有效课堂教学(09湖北)

准确把握概念核心设计自然教学过程

努力提高教学质量

人民教育出版社中学数学室李海东当前数学教学中存在的问题重视核心概念和思想方法的教学基于概念的核心、思想方法的教学设计框架设计自然的教学过程，提高课堂效益

一、当前数学教学中存在的问题整体形势10月31日全国基础教育课程改革经验交流会改革的成效初步建立了新的基础教育课程教材体系，新的课程体系更加符合素质教育要求；推进了人才培养模式的变革，学生的综合素质明显提高；评价与考试制度改革取得进展，注重学生成长过程和全面发展的考核机制正在形成；促进了教师素质的提高和专业发展。深化改革的主要任务和重点工作一是健全组织机构，完善科学决策程序。二是开展大规模教师培训，提高教师专业化水平。三是深化考试评价制度改革。四是深化人才培养制度改革，着力培养学生创新精神和实践能力五是重点加强农村课程改革，提高农村基础教育质量。学习理念冷静思考探索创新实践提高教师反映的问题新课程提倡的理念难把握；新教材的改革设计难适应；教学方式、学习方式的变革难跟上；课程改革与考试评价制度的改革不配套；等等。“新课改后中学数学教材特点的比较研究”课题的调查结论认可教材的主要变化（联系实际、自主探究），但实际教学效果不明显。本次课程改革，各个版本的教材在呈现方式上都作了很大的改进，教材中都设计了一些引导学生思维的栏目，注意留给学生探索与交流的空间，选材注重与学生现实生活的联系等等。从统计结果来看，教师对教材的这些处理还是比较认可的。但是，尽管教师认可教材的呈现方式，学生的学习兴趣和学习的自主性并没有明显的提高，这应当引起我们的注意。课标教材中设置的引导思维的栏目（如“想一想”“探究”等）对学生掌握相关内容对于课标教材中设置的引导学生思维的栏目数量，您认为课标教材给学生探索和交流的空间课标教材联系生活实际的问题课标教材的教学中，学生的学习兴趣课标教材的教学中，学生学习的自主性能力方面传统优势降低，改革倡导的能力没有显著提高。对于学生对基础知识和基本技能的掌握，教师的态度比较中性。对于传统的“三大能力”中的运算能力和逻辑思维能力，教师的评价是负面的。对于同是“三大能力”的空间想象能力，教师的评价是正面的。另外，本次课程改革，从课程标准到各个版本的教材，都注意加强了对学生解决实际问题能力、探究能力、数学表达与交流能力的培养。但从调查结果来看，教师的选择出现了分化，三个问题的回答，选择“提高”“差不多”“降低”的比例大致相同，并没有得到我们预期“提高”的结果。使用课标教材后，学生的运算能力与您的预期相比使用课标教材后，学生的逻辑思维能力与您的预期相比使用课标教材后，学生的解决实际问题的能力与您的预期相比使用课标教材后，学生的自主探究能力与您的预期相比客观原因影响教材实验及其效果的因素是复杂的。比如，由于班额普遍偏大（初中班额在50人以上的占77%强，在60人以上占41.82％；高中班额在50人以上的占76.44%，在60人以上的占38.12％

），以及受升学、考试等的影响，尽管教师认可教材重视数学知识的学习过程、加强启发性及探究性等处理方式，但这些措施在实际教学中往往难以到落实。反思我们自己的问题总理的要求教育要符合自身发展规律的要求。学、思、知、行，做到学思的联系、知行的统一，使学生不仅学到知识，还要学会动手，学会动脑，学会做事，学会思考，学会生存，学会做人。教育要符合时代发展的要求。教育要面向未来、面向世界、面向现代化，归根到底就是要与时俱进，要学习和借鉴人类优秀的文明成果，结合中国的实际和国情，推进教育改革、优化教学结构、更新教学内容、改进教学方式。教育要符合建设中国特色社会主义对人才的要求。要立足于现代化建设对人才的实际需要，不断调整专业设置和课程设计，努力培养创新型、实用型和复合型人才。教育要符合以人为本的要求。学校要坚持“以人为本”的办学理念，以“依靠人、为了人、服务人”为基本出发点，尊重学生、关爱学生、服务学生，发现和培养学生的兴趣和特长，塑造学生大爱、和谐的心灵。教学层面的问题数学教学“不自然”，强加于人；缺乏问题意识；重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”；重解题技能技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高；“讲逻辑而不讲思想”。强调细枝末节多关注基本概念、核心数学思想少，对学生数学素养的提高不利。

