《无理数指数幂及其运算性质》教学

4.1.2无理数指数幂及其运算性质

第四章指数函数与对数函数复习回顾规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数扩展到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于无理数指数幂是否还适用呢？新知探究25的近似值的过剩近似值21.51.421.4151.41431.414221.4142141.41421361.414213571.41421356311.180339899.8296353289.7508518089.739872629.7386186439.7385246029.7385183329.7385178629.738517752…………1.41421356225的近似值的不足近似值29.5182696949.6726699739.7351710399.7353051749.7384619079.7385089289.7385167659.7385177059.7385177361.41.411.4141.41421.414211.4142131.41421351.41421356…………观察下面的表，你能发现的大小是如何确定的吗？25新知探究

当

的过剩近似值从大于的方向逼近

时，

的近似值从大于

的方向逼近。222525252观察下面的表，你能发现的大小是如何确定的吗？2525的近似值的过剩近似值21.51.421.4151.41431.414221.4142141.41421361.414213571.41421356311.180339899.8296353289.7508518089.739872629.7386186439.7385246029.7385183329.7385178629.738517752…………就是一串有理数指数幂和另一串有理数指数幂按照规律变化的结果。这个过程可以表示如下：25.思考：参照上面的过程，说明无理数指数幂的意义。所以，表示一个确定的实数25.................51.451.4151.41451.414251.414351.41551.4251.525新知探究对于任意的无理数r，s

有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。ar+s(a>0)ars(a>0)aras=(ar)s=(ab)r=arbr(a>0)新知探究新知探究(4)a（a>0,是无理数）表示一个确定的实数。-下面的说法对吗？为什么？(1)没有意义。(2)是一个不确定的数。(3)aras=ar+s中的a可以为正数，负数，也可以为零。45¶36¶×××√例题精讲计算下列各式的值:3832.325312-323-2(1)(2)(3)3832.(1)解：3(23)=32.23+=33243=325(2)=2.355解：312-323-2

(3)=1323-2

-()3-2

==320计算下列各式的值:3832.325312-323-2(1)(2)(3)例题精讲课堂练习课堂总结对于任意的无理数r，s

有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。ar+s(a>0)ars(a>0)aras=(ar)s=(ab)r=arbr(a>0)“无理数”的由来公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythag-oras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实：一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数）这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理

拓展研究拓展研究“无理数”的由来数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统