河南省南阳市星光中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析

河南省南阳市星光中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题p：?x∈（2，+∞），x2＜2x，命题q：?x0∈R，lnx0=x0﹣1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．?p∧q C．p∧?q D．￢p∧￢q参考答案：B【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：例如取x=4时，x2=2x．命题q：?x0∈R，lnx0=x0﹣1，是真命题，例如取x0=1时成立．即可判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：?x∈（2，+∞），x2＜2x，是假命题，例如取x=4时，x2=2x．命题q：?x0∈R，lnx0=x0﹣1，是真命题，例如取x0=1时成立．则下列命题中为真命题的是（￢p）∧q．故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质与解法、函数与方程的思想、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是(

)（A）

（B）（C）

（D）参考答案：3.考点：正弦函数、余弦函数图象的性质，函数图象的平移.一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为（

） A． B． C． D．参考答案：D略4.在平面直角坐标系中，两点间的“L-距离”定义为则平面内与x轴上两个不同的定点的“L-距离”之和等于定值（大于）的点的轨迹可以是

（

）

参考答案：A5.已知正项的等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（

）A

B

C

D

2参考答案：C6.若sinθ+cosθ=﹣1，则θ是第几象限角(

)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角参考答案：C考点：同角三角函数间的基本关系；象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：化简已知等式可得sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣1，由同角的三角函数关系式，及二倍角公式即可求解．解答： 解：∵sinθ+cosθ=﹣1，∴sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣1，∴若θ是第一象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=sin2θ+cos2θ=1，不正确；若θ是第二象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=sin2θ﹣cos2θ=﹣cos2θ≠﹣1，不正确；若θ是第三象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣sin2θ﹣cos2θ=﹣1，正确；若θ是第四象限角，则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=﹣sin2θ+cos2θ=cos2θ≠﹣1，不正确；故选：C．点评：本题主要考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了二倍角公式的应用，属于基础题．7.已知D、E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：D8.如图，在△ABC中，，点D在边AC上，AD=DB，，E为垂足，若DE＝，则A.

B.

C.

D.参考答案：C9.已知点在直线上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．参考答案：A10.已知集合，，则（

）A.[0,3]B.[1,3]C.{0,1,2,3}D.{1,2,3}参考答案：D所以二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数(12+5i)2(239-i)的辐角主值是_________.参考答案：z的辐角主值

argz=arg［(12+5i)2(239-i)］

=arg［(119+120i)(239-i)］

=arg［28561+28561i］=．12.某村农民月平均收入服从元，元的正态分布，则该村农民平均收入在500元至520元之间的人数的百分比为

（保留两位有效数字）（参考数据：

，）参考答案：答案：0.4813.椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是

.参考答案：3a214.直线关于直线对称的直线方程是

参考答案：x+2y-3=015.某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险、养路费、汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用年报废最合算（即平均每年费用最少）．参考答案：10【考点】基本不等式．【分析】设这种汽车最多使用x年报废最合算，计算总维修费可用：（第一年费用+最后一年费用）×年数，然后列出用x年汽车每年的平均费用函数，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：设这种汽车最多使用x年报废最合算，用x年汽车的总费用为10+1.5x+=10+1.5x+0.1x2万元，故用x年汽车每年的平均费用为y=0.1x++1.5≥2+1.5=3.5万元．当且仅当x=10成立．故答案为：10．【点评】本题考查函数的应用问题、利用基本不等式求最值等知识，难度不大，属于中档题．16.设a+b=M（a＞0，b＞0），M为常数，且ab的最大值为2，则M等于