学生学习方法单一，被动。学生自主归纳抽象结论少，不利于创新精神的培养。例“有理数的乘方”的课堂练习题1.如果m2+n2=0,那么有理数m，n应满足的条件（）

A都是零B不都是零

C至少有一个是零D互为相反数2.如果m3+n3=0,那么有理数m，n应满足的条件是（）

A都是零B不都是零

C至少有一个是零D互为相反数3.下列各组数中相等的有几组（）（1）-52与(-5)2

（2）(-3)3与-33

（3）0100与0200（4）-(-0.3)5与0.35

（5）(-1)3与-(-1)2A5组B4组C3组D2组4.m为任意有理数时，下列说法正确的是（）

A(m+1)2的值总是正的Bm2+1的值总是正的

C-(m+1)2的值总是负的D1-m2的值比1小

教师层面的问题对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准；对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高；只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中无数；对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性；采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的新方法。

1.提高两个素养数学素养——有较好的数学功底（教好数学的前提是自己先学好数学）。了解概念的背景；知道概念的逻辑意义；理解内容所反映的思想方法；懂得知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源；区分核心知识和非核心知识；等。教育学科的专业素养——教育的育人功能，不仅教给学生知识，而且要通过教学使得学生有积极的生活态度、主动发展的需求、终身学习的愿望和能力、健康向上的人生观和价值观。两个素养的结合——善于抓住数学的核心概念和思想方法，懂得削枝强干；对数学知识中蕴含的价值观资源特别敏感，有挖掘这些资源并用与学生身心发展相适应的方式表述的能力，使数学知识教学与价值观影响有机整合。

2.提高研究教材的水平仔细分析教材编写意图：教材中的每一句话都是经过仔细推敲的，教材中的例题是经过反复打磨的，习题是经过精挑细选的。内容顺序不应随意调整；例子不是不可以换，但换的时候要想清楚理由。例负数的引入例一元一次方程的整体安排例圆与相似的位置相似作为变换处理标准对于圆的要求圆的问题作为相似的应用例等腰三角形在轴对称之后研究3.提高思想性加强课堂教学的“立意”不要把数学教学蜕化为“解题教学”，进一步蜕化为“刺激——反应”训练。提高思想性的做法——加强“先行组织者”的使用,加强研究方法的指导.过程与结果并重，加强过程性——没有过程等于没有思想。先行组织者（奥苏伯尔）在呈现具体内容之前，先呈现一些密切相关的、包容范围广但又非常容易使人理解和记忆的引导性材料——先行组织者，帮助学生建立有意义学习的心向。在抽象性、概括性和包容水平上，先行组织者比要学习的新材料更高，从而为将要学习的材料提供了一个框架或线索，起到了“导游图”的作用，使学生对学习进程心中有数。先行组织者能激活认知结构中已具备的相关概念，使学生认识到它们之间的联系；也能使新材料与认知结构中类似的观念之间的可辨性增加。因此先行组织者能增加要学习的新材料与认知结构的联系。说明性组织者，比较性组织者。例

研究四边形的“先行组织者”研究的问题一般四边形：组成元素、度量（内角和等问题）；特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手；边的特殊——平行四边形：性质和判定；“性质”研究的是在“平行四边形”的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；“判定”研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题；角的特殊——矩形，边的特殊——菱形，边角都特殊——正方形，都要研究性质和判定。研究的方法化归为三角形、平行线等已有知识。特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形——直角三角形；菱形——等腰三角形。例研究方法的联系函数性质的讨论

