹣an=1+n，再利用累加法求得：a100=（a100﹣a99）+（a100﹣a99）+（a99﹣a98）+…+（a2﹣a1）+a1=100+99+98+…+2+1=5050故答案：5050．15.过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点，则线段中点的轨迹方程为

．参考答案：答案：

16.的计算可采用如图所示的算法，则图中①处应填的条件是

。参考答案：n≤6？

17.设函数在R上存在导数，对任意实数x有，当x时若，则实数m的取值范围是_____参考答案：解：∵∴构造函数则∴是奇函数∵∴∴在x时为减函数∵是奇函数∴为减函数∴R上为减函数∴可化为∴.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前项和.参考答案：本题主要考查等比数列、三角化简以及拆项相消法求数列的前n项和，同时注重对学生的转化划归能力的考查。（1）设在数1和100之间插入个实数构成数列，所以数列是以为首项的等比数列，故，（。（2）=1-tan（-n-2）·tan（n+3）-1=[tan（-n-2）+tan（n+3）]÷tan（-n-2+n+3）-1=【tan（n+3)-tan(n+2)]-1所以Sn=b1+b2+···+bn=[（tan4-tan3）+（tan5-tan4）+···+（tan（n+3)-tan(n+2)]-n=【tan（n+3）-tan3】-n

19.已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，﹣6）的距离之比均为．（1）求曲线C的方程．（2）设点P（1，﹣2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．参考答案：【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用直接法，建立方程，即可求曲线C的方程．（2）直线与圆的方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线BC的斜率为定值．【解答】（1）解：曲线C上的任意一点为Q（x，y），由题意得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）证明：由题意知，直线PB和直线PC的斜率存在，且互为相反数，P（1，﹣2）故可设PA：y+2=k（x﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得，同理，，所以故直线BC的斜率为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查轨迹方程，考查直线的斜率为定值的证明，考查学生的计算能力，是中档题．20.本小题满分14分）已知函数,(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）设的对边分别且若参考答案：略21.如图，三棱柱ABC﹣DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=，BC=，四棱锥F﹣ABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，点M是在线段CF上，且CM=CF．（Ⅰ）证明：直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由四棱锥锥F﹣ABED的体积为2求出FG，进一步求得EG，可得点G是靠近点A的四等分点．过点G作GK∥AD交DE于点K，可得GK=．又MF=，得到MF=GK且MF∥GK．则四边形MFKG为平行四边形，从而得到GM∥FK，进一步得到直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）设AE、BD的交点为O，OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，点O作平面ABED的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABM，ABF的法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角M﹣AB﹣F的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵四棱锥锥F﹣ABED的体积为2，即VF﹣ABCD=，∴FG=．又BC=EF=，∴EG=，即点G是靠近点A的四等分点．过点G作GK∥AD交DE于点K，∴GK=．又MF=，∴MF=GK且MF∥GK．四边形MFKG为平行四边形，∴GM∥FK，∴直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）设AE、BD的交点为O，OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，过点O作平面ABED的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：A（0，﹣1，0），B（，0，0），F（0，﹣，），M（）．，，．设平面ABM，ABF的法向量分别为，．由，则，取y=﹣，得，同理求得．∴cos＜＞=，∴二面角M﹣AB﹣F的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．22.在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，点E，F，M，S分别为棱PB，AD，AB，CD的中点，G为线段EM的中点，且PA=AB=2AD=4，N为SM上一点，且NG∥平面CEF．（1）确定N的位置，并求线段NG的长；（2）平面CEF与PA交于点K，求三棱锥B﹣CKN的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）设CF与SM交于点O，连结OE，则N为OM的中点．从而EM∥PA，进而EM⊥底面ABCD，由此能求出NG的长．（2）延长CF交BA的延长线于点Q，连结EQ，则点K为PA与QE的交点，由题意△AKQ∽△MEQ，由此能求出三棱锥B﹣CKN的体积．【解答】解：（1）设CF与SM交于点O，连结OE，则N为OM的中点．证明如下：∵NG∥平面CEF，且平面CEF∩平面MOE=EO，∴NG∥OE，又G为线段EM的中点，则N为OM的中点，∵E为棱PB的中点，∴EM∥PA，又PA⊥底面ABCD，∴EM⊥底面