．参考答案：【考点】基本不等式．【分析】由基本不等式，ab≤（）2=可求ab的最大值，结合已知即可求解M【解答】解：∵a+b=M（a＞0，b＞0），由基本不等式可得，ab≤（）2=，∵ab的最大值为2，∴=2，M＞0，∴M=2，故答案为：．17.点G是△ABC的重心，，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则最小值为．参考答案：【考点】向量的共线定理；两向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的运算．【分析】欲求最小值，先求其平方的最小值，这里解决向量模的问题常用的方法．【解答】解：∵点G是△ABC的重心，∴，∴=∵，∴AB×AC×COSA=﹣2，∴AB×AC=4．∴AG2≥故填．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，已知两定点和，点M是平面内的动点，且．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设F2（1，0），R（4，0），自点R引直线l交曲线E于Q，N两点，求证：射线F2Q与射线F2N关于直线x=1对称．参考答案：【考点】轨迹方程；椭圆的简单性质．【分析】（I）设M（x，y），根据条件列方程化简即可；（II）设l方程y=k（x﹣4），联立方程组消元，利用根与系数的关系得出F2Q和F2N的斜率，根据两直线的斜率的关系得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），，，则，，由于，即，设F1（﹣1，0），F2（1，0），则|F1M|+|F2M|=4，点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，故a=2，c=1，，所以，动点M的轨迹E的方程为：．（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），N（x2，y2），直线l：y=k（x﹣4），联立方程组，得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，∴△=144（1﹣4k2）＞0，解得：，且，，又y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），===，由于2x1x2﹣5（x1+x2）+8=+=0，所以，=0，即，，∴射线F2Q与射线F2N的关于直线x=1对称．【点评】本题考查了椭圆的定义，轨迹方程的求解，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．19.(本小题满分分)设抛物线的焦点为,是抛物线上的一定点.(1)已知直线过抛物线的焦点,且与的对称轴垂直,与交于两点,为的准线上一点,若的面积为,求的值;(2)过点作倾斜角互补的两条直线,,与抛物线的交点分别为.若直线,的斜率都存在,证明:直线的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.参考答案：解:(1)由题设,设则

…………1分

.

…………2分由的面积为,得:,得:…………4分(2)由题意

…………5分首先求抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.解法一：设抛物线在处的切线的斜率为,则其方程为

…………6分联立

得将代入上式得:

…………7分

…………8分即

ks5u即得

即抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率为…………9分解法二：由得，

…………6分

…………7分抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率为

…………9分再求直线的斜率.解法一:设直线的斜率为,则由题意直线的斜率为.

…………10分直线的的方程为,则直线的的方程为.联立得…………(1)

…………11分方程(1)有两个根,,即,同理可得

…………12分直线的斜率.…………13分直线的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.

…………14分解法二:

………10分

…………11分将分别代入上式得:,整理得.

…………12分直线的斜率.…………13分直线的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.

………14分20.已知椭圆的一个焦点为，离心率为，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.参考答案：

21.已知（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式能成立，求实数m的取值范围．参考答案：(1)(2)或.【分析】（1）运用绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集即可；（2）求得|t﹣1|+|2t+3|的最小值，原不等式等价为|x+l|﹣|x﹣m|的最大值，由绝对值不等式的性质，以及绝对值不等式的解法，可得所求范围．【详解】解：（1）由题意可得|x﹣1|+|2x+3|＞4，当x≥1时，x﹣1+2x+3＞4，解得x≥1；当x＜1时，1﹣x+2x+3＞4，解得0＜x＜1；当x时，1﹣x﹣2x﹣3＞4，解得x＜﹣2．可得原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）；（2）由（1）可得|t﹣1|+|2t+3|，可得t时，|t﹣1|+|2t+3|取得最小值，关于x的不等式|x+l|﹣|x﹣m|≥|t﹣1|+|2t+3|（t∈R）能成立，等价为|x+l|﹣|x﹣m|的最大值，由|x+l|﹣|x﹣m|≤|m+1|，可得|m+1|，解得m或m．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，求最值，考查化简变形能力，以及运算能力，属于基础题．22.辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校文科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表；中位数精确到0.01）（2）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示：分组区间[100,110）[110,120）[120,130）[130,140）x：y1:31:13:410:1

从数学成绩在[130,150]的学生中随机选取2人，求选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]的概率．参考答案：（1）中位数是；平均数是123；（2）.【分析】（1）利用中位数左边矩形面积之和为0.5可求出中位数，将每个矩形底边中点值乘以相应矩形的面积，再相加可得出这100名学生语文成绩的平均数；（2）计算出数学成绩在、的学生人数，列举出