（正比例函数→一次函数→反比例函数→二次函数）

研究内容：自变量取值范围、函数的图像、函数的增减性研究方法：画函数图像，观察归纳，数形结合等。三步曲相关的问题：图像与坐标轴的交点、何时函数值大于零或小于零等。邻补角、对顶角与“三线八角”两条直线相交→三条直线相交关于一对角的位置关系（数量关系）这种位置关系（数量关系）运动中保持不变关键：根据结构特征进行分类研究几何图形位置关系、大小度量的思想方法4.努力改进教学方式

在教学方式的改进中，最重要的是要让学生有自己积极地、独立地进行数学思考的空间。不管是传授式还是活动式（相应的，学生学习方式是接受式或发现式），只要学生有思维的自主，就是学生的自主地位得到体现。

根据数学知识的认知需要，为学生设置恰当的教学情景，通过恰时恰点的问题引导学生的学习活动，充分使用“先行组织者”，在思想方法上多做引导，在具体细节上让学生自己多动手做、多阅读、多思考、多交流，让学生多发表意见，教师自己参与到学生的活动中去，多听少讲，在关键点上让学生有机会提出自己的见解。学习方式教师主导取向的接受式学生自主取向的活动式主动被动有意义（启发式）机械（注入式）有意义（理解、探究）机械（死记硬背）1.关于核心概念基础性——在相应领域具有基础地位；联系性——利于形成概念的网络系统，联系通畅，便于记忆与检索；迁移性——具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法。例如：代数中的运算律（分配律）就比因式分解的一些具体方法和技巧（十字相乘法）有更高的理论和实践价值．二、重视核心概念和思想方法的教学推广

类比当前内容联系

特殊化例代数的核心概念、思想方法有系统、有效力地运用数系的加、乘和指数运算的运算律，去解决各种各样的代数问题：各种式（整式、分式、根式等）的运算——用运算律进行“等价变换”；方程——未知数、已知数之间的特定代数关系；解方程——由代数方程式确定其中的“未知数”的值；解方程的基本原理：运算律对任何数都成立（通性），所以对“未知数”也成立、可用。有系统地用运算律化简所给的方程，从而确定其中的未知数——化未知为已知。一元一次方程是基础，其它都设法向它转化。许多问题是在引进字母表示数时才水到渠成地提出来的——从处理单个的数到处理一类问题。从代数式（符号代表数）、方程（符号代表未知数）到函数（符号代表变数）是一个飞跃，这是看问题角度的根本变化——从变化过程中考察规律，函数是研究变化规律的。例有理数及其运算在数与代数领域，有理数及其运算是一切运算系统的基础。将其他运算的对象和数作类比，可以使我们得到很多研究方法方面的启示。数——运算（加、乘、指数运算）和逆运算——运算律

——大小关系式——运算（加、乘、指数运算）和逆运算——运算律

——大小关系解代数方程——有系统地运用运算律（特别是分配律）去简化所给的代数方程，并最终化归为x=a的形式。向量——运算——运算律——向量法向量法实际上是利用向量表示空间基本元素，将空间的基本性质和基本定理的转化成为向量运算律的系统运用。数式通性——整式数式通性——分式数式通性——二次根式例

一元二次方程的核心

知识：概念（未知数、系数）；解法和公式——通法；判别式——解的情况（通性）；根与系数的关系——通性。思想方法：等价转化（配方法）；化归思想：二次化一次（因式分解、开方等运算）；对方程的根、系数之间关系进行研究的思想——方法论层次。

