广西壮族自治区桂林市青狮中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析

广西壮族自治区桂林市青狮中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（

）A． B． C． D．参考答案：B结合三视图，还原直观图，故，故选B．2.已知以为周期的函数，其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D.参考答案：B略3.函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（

）A.向右平移个长度单位

B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位参考答案：A略4.已知函数的定义域为，且满足，当时，，则函数的大致图象为（

）参考答案：A5.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A6.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，4） B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） C．（﹣4，1） D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）参考答案：B【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将不等式有解，转化为求∴（x+）min＜m2﹣3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵不等式有解，∴（x+）min＜m2﹣3m，∵x＞0，y＞0，且，∴x+=（x+）（）=+2=4，当且仅当，即x=2，y=8时取“=”，∴（x+）min=4，故m2﹣3m＞4，即（x+1）（x﹣4）＞0，解得x＜﹣1或x＞4，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．7.下列命题中是假命题的是

A.上递减B.C.D.都不是偶函数参考答案：D8.已知向量，若，则等于(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C9.根据需要安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是(

)A．2日和5日

B．5日和6日

C．6日和11日

D．2日和11日参考答案：C.1～12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10号和12号；而乙在8日和9日都有值班，8＋9＝17，所以11号只能是丙去值班了．余下还有2号、4号、5号、6号、7号五天，显然，6号只可能是丙去值班了．10.函数的一条对称轴方程是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.集合，,则 。参考答案：集合表示的定义域，集合表示的值域，取交集为12.已知双曲线的离心率，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是_______．参考答案：略13.二项式的展开式中的常数项为

．参考答案：略14.设椭圆+=1（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的短轴长为．参考答案：4【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得：抛物线y2=8x的焦点（2，0），可得c=2，利用离心率为，可得a=4，即可求出椭圆的短轴长．【解答】解：由题意可得：抛物线y2=8x的焦点（2，0），∴c=2，∵离心率为，∴a=4，∴b==2，即n=2，∴椭圆的短轴长为4，故答案为：4．15.我们把圆心在一条直线上且相邻两圆彼此外切的一组圆

叫做“串圆”.在右图所示的“串圆”中，⊙和⊙的方程分别为和，则⊙的方程为____________.参考答案：略16.珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归碑．百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为1999﹣12﹣20标示澳门回归日，中央靠下有23﹣50标示澳门面积约为23.50平方公里．百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1到100共100个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等．请问如图2中对角线上数字（从左上到右下）之和为

．参考答案：505【考点】进行简单的合情推理．【分析】将图中对角线上数字从左上到右下相加即可．【解答】解：由题意得：82+75+53+54+19+20+98+4+31+69=505，故答案为：505．17.已知抛物线C：（）的焦点为F，准线l：，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，直线AF的倾斜角为，则|MF|=

．参考答案：5如图，设准线与x轴交点为B，由于AF的倾斜角为，∴，双，∴，又由已知，即，∴.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）

(1)

求证:;(2)

求点A到平面的距离;(3)

求直线DE与平面所成角的正弦值.参考答案：解析：解法一：（1）连结AC，则ACDB

AC是在平面ABCD内的射影,

BD又,

且在平面内的射影

且

………4分

（2）易证:AB平行于平面,所以点B到平面的距离等于点A到平面的距离因为BF平面所以BF为所求距离,…………9分

（3）连结DF,即为直线ED与平面所成的角由条件AB=BC=1,可知……..14分

解法二：如图建立空间直角坐标系.（1）所以平面EBD.…………4分（2）设平面的一个法向量为m=（x，y，z）则，令z=1，得m=（0，2，1）所以，所求的距离为…………9分（3）由（2）知，m=（0，2，1）与m所成角为，则

所以直线ED与平面所成角的正弦值为………….14分19.已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，求实数a值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过讨论①当a＜0时，②当a＞0时的情况，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性找到函数的最值，从而求出a的值．【解答】解：（Ⅰ），当a＜0时，对?x∈（0，+∞），f′（x）＜0，所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=a，因为x∈（0，a）时，f′（x）＞0；x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，a），单调递减区间为（a，+∞）．（Ⅱ）用f（x）max，f（x）min分别表示函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值，当a≤1且a≠0时，由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（1）=1；因为对任意的x1∈[1，e]，x2∈[1，e]，f（x1）+f（x2）≤2f（1）=2＜4，所以对任意的x1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当1＜a＜e时，由（Ⅰ）知：在[1，a]上，f（x）是增函数，在[a，e]上，f（x）是减函数，所以f（x）max=f（a）=alna﹣a+2；因为对x1=1，?x2∈[1，e]，f（1）+f（x2）≤f（1）+f（a）=1+alna﹣a+2=a（lna﹣1）+3＜3，所以对x1=1∈[1，e]，不存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4；当a≥e时，令g（x）=4﹣f（x）（x∈[1，e]），由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是增函数，进而知g（x）是减函数，所以f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（e）=a﹣e+2，g（x）max=g（1）=4﹣f（1），g（x）min=g（e）=4﹣f（e）；因为对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）=4，即f（x1）=g（x2），所以即，所以f（1）+f（e）=a﹣e+3=4，解得a=e+1，综上所述，实数a的值为e+1．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道难题．20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于、两点，且△的周长为．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)是否存在直线使△的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）由题意得：

故椭圆C的标准方程为．……………（4分）（Ⅱ）存在直线满足题意，理由如下：由（Ⅰ）知右焦点，当直线的斜率不存在时，此时，，，不符合题意．………………（6分）故设直线的方程为，设，联立方程组消去x得．………（8分），，，，…（10分），，，（舍去），，故直线的方程为或．…（12分）21.（本小题12分）如图，在矩形ABCD中，,P、Q分别为线段AB、CD的中点，（1）求证：（2）求证：（3）若

,求三棱锥的体积参考答案：略22.已知函数f（x）=的定义域为A，集合B={x|（x﹣m﹣3）（x﹣m+3）≤0}．（1）求A和f（x）的值域C；（2）若A∩B=[2，3]，求实数m的值；（3）若C??RB，求实数m的取值范围．参考答案：考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．专题：计算题；集合．分析：（1）解不等式求A，配方法求f（x）的值域C；（2）由已知A=[﹣1，3]，B=[m﹣3，m+3]，A∩B=[2，3]，即可求实数m的值；（3）求出CRB={x|x＞m+3，或x＜m﹣3}，利用C??RB，即可求实数m的取值范围．解答：解：（1）由f（x）有意义知：3+2x﹣x2≥0，得﹣1≤x≤