2.加强概念教学概念教学的核心——概括（同类事物的共同本质特征）概括是形成和掌握概念的前提；迁移的实质就是概括；概括是一切思维品质的基础；概括能力是思维能力的基础。“举三反一”与“举一反三”举三反一——分化——用典型、丰富的具体事例，分析、综合、比较而概括出共同本质属性；举一反三——类化——把共同本质属性推广到同类事物中；对具体例证进行分化、类化是概念教学的重要步骤，教会学生自己分析材料、比较属性是教学的重要任务；发现关系的能力是很重要的。关于概念教学的一些要求（1）采取“归纳式”进行概念教学，让学生经历概念的概括过程；（2）正确、充分地提供概念的变式；（3）适当应用反例；（4）在概念的系统中学习概念，建立概念的“多元联系表示”；（5）精心设计练习。概念教学的基本环节概念的引入——从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；概念的形成——提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；概念的明确与表示——下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；概念的巩固应用——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；概念的“精致”——纳入概念系统，建立与相关概念的联系。例反比例函数概念的教学匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系；……让学生概括共同本质特征（函数关系，反比例关系）；下定义——给出反比例函数的文字和符号描述；辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用，如让学生思考函数y=1/x2是不是反比例函数；例题——用概念作判断的“操作步骤”，强调“自变量x与相应的函数值y是否成反比例关系”，可以用反例让学生分析，使学生进一步明确“求反比例函数”的含义；通过与一般函数概念、正比例函数概念等比较，进一步明确反比例函数反映了“一类事物”的变化规律，使学生逐步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。

3.加强数学思想方法的教学什么是数学思想方法？数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学活动的指导思想。数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。二者有很强的联系性。通常，在强调数学活动的指导思想时称数学思想，在强调具体操作过程时称数学方法。数学思想方法的层次性（1）解题术——与某些特殊问题联系在一起的方法，在特定环境中发挥作用，具有较固定的操作程序。求差法（2）解题通法——解决一类问题时可以采用的共同方法，操作程序不是很具体，但适用范围比较广泛。换元法配方法数学归纳法（3）数学思想——对数学及其对象，对数学的概念、命题、法则、原理以及数学方法的本质性认识，程序性弱，功能性强。分类思想化归思想函数思想数形结合极限思想统计思想（4）数学观念——数学思想方法的最高境界，认识客观世界的哲学思想。数学思想方法的教学策略（1）有序性策略数学思想方法的层次反映了思维的概括性水平的高低。与具体的概念结合紧密的方法可以结合知识的教学达到掌握的目的。如代入法、加减法概括程度高、统领性强的数学思想方法的形成则需要经历较长的过程。

化归思想：有理数大小比较、四则运算转化为算术数大小比较、四则运算；解一元一次方程中的化归；解一次方程组中的化归；解一元二次方程中的化归；解分式方程、无理方程中的化归。

（2）过程性策略数学思想方法蕴含于数学知识之中，数学概念和原理的形成过程是进行数学思想方法教学的重要载体。数学思想方法重在“悟”，需要有一个循序渐进、逐步逼近思想本质的过程。

统计思想的形成需要学生经历收集、整理、描述、分析数据的过程。

例抽样调查的两个教学片段北京市某中学共有2093名学生，要想了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，请同学们思考以下几个问题：

教学处理一问题1：你准备用什么调查方法解决？问题2：在这个调查过程中我们应做哪些事？问题3：在调查流程中确定样本容量很重要，请大家讨论一下，调查多少名同学比较合适？你考虑了哪些因素？问题4：我们用什么样的方法选取这些同学比较好？问题5：我们能否设计一个抽样调查的流程？教师给出了已经完成的统计表，然后引导学生体会、领悟抽样调查中样本估计总体的思想、随机的思想等.教学处理2

教师：进行抽样调查前，首先要明确总体是什么，个体是什么，然后制定抽样调查的方法。由于在课堂上对全校学生的选择情况作调查比较困难。所以，用我们班56个同学作为总体，进行模拟抽样试验。请每个学生在相同的纸片上写好自己的学号、并折叠好，然后派两个学生把全班学生的学号纸收集放在一个透明的瓶子里。为了保证每个学生的学号都有相等的机会被抽中，当着全班学生的面把瓶中所有纸片搅拌均匀。教师：下面请学生A负责搅匀，学生B负责抽签。抽出哪位同学的学号，哪位同学就回答问题，同时，大家用记正字法把有关回答填在表格中进行统计。（1）用学号随机抽5人进行调查；（2）用学号随机抽20人进行调查。然后，教师运用EXCEL软件，把学生的统计结果填在表中，同时展现条形图与扇形图，并把两组数据与上一节课全面调查得出的数据进行对比。学生经历数据的收集、整理、表示的全过程，并体验随着样本容量的增大，样本越来越接近总体。

对两种处理的分析教学处理1体现出先整体、后具体的设计思路，教师首先引导学生分析实施抽样调查的完整过程包括哪些步骤与要素，然后给出一个具体的调查结果，让学生来加以对比与验证。但是，学生的讨论中涉及的确定样本容量问题、选择适当抽样方法问题，教师在本节课都难以展开论述、难以给予学生合适的解释，导致思维发散后，缺少归纳与总结，学生的思维没有得到有效提升。另外，由于抽样的结果是直接呈现的，因此学生对简单随机抽样中用样本估计总体的思想没有得到有效体现。在教学处理2中，教师直接点明，开展抽样调查首先需要明确总体与个体。然后，教师组织开展抽样调查的具体活动：既有总体中每个个体的编号（每个学生写自己的学号），又有抽样的随机性保证（学生A负责搅匀），还有抽样样本容量的确定（教师先要求抽取5个学号，然后又抽取20个学号），并要求每个学生记录调查数据，最后用EXCEL软件实现统计图表表示数据的便捷性和直观性，并引导学生体验“随着样本容量的增大，样本越来越接近总体”。教学处理2让学生亲身经历了统计活动的基本过程，在收集、整理、描述和分析数据的统计活动中，体验抽样的具体步骤，感受样本抽取的随机性以及如何用样本抽取的随机性来保证样本的代表性等，能较好的使学生体会样本估计总体的思想。

（3）变式策略通过具有适当变化性的问题情境，把那些在解决问题思想方法上具有相似或相关的内容，用变式的形式串联起来，在变化中（条件变化、结论发散、适时引申、背景复杂化）求不变，在变式中领悟数学思想方法的真谛。

一元一次方程解应用题避免“题型练习”

教学设计的基本线索内容和内容解析；目标和目标解析；教学问题诊断分析；教学支持条件分析教学过程设计；目标检测的设计。

三、基于核心概念、思想方法的教学设计框架1．内容和内容解析内容：针对“核心概念”内涵和外延的准确表达；内容解析：重点是在揭示概念内涵的基础上，说明概念的核心之所在，并要对概念在中学数学中的地位进行分析，其中隐含的思想方法要做出明确表述。在此基础上阐明教学重点。

例“函数”概念的核心函数概念的发展历史函数的产生来自研究变量的需要。17世纪，伽利略、笛卡尔等已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系。牛顿、莱布尼兹创立微积分时虽未给函数下明确的定义，但实际上已形成对变量之间的对应关系的关注。18世纪，函数被认为是由变量x和常量构成的式子。约翰•贝努利：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”欧拉这个定义称为解析函数，并进一步把它按照含有的运算种类区分为代数函数和超越函数。19世纪，对函数的认识发展到强调对应关系。柯西：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”傅里叶发现函数也可以用曲线表示，也可以用式子表示，使对函数的认识跳出式子的限制。当集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦用“集合”之间的“对应”给出了近代函数定义，使得函数概念具有三个要素即对应关系、定义域及值域。20世纪后，现代函数概念──“集合之间的映射”方式定义形成，即“若存在集合M到N的一个映射f，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)，其中x是M的任一元素，y是x在N中的像。”初中阶段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，强调的是对于函数概念的形式化的定义，用“变量”来描述函数；到高中之后，再进一步从集合、对应的观点，来刻画函数的概念．初中阶段的函数定义为：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称x为自变量，y为x的函数．分析初中的定义中对函数概念内涵的文字描述，可以发现，它强调了近代函数定义中的“对应”，并且明确了是“单值对应”，这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求，但是没有从“集合”角度描述函数，因而未明确涉及定义域及值域．初中数学中函数概念的核心，是函数概念三要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系。这包括两个方面的含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。

函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型。例“三线八角”概念的核心“两条直线”被“第三条直线所截”，得到八个角。对顶角、内错角、同位角、同旁内角，都是关于一对角的位置关系；关键：根据结构特征进行分类。2．目标和目标解析目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准。目标：用“了解”“理解”“掌握”以及相应的行为动词“经历”“体验”“探究”等表述目标；阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做哪些以前不会做的事。目标解析：对“了解”“理解”“掌握”以及“经历”“体验”“探究”的含义进行解析，一般地，核心概念的教学目标都应进行适当分解。要强调把能力、态度等“隐性目标”融合到知识、技能等“显性目标”中，以避免空洞阐述“隐性目标”，使目标对教学具有有效的定向作用。

例如何进行目标解析目标：理解正数与负数的概念目标解析：①了解：通过实际例子，感受引入负数的必要性，会用正、负数表示一对具有相反意义的量；进而初步获得正数、负数的抽象概念。②理解：能用正负数表示实际问题中的数量，并随着绝对值、相反数等概念的学习，逐渐熟练地进行正、负数的运算。例“变量与函数”的教学目标目标：了解常量、变量、函数的概念目标解析：结合具体实例，体会常量与变量的特征，能指出具体问题中的常量、变量．结合具体实例，理解具有函数关系的问题中两个变量之间的单值对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系，能举出函数的实例。结合函数概念的形成过程,体会变化与对应的数学思想，感知现实世界中变量之间的相互联系并不断运动变化；体会从具体的生活实例中抽象概括出数学知识的方法，例“三线八角”的教学目标目标：识别同位角、内错角、同旁内角（课标）。目标解析：正确地分析图形的结构特征，从中找到“两条直线”和“第三条直线”，确定角的关系（同位角、内错角、同旁内角）。以“结构特征”为依据，对角进行分类，确定角的特定关系的思想方法。3．教学问题诊断分析教师应当根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行预测，并对出现障碍的原因进行分析。在上述分析的基础上指出教学难点。可以从认知分析入手，即分析学生已经具备的认知基础（包括知识、思想方法和思维发展基础），对照教学目标还需要具备哪些条件，通过已有基础和目标之间的差异比较，分析教学中可能出现的障碍。本栏目的内容应当做到言之有物，以具体数学内容为载体进行说明。例“函数”中的难点分析函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点，初次接触函数概念时会感到十分困难。函数作为从数量角度反映变化规律的数学模型，涉及到很多复杂的层次和许多相关的上位概念，这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍。其中的层次主要有：（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）两个变量存在“单值对应”的关系。相关的上位概念主要有变量、对应、唯一、确定等。学生在学习函数概念之前，接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识。而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。因此，了解函数的概念，需要学生的思维达到辨证思维的形态。然而，此时学生的辨证思维水平还不很成熟，这个矛盾是函数概念学习中认知障碍的根源。教学难点：函数概念形成中的抽象与概括，对“单值对应”的理解。例“三线八角”中的难点学生初次接触平面几何关于位置关系、大小度量的讨论，除在思想方法上存在困难外，对于认识几何问题的一般程序也存在困难。复杂的图形会使学生感到无从下手。教学难点：对图形结构特点的理解并正确地对角分类；在具体（变式）图形中正确找出有关的角。∠B和∠BCE可以看成是直线

，

被直线

所截得的

角；∠B和∠BCD可以看成是直线

，

被直线

所截得的

角。

BEACD

两个角的公共边就是截线4．教学支持条件分析（根据需要设置）为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析，分析应当采取哪些教学支持条件，以帮助学生更有效地进行数学思维，使他们更好地发现数学规律。当前，可以适当地侧重于信息技术的使用，以构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境。5．教学过程设计强调教学过程的内在逻辑线索；给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法的领悟过程分析；以“问题串”方式呈现为主，应当认真思考每一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能训练，需要培养的能力，等；根据内容特点设计教学过程，如基于问题解决的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设计，合作交流式教学设计，等。

6．目标检测设计习题、练习方式的检测。要明确每一个（组）习题或练习的设计。注意防止一步到位，过早给综合题、难题有害无益；打不好基础就谈不上发展。例“变量与函数”检测题1．在计算器上按照下面的程序进行操作：填表：显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？

2．用10cm长的绳子围成长方形．（1）若长方形一边长为3cm，面积为多少？（2）若长方形的一边长为xcm，面积为Scm2，试用含x的式子表示S．（3）S是x的函数吗？为什么？输入x（任意一个数）×2+5=按键显示y（计算结果）x12-40101y3．下列曲线中，哪个表示y是x的函数？为什么？评析：通过三种形式（表格、解析式、图像）来呈现问题，且问题的难度拾阶而上，在突出本节课主体知识的同时，还为下一节课学习函数的三种表示形式埋下了伏笔．商榷：练习题要能反映出本节课的重点和难点．这节课的重点是变量和函数的概念，难点是对函数概念中的单值对应关系的理解。而在上述三个练习中，没有出现变量问题（变量只字未提），关于“通过对应辨别函数”（难点）的题目（题3）太少并且难（学生并未学习函数的图像），致使巩固的实效不仅未达到，而且反馈的结果也不一定很真实。建议：适当增加一些含有两个或多个变量并且变量之间有多种对应关系的问题，先让学生找变量，再判断哪些变量之间是函数关系等。四、设计自然的教学过程，提高课堂教学效益问题引导学习提好的问题，有意义、适度、恰时恰点设计自然的过程体现数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数学知识的认识过程。核心是引导学生自己概括出数学的本质，使学生在数学学习过程中保持高水平的数学思维活动。好的问题的关键是要引导学生独立思考思维需要合适的问题情境——我不是三岁孩子，也不是数学家；思维从问题开始——请给我提问的机会；独立思考需要安静的环境和充分的时间——闭上你的嘴；让学生完成关键的概括活动——请把发现的机会让给我；数学思维是以概念的发生发展过程为线索的，要体现前后一致的思想方法——请不要用“题型”限制我。例

不恰当的问题设计不反映当前学习内容的本质（例：函数概念的引入）过分强调联系实际引入概念（例：角的概念）没有思维深度、低水平重复的问题（例：多边形内角和）无效的问题（例：课堂中的“是”“否”回答，要问为什么）

关键点关节点联结点发散点最近发展区

度君子之教，喻也：道而弗牵；强而弗抑；开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思。和、易、以思，可谓善喻矣。优秀教师的教学，善于诱导。他对学生引导但不牵着走；严格要求但不过分施压；开导但不和盘托出。导而弗牵就使教与学的关系和谐；强而弗抑就使学生对学习感到快、易而不产生畏难情绪；开而弗达就可培养学生独立思考而自求答案。使学生做到了不畏难，感到快、易而又能独立思考，就可以说是善于诱导了。如何提问题

例不等式的性质的引入不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而得到启发。（先行组织者）你能回忆一下等式的基本性质吗？等式的基本性质的实质是什么？（“运算中的不变性”）类似的，不等式有哪些基本性质呢？尝试、验证、归纳。例相似三角形判定例平行四边形判定例等腰三角形的教学过程中的问题先行组织者：对于三角形，我们研究过它的组成要素和相关要素（内角、边、外角、角平分线、中线、高等）的度量关系；研究过两个三角形的特殊关系——全等问题；等。这些研究从性质和判定两个角度入手。像研究直线的特殊位置关系（垂直、平行）一样，三角形也有特殊的（是什么？）需要研究——“角”为标准的直角三角形，“边”为标准的等腰三角形（特例是等边）。

问题1：你认为可以研究等腰三角形的哪些问题？——性质与判定问题2：等腰三角形的性质可以从哪些角度入手？——角的关系（两底角相等）、高、中线、角平分线的特性；特殊等腰三角形的特殊性；等。问题3：前面学习过轴对称图形，知道角是以角平分线为对称轴的轴对称图形。根据这些经验，请动手剪一个等腰三角形，并说明你得到的一定是等腰三角形。问题4：从“剪”的过程看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？你可以得到哪些性质的猜想？问题5：“剪”的关键步骤是什么？数学含义是什么？问题6：上述猜想是从一个等腰三角形得到的，是否对所有等腰三角形都有这些性质呢？如何证明？——通过全等三角形，注意从操作中获得证明思路的启发。例变量与函数的教学过程设计一、创设情景，引出课题例1：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s，行使时间为t.1．填表，再试用t的式子表示s.2．事件中有几个数值发生改变的量？有几个数值不变的量？3．变量与常量的定义。4．变